[ Гельфрейх ] Математический анализ. Задачи для коллоквиума и экзамена на 1 курсе (ПМФ)

21

Теперь у нас неопределенность вида 0 0. По правилу Лопиталя

b1	= xlim	(arctgx + ¼=2)0	= xlim	1=(x2 + 1)			= ¡1:
		(1=x)		¡	1=x2
	!¡1	0	!¡1

Следовательно, при x ! ¡1 функция имеет наклонную асимптоту

y = ¡x¼=2 ¡ 1.

Исследуем теперь асимптоту при x ! +1:

k2 = limx!+1 f(xx) = limx!+1 arctgx = ¼=2;

b2 = limx!+1 (f(x) ¡ kx) = limx!+1 (xarctgx ¡ x¼=2) = ¡1.

Следовательно, при x ! +1 функция имеет наклонную асимптоту y = x¼=2 ¡ 1.

15. Разложить функцию f(x) = arcsin x по формуле Тейлора в ок-

рестности точки x0 = 21

до члена порядка

(x ¡ 1=2)2.

Решение.

Нам понадобятся значения функции и ее первой и второй

производных в точке x0

= 1=2:

f 21 = arcsin 21 = ¼6 ;

f00 1

= 4p3.

f00(x) =

¡1(1 x2)¡3=2( 2x) =¡ ¢x2 3=2 ;

f0¡(x¢) =

p

p

1

= (1 ¡ x2)¡1=2; f0

21 = 2 3

3;

1 x2

¡

¢

¡2

¡

¡

( ) =

(1¡x )

2

9

Формула Тейлора для функции f x

2

arcsin x принимает вид:

2:

arcsin x =

6 +

3

x ¡

2

+

9

x ¡

2

+o à x ¡ 2

2

!; x !

¼

2p3

µ

1

¶

2p3

µ

1

¶

µ

1

¶

1

16. Вычислить lim

ex¡1¡x

x!0 1¡cos x .

Решение. Воспользовавшись формулами Тейлора для экспоненты

и косинуса

x2

ex = 1 +

x

+

+ : : : +

xn

+ O(xn+1);

n!

1!

2!

x2

n

x2n

2n+2

cos x = 1 ¡

+ : : : + (¡1)

+ O(x

):

получаем

2!

(2n)!

ex ¡ 1 ¡ x

x2

+ O(x3)

lim

= lim

2

= 1:

2

+ O(x4)

x!0

1 ¡ cos x

x!0

x

2

V. Неопределенный интеграл.

Решение. Сделаем

R

2x ¡ 3 = t

2dx = dt

2x¡3.

1. Вычислить интеграл

dx

линейную замену:

(

èëè

dx = dt=2);

dx

1

dt

1

1

Z

=

Z

=

ln jtj + C =

ln j2x ¡ 3j + C:

2x ¡ 3

2

t

2

2

Решение.

R

22

xe¡3xdx.

2.

Вычислить интеграл

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

R udv = uv ¡ R

vdu:

1

1

Z xe¡3xdx = ¡

Z xde¡3x = ¡

µxe¡3x ¡ Z e¡3xdx¶ =

3

3

+ C:

= ¡3 µxe¡3x + 3e¡3x¶

1

1

Решение.

R

3.

Вычислить интеграл

ln xdx.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям и

будем считать, что u = ln x, à v = x:

Z

ln xdx = x ln x ¡ Z

1

dx = x ln x ¡ Z

1dx = x ln x ¡ x + C:

x

x

Решение.

R

x+2.

4.

Вычислить интеграл

dx

Z

dx

= Z

d x + 2)

(

= ln jx + 2j + C:

x + 2

x + 2

Решение.

R

5.

Вычислить интеграл

xe¡x2dx.

Z

2

1

Z

2

1

2

xe¡x

dx =

e¡x dx2

= ¡

e¡x

+ C:

Решение.

2

2

R

1¡x

6.

