Гришин Зачет по математическому анализу.1семестр 2009

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 8

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите предельные точки (частичные пре-

x→a

делы) последовательности an = (−1)n n n+1 + 21n−+n1 .

Вычислить пределы:

	3. lim	2n +3n	;4. lim
		3n+1 −2n−1
	n→∞		x→0

1−sinx −cos2x

1

sin5x sin4x

tg(2πx) −tg(πx)

ex

arctgx−arctg3

;5. lim

;6. lim

;7. lim ln

.

sin3x (2x+1 −2)

x→1

sin(2πx) +sin(5πx)

x→π

tgx

x→3

3

8. Найти производную функции y = arctg(2x +1) sin 3x	в произвольной допустимой точке x .
2cos x

В ответ записать ее значение в точке x0 = 0 .

9. Вычислить эластичность функции f (x) = xcos x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением arcsin(x y)+sin y = 0 неявно. Найти ее дифференциал в точке

(x,y).

11. Найти радиус кривизны кривой y = tg 2 x в точке x0 = (π4).

12.Провести исследование функции и построить график: y = x3 e1x .

13.Числа x ≥ 0 и y ≥ 0 удовлетворяют условию: x − y = a . Какое наибольшее и наименьшее значения может

принимать величина x3 − y3 ?

11

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 9

1.Сформулировать понятие: lim f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите предельные точки (частичные пре-

x→∞((−1)n +1) n ( n +1 − n ).n

	Вычислить пределы:
	3. lim	5n3 +(−1)n	; 4. lim	2x −2	;5. limsin2x +sin3x		;6. lim	2x −2x	;7. lim (sin 2x)(sin x −cos x )−2 .
		(n2 +1)(2n +3)		ln(1 +sinπx)				x −2sinπx
	n→∞		x→1		x→π	tg5x	x→2		x→π 4

8.Найти производную функции y = cos(2x 1+ x2 ) в произвольной допустимой точке x. В ответ записать ее значение в точке x0 = 0 .

9.Вычислить эластичность функции f (x) = (sin x)x 2 в произвольной точке.

10.	Функция y = y(x) задана соотношением		arccos(xy)−cos x = 0 неявно. Найти ее дифференциал в допусти-
мой точке (x,y).		x
11.	Найти радиус кривизны кривой y =			в точке x =1.
		1 + x2		0
				2

12.Провести исследование функции и построить график: y = 12 (2x2 − x −1) e( x −1)(2 x +1) .

13.Числа x и y удовлетворяют условию: x + y = a, x ≤ 2a . Какое наибольшее значение может принимать

величина x3 + y3 ?

12

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 10

2nsin πn

1. Сформулировать понятие: lim

f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Найдите

2

.

lim

Вычислить пределы:

x→−∞

n→∞

n +1

πx

3n n +1 −sinn

sin

−cos(2πx)

2cos x −0,5

x2 −sinx

;7. lim(1 + x2 )(cos 3x −cos x)−1 .

3. lim

; 4.

lim

2

; 5. lim

; 6. lim

n→∞

n3 +5n +1

x→2

sinπx

x→π

sin2 x

x→0

tg2x

x→0

1+

2

x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его зна-

8. Найти производную функции y =sin

log

x

3

чение в точке x0 = 3 .

9. Вычислить эластичность функции

f (x) = (x2 +1)ln 2x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) заданасоотношением

x

1 + xy = y неявно. Найтиее дифференциалвдопустимойточке (x,y).

11.Найти радиус кривизны кривой y = x (x +1) в точке x0 =1.

12.Провести исследование функции и построить график: y = 3 (x −1)(x −4)2 .

13.Числа x и y удовлетворяют условию: x + y2 =1. Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

13

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 11

n2 cos πn

1.

Сформулировать понятие: lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Найдите

lim

3

.

+ n +1

x→a

n→∞ 2n2

Вычислить пределы:

;7. lim(

x −1)(tgx −tg 4)−1 .

