[ Филиппов ] Гидродинамика (лекции)

Н. Н. Филиппов

ОБЩАЯ ФИЗИКА

ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНЫХ СРЕД

ГИДРОДИНАМИКА

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ ……………………………………………… 4

1.1.Движение жидкостей и газов …………………………………………..4

1.2.Способы описания движения жидкости ………………………………5

1.3.Основные уравнение гидродинамики …………………………………7

2.СЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ ……………………………………………... 9

2.1.Уравнение непрерывности для сжимаемой жидкости...…………...... 9

2.2.Уравнение Эйлера для сжимаемой жидкости ……………………… 10

2.3.Звуковые волны …..…………………………………………………... 12

2.4.Прохождение звука через границу раздела двух сред ………………17

3.ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ …………………………………………………… 19

3.1.Силы вязкого трения ……………………………….………………… 19

3.2.Уравнение Навье–Стокса ……………………………...…………….. 20

3.3.Примеры течений вязкой жидкости ………………………………… 21

3.4.Число Рейнольдса …………..………………………………………… 25

4.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛА С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ……………..27

4.1.Поток идеальной жидкости …………………………………………...27

4.2.Тело в потоке вязкой жидкости ………………………………………27

4.3.Закон подобия …………………………………………………………30

4.4.Подъемная сила ……………………………………………………….30

5.СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ …………………………………33

5.1.Конус Маха …………………………………………………………….33

5.2.Ударная волна …………………………………………………………33

5.3.Лобовое сопротивление ………………………………………………34

5.4.Хорошо обтекаемые тела ……………………………………………..34

6.ЖИДКОСТЬ В ПОЛЕ ВНЕШНИХ СИЛ …………………..…………… 35

6.1.Основные уравнения ………………………………………………… 35

6.2.Барометрическая формула …………………………………………... 35

ЗАДАЧИ ……………………………………………………………………... 36 ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………. 36

3

4

1.ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ

1.1.Движение жидкостей и газов

Гидродинамика изучает движение жидкостей и газов (чаще мы будем говорить о жидкостях). Механические свойства жидкостей и газов отличаются от свойств упругих твердых тел. Основные особенности:

•смещение точек жидкости при ее течении могут быть не малы даже при малых силовых воздействиях;

•если силы вязкого трения между слоями жидкости малы (а это очень распространенный случай), то жидкость не оказывает сопротивления сдвигу. В жидкости не могут возникнуть сдвиговые напряжения;

•при некоторых условиях на характер движения жидкости начинают влиять сила вязкого трения.

Если отсутствие напряжения сдвига может упростить решение некоторых задач, то остальные специфические особенности жидкости крайне усложняют уравнения движения. До сих пор, например, до конца не решена проблема турбулентности - образование вихревых зон в потоке жидкости.

Рассмотрение законов движения жидкости мы начнем с использованием следующих приближений:

•вязкое (внутреннее) трение пренебрежимо мало, переход механической энергии в тепловую не происходит;

•теплообменом между различными объемами жидкости пренебрежимо мал.

Жидкость, обладающая такими свойствами, называется идеальной. Кроме того, будем считать жидкость несжимаемой, т.е. считать зависимость плотности жидкости от давления пренебрежимо малой.

Напряженное состояние идеальной жидкости характеризуется давлением. Выделим в жидкости малый кубический объем произвольной ориентации. Со стороны окружения на этот объем будут действовать силы. Рассмотрим любой элемент поверхности куба. Силы, действующие на него, всегда направлены по нормали к поверхности, сдвиговых напряжений в жидкости

нет. Отношение SF одинаково для любой поверхности, мы имеем дело с

однородным напряжением всестороннего сжатия. Отношение P = SF

называют давлением. Поскольку эта величина не зависит от ориентации поверхности S, ее можно считать скаляром.

5

Кроме давления, для характеристики идеальной жидкости служит ее плотность, температура, скорость движения ее частиц и т.п. Говоря о частицах жидкости, мы вступили в некоторое противоречие с общими принципами механики сплошных сред. Под частицами мы будем понимать отдельные "помеченные" точки сплошной среды, континуума (малые объемы). Эти объемы должны быть настолько малы, чтобы свойства жидкости внутри объема можно было считать постоянными. С другой стороны, они должны быть гораздо больше среднего объема, приходящегося на одну молекулу (атом) в рассматриваемой жидкости (газе).

