[ Гельфрейх ] Математический анализ. Задачи для коллоквиума и экзамена на 1 курсе (ПМФ)

31

Решение.								0
	d	¼=3	tdt		=		d		x
								B
	dx Z		cos t			dx		@	¡ Z

tdt	1	=		x	:
cos t	AC		¡	cos x

Решение.

x

R

¼=3

Вычисляем по

sin x

t2

13. Вычислить производную

d

e

dt.

dx

0

функции:

правилу дифференцирования сложной

sin x

d

2

2

2

Z0

et dt = esin

x(sin x)0

= esin

x cos x:

dx

VII. Несобственные интегралы и ряды.

Решение.

R¡

1¡x

1. Вычислить несобственный интеграл

0

p

dx

1

2

.

0

0

Z

dx

= lim

Z

dx

lim arcsin x

0

=

p1

¡

x2

"!0

p1

¡

x2

=

"!0

j¡1+"

¡

1

¡

1+"

¡

¡

lim(arcsin 0

arcsin(

1 + ")) =

(

¼=2) = ¼=2:

= "

!

0

¡ ¡

Решение.

R

+1 dx

2. Вычислить несобственный интеграл

1

x2 .

2¶

Z

x2

M!+1 Z x2

M!+1 ¡2x3 ¯1

M!+1 µ¡2M3

2

+1dx

M dx

1

¯

M

1

1

1

1

1

=

lim

=

lim

¯

=

lim

+

=

:

R

Решение. Из замечательного предела limx!0

x

= 1

0

x

3.

Исследовать на сходимость несобственный иíòåãðàë

¯

1

sin x

dx.

sin x

следует, что

подынтегральная функция

; x ! 0:

x2

= O¤ µx¶

sin x

1

Поскольку интеграл

R0

x

1

1

dx

расходится, то и интеграл

Z0

sin x

dx

x2

расходится.

R1

1 sinx2xdx.

4.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл

+

	+1	1 dx сходится, следовательно, сходится¯				¯интеграл·		32
R					è			. Интеграл
			¯		x2	¯	x2
Ðåøåíèå. Подынтегральная функция
				sin x			1

1x2

+1

Z1

sin x

dx:

x2

P

Решение. Исследуем ряд на сходимость по

1

3n+5 .

5. Исследовать на сходимость положительный ряд

n=0

2n+5n

признаку Даламбера:

lim

an+1

= lim

3n+1 + 5 2n + 5n

= lim

3n+1 + 5 2n + 5n

=

an

n+1

+ 5

n+1

3

n

+ 5

n

n+1

+ 5

n+1

2

3 + 5 2

3 + 5=3n (2=5)n + 1

3

= lim

=

< 1:

1 + 5=3n

2(2=5)n + 5

5

Поскольку

an+1

lim

< 1;

Решение.

an

P

¡

¢

Исследуем ряд на сходимость по

ряд сходится .

n=1

5n+1

n.

6. Исследовать на сходимость положительный ряд

1

2n+3

признаку Коши:

lim pn

= lim

2n +

3

=

2

< 1:

an

5n +

1

5

Поскольку

lim pn

< 1;

Решение.

an

P

¡

¢

Исследуем ряд на сходимость по

ряд сходится .

1

n+1

n2

.

7. Исследовать на сходимость положительный ряд

n=1

n¡1

lim pn an = lim

µn +

1

¶

= lim µ1 + n

признаку Коши:

1¶

=

n

1

n

2

n

¡

¡

= lim µ1 +

2

¶

n¡1 2n

2 n¡1

= e2 > 1:

n

1

Поскольку

¡

lim pn

> 1;

an

ряд расходится .

P

1

n2+1

Решение. Воспользуемся признаком сравнения.

8. Исследовать на сходимость положительный ряд

n=2 ln

n2¡1

.

ln n2

+ 1 = ln µ1 + n2 2

Общий член ряда

1¶ = O¤ µn2 2

1¶

:

n2

1

¡

¡

¡

33

Ðÿä

1

2

X

n2

¡

1

тельно, сходится и ряд

n=2

n

n ¡1

¡n

¢

P

сходится,

т.к. сходится ряд

1

1

è

2

= O¤

1

:

Следова-

n=2

2

2

2

1

n2 + 1

X

¡

1:

ln n2

n=2

P

Решение. Используем интег

1

1

9. Исследовать на сходимость положительный ряд

1

n=2

n ln n

.

íà (0; +1) функция f(x) =

ðàëьный признак Коши. Непрерывная

x ln x убывает, и при x = n ее значения

совпадают с членами ряда: f(n) =

1

n ln n. Рассмотрим несобственный

интеграл

+1

+1

M

Z2

f(x)dx =

dx

=

lim

d ln x

=

lim

ln

ln x

M =

:

Z2

x ln x

M!+1 Z2

ln x

M!+1

j

jj2

1

Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд

1

X

1

:

n=2

n ln n

10.