3.

lim

n n +(−1)n

; 4. lim sin 2x −tgx

; 5. lim

2x2 −1 −1

; 6.

lim

x2 −2x

x + 2 −1

n→∞ 4n3 +3n −1

x→0

x2 +3x

x→−1

x→2 sinπx

x→4

1 + 4x sinπx

8.

Найти производную функции y = tg

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать

log2 x

ее значение в точке x0

= 2 .

9.Вычислить эластичность функции f (x) = xesin 2x в произвольной точке.

10.Функция y = y(x) заданасоотношением x2 + y2 = ln(xy) неявно. Найтиеедифференциалвдопустимойточке(x,y).

11. Найти радиус кривизны кривой y = (x +1) x в точке x0 =1.

12.Провести исследование функции и построить график: y =1 3 (x +1)2 (x −5).

13.Числаx иy удовлетворяютусловию: y − x2 =1. Какоенаименьшее значение можетприниматьвеличина 2(x + y)?

14

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 12

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть ограниченной в

x→a

окрестности какой - либо точки, но не иметь предела в этой точке? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы:

3. lim( n + 2 − n )(n +1);4.

sin(2x −2

x

)

ln

2

(2 + x)

arctgx − x

lim (x

x −1

lim

; 5. lim

;6. lim

;7.

3

ln −

.

+9)

2

n→∞

x→1

x −1

x→−1 1 +cosπx

x→0

x −tgx

x→−2

8. Найти производную функции y = 3

log3 x arctg x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать

ее значение в точке x0 = 3 .

9. Вычислить эластичность функции

f (x) = x2ecos 2 x в произвольной точке.

10.

Функция y = y(x) задана соотношением x2 + xy + y2

= 2xy

неявно. Найти ее дифференциал в допустимой

точке (x,y).

11.

Найти радиус кривизны кривой y = (x2 +1)

x в точке x

=1.

0

12.

Провести исследование функции и построить график:

y = 3

11

(x −1)(x −2) x −

3

.

13.

Числа x и y удовлетворяют условию: y2 + x2

= 4 . Какое наименьшее и наибольшее значения может прини-

мать величина (x −3)2 + y2 ?

15

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 13

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть в одной точке

x→∞

бесконечно малой, а в другой точке - бесконечно большой? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы:

5n +sin(n2 )

tgx +sin 2x

3x +1 −2

x2 −2x

tg 2

3 x

3.

lim

; 4.

lim

; 5.

lim

; 6. lim

;7. lim (sin x)

.

n2 +3n +1 + 2n

x(2x +3)

2x

2

−2

x −2cosπx

n→∞

x→0

x→1

x→2

x→π / 2

8.

Найти производную функции y = x2 x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в

точке x0

=1.

9.

Вычислить эластичность функции f (x) =

ex

в произвольной точке.

x2 +1

x

10. Функция y = y(x) заданасоотношением

xy2

= sin

неявно.

Найтиеедифференциалвдопустимойточке(x,y).

y

11. Найти радиус кривизны кривой

y =

x2 +

1

в точке x

=1.

x

0

12.Провести исследование функции и построить график: y = x2 +1x .

13.Числа x и y удовлетворяют условию: y + x =π . Какое наименьшее и наибольшее значения может принимать

величина sin2 x +sin y ?

16

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞.

Вариант 14

2. Теоретический вопрос. Докажите, исходя из определения произ-

′

x→∞

= 2cos 2x в любой точке x?

водной, что (sin 2x)

Вычислить пределы:

3. lim

(n

+1)(2n +5)

arcsin3x −sin x

cosπx −1

x −cosπ(x +1)

2 (sin x−sin1)−1

;4. lim

;5. lim

;6. lim

;7. lim

n2 +n +1

x(x +5)

log2 (x +2) −2

x −1

n→∞ n

x→0

x→2

x→1

x→1 1

+ x

8. Найти производную функции y = x2 x в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в

точке x0

= 2 .