Вычислить интеграл

px2dx

6

.

x2dx

1

dx3

1

Z

p

=

Z

=

arcsin x3 + C:

3

3

1 ¡ x6

1 ¡ (x3)2

Решение.

R

e

p

¡

7. Вычислить интеграл

xdx

ex

1

.

¡ 1

j

¡

j

Z

ex ¡ 1

Z

ex

exdx

=

d(ex ¡ 1)

= ln

ex

1

+ C:

Решение.

R x ln

x

.

8.

Вычислить интеграл

2

dx

Z

dx

= Z

d ln x

= ¡

1

+ C:

x ln2 x

ln2 x

ln x

5

2x4

¡

1

9. Выделить целую часть R(x) = x

¡3

x

¡1 .

23

Решение.

R(x) =

x5 ¡ 2x4 ¡ 1

=

x2(x3 ¡ 1) + x2 ¡ 2x4 ¡ 1

=

3

¡ 1

3

x

3

x2 ¡ 1

x

2

= x2 +

¡2x(x

¡ 1) ¡ 2x + x ¡ 1

= x2

¡

2x +

¡ 2x ¡ 1

:

x3 ¡ 1

x3 ¡ 1

1

10. Разложить дробь R(x) =

на сумму простейших.

(x2+x+1)2(x¡1)

Решение.

1

=

Ax + B

+

Cx + D

+

E

:

(x

2

2

(x

2

2

x

2

+ x + 1

x ¡ 1

+ x + 1) (x ¡ 1)

+ x + 1)

Если привести дроби в правой части к общему знаменателю и приравнять числитель к числителю левой части, то получим равенство:

(Ax + B)(x ¡ 1) + (Cx + D)(x2 + x + 1)(x ¡ 1) + E(x2 + x + 1)2 = 1:

Заметим, что при x = 1 равенство принимает вид 9E = 1, откуда E = 19. Перепишем равенство в виде

(Ax + B)(x ¡ 1) + (Cx + D)(x3 ¡ 1) + E(x2 + x + 1)2 = 1:

Если два полинома равны, то равны их коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях переменной x. Ïðè x4 в левой части

коэффициент равен C + E, а в правой нулю: C + E = 0, îò-

êóäà C = ¡E = ¡91.

3

2

Коэффициент при x

: D + 2E = 0, откуда D = ¡9.

Коэффициент при x2

: A + 3E = 0, откуда A = ¡31.

И, наконец,

коэффициент при

x

:

¡A + B ¡ C + 2E = 0

, откуда

2

B = A + C ¡ 2E = ¡

3.

Таким образом, все коэффициенты найдены и

R(x) =

¡31x ¡ 32

+

¡91x ¡ 92

+

1=9

:

(x2 + x + 1)2

x2 + x + 1 x ¡ 1

11. Найти интеграл	Z	x + 2
			dx:
		x2 + x + 1

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

x2 + x + 1 = (x + 12)2 + 34:

24

Делая замену переменной x + 21 = z (x = z ¡ 21

, dx = dz), получим:

x + 2

z + 23

z

3

1

Z

dx = Z

dz = Z

dz +

Z

dz =

x2 + x + 1

z2 + 43

z2 + 43

2

z2 + 43

1

Z

d(z2 + 43)

3 1

2z

1

2

3

p

2z

=

+

p

arctg p

=

ln(z

+

)+

3 arctg p

+C =

2

z2 + 43

2

2

4

3

3

3

2

1

2

p

2x + 1

=

ln(x

+ x + 1) +

3 arctg

p

+ C:

2

12. Найти интеграл

3

I := Z

xdx

:

(x ¡ 1)(x + 1)2

Решение. Разложим

рациональную

дробь

x

íà

простейшие:

(x¡1)(x+1)2

x

=

A

+

B1

+

B2

:

(x ¡ 1)(x + 1)2

x ¡ 1

x + 1

(x + 1)2

Приводя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и сравнивая числители левой и правой части получаем:

x ´ A(x + 1)2 + B1(x ¡ 1)(x + 1) + B2(x ¡ 1):

