Гришин Зачет по линейной алгебре.2 семестр 2009

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 8

1.

Является ли множество всех многочленов

(степени не выше 5) таких, что

для всех

линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого

пространства, указать какой-нибудь базис.

2.

Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3.

Дана система линейных уравнений:

.

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В пространстве

многочленов

степени не выше 3 рассматриваются подпространства

и

Найти базис подпространств

и

, размерность

суммы .

5.В пространстве многочленов степени не выше 2 задан оператор , где и – операторы первой и второй производной. Найти матрицу оператора в базисе .

11

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 9

1.Является ли множество всех элементов вида у которых линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь базис.

2. Найти общее решение однородной системы:						; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3.	Дана система линейных уравнений:		.
	а) Доказать, что она совместна.
	б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.
	в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.
4.	В пространстве	многочленов степени не выше 3 рассматриваются подпространства
		и		. Найти базис подпространства							и размерность
	суммы	.

5.В пространстве многочленов степени не выше 2 задан оператор , где ′ – оператор

дифференцирования, тождественный оператор. Найти матрицу оператора в базисе

–

12

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 10

1.Является ли множество всех многочленов (степени не выше 5) таких, что , линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь базис.

2. Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3.

Дана система линейных уравнений:

.

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В пространстве

многочленов степени

не выше 3

рассматриваются подпространства

и

. Найти

базис подпространства

и

размерность .

5.В подпространстве пространства многочленов степени не выше 2 задан

оператор:			–	. Найти матрицу оператора в базисе
			.

13

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 11

1.Является ли множество всех многочленов (степени не выше 5) таких, что , линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь базис.

2. Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3.

Дана система линейных уравнений:

.

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В пространстве

многочленов степени не выше 3 рассматриваются подпространства

и

. Найти базис суммы

.

Является ли

сумма прямой?

5.

В подпространстве

пространства

многочленов

степени

не выше 2

действует оператор

. Найти матрицу оператора в

базисе

–

–

14

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 12

1.

Является ли множество всех матриц

:

таких, что

,

линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать

какой-нибудь базис.

2.

Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3.Дана система линейных уравнений: .

	а) Доказать, что она совместна.
	б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.
	в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.
4.	В пространстве	многочленов степени не выше 3 рассматриваются подпространства
	и				. Найти базис суммы		. Является ли сумма
	прямой?
5.	В подпространстве		пространства			многочленов степени не выше 2 действует
	оператор:	.				. Найти матрицу обратного оператора в базисе

15

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 13

1.Является ли множество всех элементов вида , у которых – , линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь базис.

2. Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3.

Дана система линейных уравнений:

.

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В

пространстве

–

линейной

оболочке функций

–

рассматриваются подпространства

и

. Найти размерность пересечения

и базис суммы

. Является ли сумма

прямой?

5.

В

пространстве

–

линейной

оболочке

функций

задан

оператор

, где

и

– операторы первой и второй производной. Найти матрицу оператора в

базисе

.

16

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 14

1.Является ли множество всех элементов вида , у которых , линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь базис.

2. Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3. Дана система линейных уравнений:

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В пространстве

квадратных

матриц

рассматриваются

подпространства

симметрических матриц и

кососимметрических

матриц.

Найти

размерность пересечения

. Опишите пространство

.

5.

В пространстве

линейной оболочке функций

задан оператор

, где

–

оператор дифференцирования,

тождественный оператор. Найти матрицу оператора в

базисе

. При каких

оператор

имеет обратный оператор?

17

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 15

1.Является ли множество всех элементов вида , у которых линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь базис.

2.

Найти общее решение однородной системы;

; записать его в векторной форме.

Выделить фундаментальную систему решений.

3.

Дана система линейных уравнений:

.

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В пространстве квадратных матриц

рассматриваются подпространства

диагональных матриц и

симметрических

матриц.

Найти

размерность

пересечения

. Опишите пространство

.

5.В пространстве – линейной оболочке функций задан оператор интегрирования: . Найти матрицу обратного оператора в базисе

– . Сравнить оператор с оператором дифференцирования.

18

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 16

1.

Является ли множество всех многочленов

(степени не выше 5) таких, что

,

линейным

пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь

базис.

2.

Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной форме.

Выделить фундаментальную систему решений.

3.

Дана система линейных уравнений:

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В пространстве квадратных матриц

рассматриваются подпространства

и

. Найти

размерность

пересечения

.

Опишите

пространство

.

5.

В пространстве

– линейной

оболочке

функций

задан

оператор

интегрирования:

.

. Найти матрицу

оператора

в базисе

19

Зачет по линейной алгебре. 2 семестр Вариант 17

1.Является ли множество всех элементов вида , у которых линейным пространством? В случае положительного ответа найти размерность этого пространства, указать какой-нибудь базис.

2. Найти общее решение однородной системы:

; записать его в векторной

форме. Выделить фундаментальную систему решений.

3.

Дана система линейных уравнений:

.

а) Доказать, что она совместна.

б) Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

в) Найти общее решение системы и записать его в векторной форме.

4.

В пространстве квадратных матриц

рассматриваются подпространства

и

. Найти базис в пересечении

Опишите пространство

.

5.

В пространстве квадратных

матриц

второго порядка действует оператор

Найти

матрицу этого оператора в базисе

20