9. Вычислить эластичность функции f (x) = x3ex 2 в произвольной точке.

10.

Функция y = y(x) задана соотношением x + y =1 cos(xy)неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке

(x,y).

11.

Найти радиус кривизны кривой y = xex2 −1 в точке x

=1.

0

(x −1)(x +3)

12.

Провести исследование функции и построить график:

y =

.

x

y

x

13.

Числа x и y удовлетворяют условию:

+

=1. Какое наименьшее и наибольшее значения может прини-

мать величина y + x2 ?

17

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 15

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть непрерывной в

x→−∞

какой-либо точке, но не иметь в этой точке производную?

Вычислить пределы:

x +1

n +1 +

n −1

3x+3

−9

arcsin 3x

2x −2x

1

x3

−x

3. lim

;4. lim

; 5. lim

;6. lim

; 7. lim 2 −

.

2n

+1

+ 2)

arctgx + arctg4x

3 −2x − x2

n→∞

x→−1 ln(x

x→0

x→1

x→0

cos x

8. Найти производную функции y = xsin x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его значение в

точке x0

=π .

9. Вычислить эластичность функции y = ex 2 x в произвольной точке.

			x
10.					неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке
	Функция y = y(x) задана соотношением x + y = sin
			y
(x,y).
11.	Найти радиус кривизны кривой y = ex 2 −1 x	в точке x			=1.
			0			x
12.	Провести исследование функции и построить график:		y =				.
						x2 +1
13.	Числа x и y удовлетворяют условию : xy = a,	a > 0,	x > 0 . Какое наименьшее значение может принимать
величина 2 y + x ?

18

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 16

1. Сформулировать понятие:

lim f (x) = +∞. 2. Теоретический вопрос. Докажите, исходя из определения произ-

x→+∞

водной, что

(x3 )′ = 3x2 в любой точке x .

Вычислить пределы:

x

n2 −2

n +1 +n n2 +1

sin 3x −sin x

sinπx

x −cosπx

x +1

x2

−x−2

3. lim

;4. lim

;5.

lim

;6. lim

;7. lim

.

n +3

x(x −

4)

ln(x −1)

2x−1 −1

n→∞

x→0

x→2

x→1

x→2

2x −1

8. Найти производную функции y = xln x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее значение в

точке x0 = e .

9. Вычислить эластичность функции y = e−x

x2 +1 в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

x

= tg(xy) неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

y

11. Найти кривизну кривой y = x x2 +1 в точке x

=1.

0

x

12. Провести исследование функции и построить график: y =

.

(x −1)(x +3)

13. Прямой круговой конус имеет объем V. Какое минимальное значение имеет длина образующей конуса?

19

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 17

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞. 2. Теоретический вопрос. Может ли функция быть ограниченной

x→−∞

на множестве M, если ее производная не ограничена на этом множестве? Ответ обоснуйте. Вычислить пределы:

3. lim

n +1 +3 n + 2

; 4. lim

(x + 2)sinπ(x +1)

; 5. lim

ln(x +3)

; 6.

lim

x −3x−1

; 7.

lim(

n + 2

n→∞

x→0

sin(x + x2 )

x→−2

5 − x2 −1

x→1 log3 x

x→3

1

8.

Найти производную функции y = (ln x)

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать

x

в точке x0 = e .

9.

Вычислить эластичность функции

f (x) = ln x

x2 в произвольной точке.

4 − x )ctgπx .

его значение

				x
	10.	Функция y = y(x) задана соотношением
			xy = ctg	y	неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке
	(x,y).
	11.	Найти кривизну кривой y = ln x x2	в точке x	=1.
			0			x
	12.	Провести исследование функции и построить график:			y =
							.
						3 (5 − x)(5 + x)
	13.	Длина образующей прямого кругового конуса равна L. Какое наибольшее значение
		имеет объем конуса?

20