Исследовать

íà

сходимость

знакопеременный

ðÿä

1

n n

10.

n=1

(

1)

¡2

¡

n

11 данный ряд является зна-

Решение. Начиная с номера n

кочередующимся

1

(

1) an, an =

¡2

> 0. Предел

n=11

n

=

n

n

10

P

P

¡

n

¡

10

lim an = lim

= 0:

n2

n!1

n!1

n¡210

Проверим, является

ëè

последовательность

an

=

моното-

нно убывающей. Для этого рассмотрим функцию

n

x¡210

f(x)

=

.

x2¡2x(x¡10)

20

x

Вычислим ее производную:

x

. Ïðè

f0(x) =

= ¡

¡x3

x >

x4

20 производная отрицательна, и функция убывает. Следовательно,

последовательность an убывает, начиная с номера n = 20. Ðÿä

1

X

1)n

n ¡ 10

(

n=1

¡

n2

сходится по признаку Лейбница.

P

1

xn sin nx

на проме-

жутке (¡2; 2).

n=1

3n

11.

Доказать равномерную сходимость ряда

u = arcsin(x=y2).

34

n

¯

:¯

Решение. Из неравенств

x < 2 è

¯

sin x

¯

·

1, следует, что

jxjn sin x

2n

¯

¯

n

·

3n

3n

2

n

¯

¯

n

x

Числовой ряд

1

сходится;¯

¯следовательно, ряд

1

x

sin n

3n

3n

n=1

¯

¯

P

n=1

P

(2; 2) по признаку

сходится равномерно на

Вейерштрасса.

12. Определить радиус и интервал сходимости и исследоватьP ïîâån -

1 (x¡6)

дение ряда в граничных точках интервала сходимости: n=1 4n2+8n. Решение. Радиус сходимости находим по формуле

R = lim	an	= lim	4(n + 1)2	+ 8(n + 1)		= 1:
			4n2 + 8n
n!1 an+1		n!1

Значит, ряд сходится абсолютно при jx ¡ 6j < 1 и расходится при jx ¡ 6j > 1. Иначе, (5; 7) интервал сходимости ряда. Исследуем его поведение в граничных точках. При x = 5 имеем числовой ряд

	1		(¡1)n				:
	X
	n=1		4n2	+ 8n
Рассмотрим ряд, составленный из модулей:
	1			1
	X								:
		j	4n2	+ 8n			j
Он сходится, т.к. сходится	n=1		P	1	n
	1
	ðÿä		1		1	. Ïðè				x = 7	имеем ряд
			n=1		2
	X						;
	n=1		4n2	+ 8n

который так же сходится. Таким образом, степенной ряд

X1 (x ¡ 6)n

n=1 4n2 + 8n

сходится абсолютно на отрезке [5; 7] и расходится за его пределами.

VIII. Функции многих переменных.

1. Найти область определения функции

Решение. Функция u определена, если выполняются условия y =6 0 è ¡1 · x=y2 · 1, ò.å. ¡y2 · x · y2. Областью определения функции

является часть плоскости, заключенная между двумя параболами y2 = x è y2 = ¡x, за исключением точки O(0; 0).

p

2. Найти область определения функции u = 9 ¡ x2 ¡ y2 ¡ z2.

35

Решение. Функция u определена, если выполняется условие 9 ¡ x2 ¡y2 ¡z2 ¸ 0, ò.å. x2 + y2 + z2 · 32. Областью определения данной

функции является шар радиуса 3 с центром в начале координат, включая граничную сферу.

3. Вычисëèòü частные производные первого порядка функции z =

sin(5x3py + y6).

Решение. Рассматривая y как постоянную величину, получим

@x@z = cos(5x3py + y6)15x2py + y6:

Рассматривая x как постоянную величину, найдем

@z

+ 6y5

= cos(5x3py + y6)5x3

1

:

@y

2

y + y6

z =

4. Вычислить частные производные

p

второго порядка функции

y ln x.

Решение. Найдем частные производные первого порядка: @z

= y

@z = ln x. Дифференцируя повторно, получим

@x

x;

@y

@2z

@ y

y

@2z

@

@2z

@

1

=

³

´

= ¡

;

=

(ln x) = 0;

=

(ln x) =

:

@x2

@x

x

x2

@y2

@y

@x@y

@x

x

5. Вычислить градиент функции u = xy2z3 в точке M(3; 2; 1).

Решение. Градиент функции тр¼х переменных может быть

вычислен по формуле:

@u

~

@u

~

@u

~

gradu =

@x

i +

@y

j +

@z

k:

Вычислим частные производные: @u

= y2z3, @u = 2xyz3 è @u

=

@x

@y

@z

3xyz2. В точке M частные производные принимают значения

@u

(3; 2; 1) = 4;

@u

(3; 2; 1) = 12;

@u

(3; 2; 1) = 36:

@x

@y

@z

Для градиента функции u в точке M(3; 2; 1) получаем формулу:

~

~

~

grad u(3; 2; 1) = 4i + 12j + 36k:

Решение. Заметим, что r ýòî

p

.