1.2.Способы описания движения жидкости

1.2.1. Метод Лагранжа

Казалось бы, особых проблем с описанием движения частиц жидкости быть не должно: отметим координаты (ξ1,ξ2,,ξ3) всех частиц жидкости при t = 0. С течением времени координаты именно этой точки будут меняться. Обозначим их через xi(ξ1, ξ2, ξ3; t) или x(ξ , t) , где ξ = x(ξ , 0) . Начальные координаты (параметры) ξi однозначно определяют точку континуума - частицу жидкости. В любой момент мы можем определить скорость этой точки:

v = dtd x(ξ , t)

или ускорение

учитывая, что параметр ξ от t не зависит. Такой метод хорош при рассмотрении задач диффузии (смешивания жидкостей), при описании одномерных потоков. В более сложных случаях он приводит к очень громоздким вычислениям. Метод предложен Лагранжем и носит его имя.

1.2.2. Метод Эйлера

Большинство задач, касающихся движения жидкости, имеют дело со стационарными (установившимися) потоками. Это значит, что характеристики движения частиц жидкости меняются от точки к точке, но в окрестностях отдельной точки x с течением времени остаются постоянными. Например, все частицы, все частицы, проходя мимо точки x , имеют одну и ту же скорость v(x) , эта скорость не меняется во

7

dvi = ∂∂vi + ∑vk ∂∂vi . dt t k xk

Частную производную ∂∂vti в Эйлеровом представлении называют

локальной производной.

В общем случае, полная (материальная) производная любой величины ƒ для данной частицы связанная с локальной производной соотношением:

Производную по координатам xk можно представить в виде вектора

использованием оператора , полная производная приобретает вид:

dtd = ∂∂t +(v ) .

Основываясь на Эйлеровом описании, перейдем к изучению основных уравнений гидродинамики.

1.3.Основные уравнение гидродинамики

1.3.1. Уравнение Эйлера

При установившемся (стационарном) течении жидкости ее масса, проходящая через систему в единицу времени, будет постоянна. За секунду через трубу сечения S при постоянной скорости v проходит объем воды V =vS , масса этой воды m =ρvS . При стационарном течении по трубе с переменным сечением масса воды, проходящей через сечения S1 и S2 в единицу времени одинакова (условие непрерывности потока):

m =ρ1v1S1=ρ2v2S2 .

Если жидкость несжимаема (ρ1 = ρ2 = ρ), то V = mρ и

V =v1S1 =v2S2 = const .

8

За счет чего меняется скорость частиц жидкости при переходе к трубе другого сечения? Рассмотрим трубку тока, касательные к поверхности которой в любой точке совпадают с направлением скорости частиц. В промежутке между сечениями S1 и S2 жидкость движется с ускорением:

m dvdxx =F ;

m =ρ∆x S ;

F =P (x)S −P (x + ∆x)S = −S ∂∂Px ∆x ;

Мы получили уравнение Эйлера для идеальной жидкости в отсутствие внешних сил.

1.3.2. Уравнение Бернулли

В стационарном потоке:

∂∂vtx = 0 ;

ρv ∂∂vxx = −∂∂Px ;

но

отсюда

9

∂∂x ρvx2 = −∂∂x P ,

2

или

∂∂x ρvx2 +P = 0 ;

2

Величина этой суммы определяется по значению скорости и давления в одном из сечений. Это уравнение - частный случай уравнения Бернулли (в отсутствие внешних полей).

1.3.3. Уравнение непрерывности

При рассмотрении непрерывности одномерного потока рассматривался поток в трубке с переменным сечением. С точки зрения Эйлеровского описания потока, нам нужно свести понятие непрерывности к свойствам точки (малого объема). Рассмотрим деформацию движущегося малого кубического элемента жидкости. Изменение объема V = ∆x1∆x2∆x3 за

время ∆t равно

∆V = (∆x1 +δx1)(∆x2 +δx2 )(∆x3 +δx3 ) −∆x1∆x2∆x3 ≈

≈ δx1∆x2∆x3 + ∆x1δx2∆x3 + ∆x1∆x2δx3 ,

или

∆V = δx1 + δx2 + δx3 ,

V ∆x1 ∆x2 ∆x3

но

откуда следует

Для несжимаемой жидкости ∆V = 0 , и мы получаем уравнение непрерывности

div(v) = 0 .

1.3.4. Трехмерный поток жидкости

Одно из основных уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости. Обобщая одномерное уравнение Эйлера, на трехмерный случай, получаем:

ρdvdt1 = −∂∂x1 P ;

ρdvdt2 = −∂x∂2 P ;

ρdvdt3 = −∂∂x3 P ,

или