(1)

а) Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (1) в виде

x ´ (A + B1)x2 + (2A + B2)x + (A ¡ B1 + B2):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

0 = A + B1; 1 = 2A + B2; 0 = A ¡ B1 ¡ B2:

	Отсюда	1			1			1
	A =		; B1	= ¡		; B2	=			:
		4			4			2

б) Второй способ определения коэффициентов. Полагая x = 1 â

тождестве (1), будем иметь:

1 = A ¢ 4; ò.å. A = 14:

Полагая x = ¡1, получим:

1 ¡1 = ¡B2 ¢ 2; ò.å. B2 = 2:

Далее, полагая x = 0, будем иметь:

0 = A ¡ B1 ¡ B2;

ò.å. B1 = A ¡ B2 = ¡14.

25

Следовательно, справедливы равенства:

I = 4 Z

x ¡ 1 ¡

4 Z

x + 1

+ 2 Z

(x + 1)2 =

1

dx

1

dx

1

dx

1

1

1

=

ln jx ¡ 1j ¡

ln jx + 1j ¡

+ C =

4

4

2(x + 1)

=

1

+

1

ln

jx ¡ 1j

+ C:

¡2(x + 1)

4

j

x + 1

13. Найти интеграл

j

I := Z

x + 1

dx:

(x2 + 4x + 5)2

Решение. Применим метод понижения. Поскольку

x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1;

сделаем в интеграле замену переменной x+2 = z (x = z¡2, dx = dz) и получим

I =

z ¡ 1

dz =

zdz

¡ Z

(1 + z2) ¡ z2

dz =

(z2 + 1)2

(z2 + 1)2

Z

Z

(z2 + 1)2

= ¡

1

¡ Z

dz

+ Z

zd ·¡

1

¸ =

2(z2 + 1)

z2 + 1

2(z2 + 1)

= ¡

1

¡ arctg z ¡

z

+

1

arctg z + C =

2(z2 + 1)

2(z2 + 1)

2

z + 1

1

x + 3

1

= ¡

¡

arctg z+C = ¡

¡

arctg(x+2)+C:

2(z2 + 1)

2

2(x2 + 4x + 5)

2

14. Найти интеграл

Z

dx

:

(x3 ¡ 1)2

Решение. Воспользуемся методом Остроградского:

Z

dx

Ax2 + Bx + C

+ Z

Dx2 + Ex + F

=

dx:

(x3 ¡ 1)2

x3 ¡ 1

x3 ¡ 1

Дифференцируя последнее тождество, получим:

1

=

(2Ax + B)(x3 ¡ 1) ¡ 3x2(Ax2 + Bx + C)

+

Dx2 + Ex + F

x3 ¡ 1

x3 ¡ 1

(x3 ¡ 1)2

èëè

1 = (2Ax + B)(x3 ¡1) ¡3x2(Ax2 + Bx + C) + (Dx2 + Ex + F )(x3 ¡1):

Полагая x = 1, получим

26

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, будем иметь:

D = 0; E¡A = 0; F ¡2B = 0; D+3C = 0; E+2A = 0; B+F = ¡1;

откуда вытекает:

A = 0; B = ¡13; C = 0; D = 0; E = 0; F = ¡23

и, следовательно,		= ¡3 x3	¡ 1 ¡	3 Z	x3 ¡ 1:
Z	(x3 ¡ 1)2
	dx	1	x	2	dx

Для вычисления èíтеграла в правой части последнего равенства разлагаем дробь 1

x3¡1 на простейшие дроби:

1	=	L	+	Mx + N	;
x3 ¡ 1		x ¡ 1		x2 + x + 1

ò.å.

1 = L(x2 + x + 1) + Mx(x ¡ 1) + N(x ¡ 1):

L = 13. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства,

находим:

L + M = 0; L ¡ N = 1;

ò.å.