(x; y; z)

6. Вычислить градиент функции r =

x2

+ y2 + z2

расстояние от точки

äî

начала координат O(0; 0; 0) или, иначе, это длина радиус-вектора

~

~

~. Вычислим частные производные

~r = xi + yj + zk

@r

x

x

=

=

;

@x

p

r

x2 + y2 + z2

36

аналогично,

@r

y

@r

z

=

;

=

:

@z

r

@y

r

Окончательно, для градиента функции r получаем

x

~

y

~

z

~

1

~

~

~

~r

grad r = r i + r j + rk = r(xi + yj + zk) = r

:

7. Дана поверхность z = x2 ¡2xy +y2 ¡x+2y. Составить уравнение

касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке
M(1; 1; 1).
Решение.	Åñëè	уравнение поверхности	задано явно	z =
f(x; y) è	первые	частные производные,	вычисленные в	точке

M(x0; y0; z0), конечны, то уравнение касательной плоскости в точке M записывается в виде

z ¡ z0 =	@z	(x0; y0; z0)(x ¡ x0) +	@z	(x0; y0; z0)(y ¡ y0);
	@x		@y

а уравнения нормали - в виде

x ¡ x0	=	y ¡ y0	=	z ¡ z0	:
@x@z (x0; y0; z0)		@y@z (x0; y0; z0)
			¡1

Найдем частные производные @x@z = 2x ¡ 2y ¡ 1 è @y@z = ¡2x + 2y + 2 и их значения в точке M:

@x@z (1; 1; 1) = ¡1;

@y@z (1; 1; 1) = 2:

Уравнение касательной плоскости:

z ¡ 1 = ¡(x ¡ 1) + 2(y ¡ 1):

Уравнения нормали:

x ¡ 1 = y ¡ 1 = z ¡ 1: ¡1 2 ¡1

8. Дана функция	двух переменных f(x; y)			= arctg (x + y).
Вычислить df.
Решение.	1			1
d (arctg (x + y)) =		d(x + y) =			(dx + dy):
	1 + (x + y)2		1 + (x + y)2

9. Дана функция f(x; y) = exy. Вычислить значение d2f в точке

(0; 1).

(0; 0)

37

Решение. Второй дифференциал функции f может быть вычислен

по формуле

@2f

@2f

@2f

d2f(x; y) =

(x; y)dx2 +

(x; y)dy2

+ 2

(x; y)dx dy

@x2

@y2

@x@y

Вычислим первые, а затем вторые частные производные:

@f

= yexy;

@f

= xexy;

@x

@y

@2f

@2f

@2f

= y2exy;

= x2exy;

= exy + xyexy:

@x2

@y2

@x@y

Вычислим значения вторых производных в точке (0; 1):

@2f

@2f

@2f

(0; 1) = 1;

(0; 1) = 0;

(0; 1) = 1:

@x2

@y2

@x@y

Таким образом получаем

Решение.

@xf

d2exy (0; 1) = dx2 + 2dx dy:

¡x; x¢.

10. Вычислить @

y

³

´

³

´

³

x

´ @x ³y ´

y

y

@

f x;

y

= f0

x;

y

@

(x) + f0

x;

y

@

y

=

@x

x

1

x

@x

2

x

= f10

³x;

´ ¡

f20

³x;

´;

x

x2

x

ãäå f10 è f20	частные производные функции f по первому и второму
аргументу соответственно.
в точке	до членов второго порядка включительно.p1 +		x2 + y
11. Написать формулу Тейлора для функции f(x; y) =

Решение. Формула Тейлора для функции двух переменных до членов второго порядка включительно имеет вид:

f(x; y) = f(x0; y0) + fx0 (x0; y0)(x ¡ x0) + fy0(x0; y0)(y ¡ y0)+

1

2

y

y

2

2! ¡fxx00

(x0; y0)(x ¡ x0) + fyy00

¡

+

(x0; y0)(2

0)

+

2

¢

3=2

´:

+2fxy00 (x0; y0)(x ¡ x0)(y ¡ y0)¢ + O ³¡(x ¡ x0) + (y ¡ y0)

Вычислим значения функции и е¼ частных производных в точке
(0; 0):
f(0; 0) = p1 + x2 + y¯(0;0) = 1;
			¯
		x	¯
fx0 (0; 0) =				¯	= 0;
		1 + x2 + y
	p		¯(0;0)
			¯
			¯
			¯

fy0(0; 0) = 2 1 + x2

+ y¯

= 2;

38

1

¯

1

p

x2

1 + x

2

+ y

¯

2

¯

fxx00 (0; 0) = p

¯(0;0)

¯

2 ¡

p

= 1;

1+x +y

¯

1 + x + y

¯

1

1

3=2

¯

1

2

¯

fyy00 (0; 0) = 2 ¢ µ¡2¶(1 + x + y)¡

¯(0;0)

¯(0;0) = ¡4;

¯

¯

1

1

2

3=2

¯

¯

¯

fxy00 (0; 0) =

2

¢ µ¡

2

¶(1 + x + y)¡

¢ 2x¯(0;0)

= 0:

Таким образом получаем

µx2 ¡ 4y2¶

¯

p1 + x2 + y = 1 + 2y + 2

+ O ³(x2 + y2)3=2´:

1

1

1

2

3

12. Найти экстремумы функции двух переменных

z = 3x

¡ x

+

3y2 + 4y.

Решение. Вычислим частные производные: @x@z

= 6x ¡ 3x2,

@y@z

=

è

2;

32

. Вычислим значения вторых производных:

¡

32

¢

6y+4. Приравнивая их к нулю, найдем стационарные точки: 0; ¡

¡

¡

¢

@2z

= 6 ¡ 6x;

@2z

= 0;

@2z

= 6:

@x2

@x@y

@y2

В стационарной2

точке

0; ¡32

¢

значения вторых производных равны

A1 = @x@ z2

0;

¡

32

= 6;

¡

1 = @y2

¡

3

2

¢

@

2z

¡

B1 =

¡

0;

¡

¢3

= 0;

@x@y

D1

2

C

= A¡1C1

2

¢B12 = 36 > 0; следовательно, есть экстремум. A1 > 0,

@ z

0;

= 6:

В стационарной2

¡

точке

¡

¡3

2

¢значения вторых производных равны

3

следовательно, в точке

0; ¡2

функция z имеет минимум.

2;

¢

A2 = @x@ z2 2;

¡

32

2

=

¡

6;¡

@

2z

B2 =

¡

2;

¡

¢3

= 0;

@x@y

2

2

¡2

2

2 =

36

0

2;

3 является

C

=

2

¢

.

2 =

@ z

2;

¡

¢= 6

@y2

¡

3

¡

2

¢

для функции¡z седловой, в ней нет экстремума.

D

A C

B2

¡

< , следовательно, точка

¡

13. Найти экстремум функции z = xy при условии, что x è y связаны уравнением 2x + 3y ¡ 5 = 0.

39

Решение. Решим задачу методом множителей Лагранжа. Пусть требуется найти экстремум функции f(x; y) при условии '(x; y) = 0.

Тогда функция Лагранжа имеет вид:

L = f(x; y) + ¸'(x; y):

Необходимые условия экстремума8 можно записать в виде системы:

< @L@x = 0; @L = 0;

: '@y(x; y) = 0:

Пусть x = x0; y = y0; ¸ = ¸0 решение системы. Если d2L(x0; y0) > 0 (d2L(x0; y0) < 0) при условии @'@x dx + @'@y dy = 0; то функция f(x; y)

âточке (x0; y0) имеет минимум (максимум).

Составим функцию Лагранжа для нашей задачи: L = xy + ¸(2x +

3y ¡ 5). Вычислим частные производные: @L@x = y + 2¸, @L@y = x + 3¸.

Составим систему уравнений:8

< y + 2¸ = 0;

x + 3¸ = 0;

: 2x + 3y ¡ 5 = 0:

Решая систему, находим ¸ = ¡5=12, x = 5=4, y = 5=6.

Исследуем знак второго дифференциала d2L = dxdy при условии

2dx + 3dy = 0. Ò.ê. dx = ¡(3=2)dy, òî d2L = ¡(3=2)dy2 < 0. Ñëå-

довательно, в точке (5=4; 5=6) функция имеет условный экстремум - максимум.

Список литературы [1] Методические указания к практическим занятиям по курсу

"Высшая математика". Анализ. I семестр. Составители: В. А. Вешев, А. Р. Итс, В. Ф. Лазуткин, С. Н. Набоко, А. Н. Попов, Н. В. Смирнов. Ответственный редактор И. А. Молотков. Ленинградский университет, 1980 г.

[2] Методические указания к практическим занятиям по курсу "Высшая математика". Анализ. II семестр. Составители: В. А. Вешев, А. Р. Итс, В. Ф. Лазуткин, С. Н. Набоко, А. Н. Попов, Н. В. Смирнов. Ответственный редактор И. А. Молотков. Ленинградский университет, 1981 г.

[3] Методические указания к решению задач по математическому анализу. I курс. Составители: В. Л. Олейник, Н. В. Смирнов, М. Д. Фаддеев. Рецензент Е. Е. Лемехов. Ленинград, 1997 г.