1

2

M = ¡

N = ¡

;

:

3

3

Таким образом, получим

3 Z

x2

+ x + 1dx =

Z

x3 ¡ 1 =

3 Z

x ¡ 1 ¡

dx

1

dx

1

x + 2

1

1

1

2x + 1

=

ln jx ¡ 1j ¡

ln(x2

+ x + 1) ¡ p

arctg

p

+ C;

3

6

3

3

è

Z

dx

x

1 x2 + x + 1

2

2x + 1

= ¡

+

ln

+

3p

arctg

p

+ C:

(x3 ¡ 1)2

3(x3 ¡ 1)

9

(x ¡ 1)2

3

3

15. Вычислить интеграл	R x2=3¡x1=2 .
		dx

27

Решение.

Данный интеграл может быть сведен к интегралу от ра-

циональной функции с помощью подстановки x = t6:

Z

dx

= [x = t6; dx = 6t5dt] = Z

6t5dt

=

x2=3 ¡ x1=2

t4 ¡ t3

= 6

t2dt

= 6

Z

t2

¡ 1 + 1

dt = 6

Z

µ

t + 1 +

1

=

t ¡ 1

Z

t ¡ 1

t ¡ 1¶

= 3t2 + 6t + 6 ln jt ¡ 1j + C = 3x1=3 + 6x1=6 + 6 ln jx1=6 ¡ 1j + C:

16. Вычислить интеграл

p

dx

.

¡3x2

+4x¡1

Решение.

корнем в знаменателе полный квадрат:

Выделим под R

dx

1

d

x

2

Z

p

= p

Z

¡

¡ 3

¢2 2

=

3x2 + 4x 1

3

1

¡

¡

q9 ¡

x

¡ 3

¡

¢

1

x

¡

2=3

1

=

arcsin

+ C =

arcsin(3x

2) + C:

p3

R

1=3

p3

¡

17.

Вычислить интеграл

dx

.

4 sin x+3 cos x+5

sin x

Решение.

Подинтегральная функция рационально зависит от

è cos x. Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рацио-

нальных функций с помощью подстановки tg(x=2) = t. В результате этой подстановки имеем:

sin x =

2tg(x=2)

=

2t

;

cos x =

1 ¡ tg2(x=2)

=

1 ¡ t2

;

1 + tg2(x=2)

1 + t2

1 + tg2(x=2) 1 + t2

x = 2arctgt;

dx =

2dt

:

2

1 + t

Произведя указанную замену, получаем:

Z

dx

= Z

dt

1

1

= ¡

+C = ¡

+C:

4 sin x + 3 cos x + 5

t2 + 4t + 4

t + 2

tgx2 + 2

VI. Определенíый интеграл.

Решение.

R

4 pxdx.

1. Вычислить

0

4

x

3=2

¯

4

2

2

16

0

¯

Z

pxdx =

3=2

¯0

=

3

¢ 43=2 ¡

3

¢ 03=2 =

3

:

2. Вычислить R01 xe¡xdx.

¯

28

Решение. Интегрируя по частям, получаем

Z1

xe¡xdx = [u = x; dv = e¡xdx; du = dx; v = ¡e¡x]

0

1

e ¡ 2

= xe¡x 1

+ e¡xdx =

¡

e¡1

¡

e¡x 1 = 2e¡1 + 1 =

:

¡

¯

0

Z

¯

0

¡

e

0

¯e

2

¯

3. Вычислить

1

ln x

dx.

x

, тогда

dx

Решение.

Выполним замену переменной

,

ln x = t

R

x = dt

t1 = 0, t2 = 1:

e

2 x

1

1

1

1

Z

dx = Z

¯0

ln

t2dt =

t3

=

:

x

3

3

1

0

¯

4. Вычислить

¼=6

¯

¼=6 cos xdx.

¯

Решение.

Ò.ê.R¡требуется вычислить интеграл от четной функции

по симметричному промежутку, то

¼=6

¼=6

Z

cos xdx = 2 Z0

cos xdx = sin xj0¼=6 = 1:

¡¼=6

5. Вычислить

1

x cos x

¡1 p1+x2 dx.

Решение.

Как известно, интеграл от нечетной функции по симм-

R

етричному промежутку равен нулю. Промежуток интегрирования

[¡1; 1] симметричен относительно нуля и под интегралом стоит

нечетная функция:

f( x) =

¡x cos(¡x)

=

x cos x

=

f(x);

¡

1 + ( x)2

¡p1 + x2

¡

поэтому

p

1

¡

Z

x cos x

p

dx = 0:

1 + x2

¡1

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = x è

y = x ¡ 2.

Решение. Найдем точки пересечения кривых, т.е. такие2 точки (x; y), которые одновременно удовлетворяют уравнениям y = x è

y = x ¡ 2. Решая систему, находим две точки пересечения: (4; 2) è

(1; ¡1).

2

1 Z'2

29

Рассмотрим две функции аргумента y: f1(y) = y2 è f2(y) = y + 2. Площадь может быть вычислена по формуле

y2		2					7
			(y+2¡y2)dy = (y2=2 + 2y ¡ y3=3)	¯	2
	¡
					¡1	=	6:
S = Z (f2(y)¡f1(y))dy = Z				¯
y1		1

7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = a sin2 '.

Решение. В полярных координатах формула для площади имеет вид

S = r2(')d':

'1

Функция r(') определена при любом значении ' и можно взять

'1 = 0, '2 = 2¼:

S = 2

Z0 (a sin2 ')2d':

1

2¼

Понизим степень синуса с помощью формул:

cos 2x

2

x

+ cos

2

2

x

sin4 x = (sin2 x)2

= µ

1 ¡

¶

=

1 ¡ 2 cos 2

=

2

4

1

µ1 ¡ 2 cos 2x +

1 + cos 4x

¶ =

3

1

1

=

¡

cos 2x +

cos 4x:

4

2

8

2

8

интегралы от

R

R

Учитывая, что

02¼ cos 2x dx = 0

è

02¼ cos 4x dx

=

0 (êàê

косинуса по периоду), получаем

2¼

2¼

1

Z0

1

Z0

3

3

S =

(a sin2 ')2d' =

a2

dx =

¼a2:

2

2

8

8

8. Вычислить длину дуги кривой y =

32x3=2, 0 · x · 3.

Решение. Длину дуги можно вычислить по формуле:

l = Zx2

1 + y02

(x)dx:

x1

p

Вычислим производную y0(x) = x1=2, значит 1 + y02(x) = 1 + x è

l = Z	p1 + xdx =	3		(1 + x)3=2	¯0		= 3 :
3		2			¯	3	14
0
					¯
					¯

30

9. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически x =

et cos t, y = et sin t от точки t1 = 0 до точки t2 = ln ¼.

Решение. Длину дуги кривой, заданной параметрически, можно вычислить по формуле

Zt2 p

l = x02(t) + y02(t)dt:

t1

Подставляя x0(t) = et(cos t ¡ sin t) è y0(t) = et(sin t + cos t), x02(t) +

y02(t) = 2e2t, получаем

l = Zln ¼p2etdt = p2(¼ ¡ 1):

0

10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной кривой y2 = (x ¡ 1)3 и прямой x = 2. Решение. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y =

f(x) и прямыми y = 0, x = a, x = b, вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения вычисляется по формуле

Zb

V = ¼ y2dx:

a

Областью определения функции y2 = (x ¡ 1)3 является интервал [1; +1), поэтому нижний предел интегрирования равен 1:

V = ¼ Z	(x ¡ 1)3dx =	4¼(x ¡ 1)4¯1 = 4 :
2		1	¯	2	¼
1
			¯
			¯

11. Вычисëить производную от интеграла с переменным верхним

Решение.

R

x

sin t

пределом d

e

dt.

dx

0

Производная от интеграла с переменным верхним пре-

делом равна значению подынтегральной функции на верхнем пре-

äåëå:

x

d

Z0

esin tdt = esin x:

dx

12. Вычислить производную

d

¼=3

tdt

Rx

.

dx

cos t