Гришин Зачет по математическому анализу.1семестр 2009

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 18

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞. 2. Теоретический вопрос. Функция имеет ограниченную производ-

x→+∞

ную на интервале. Может ли она быть неограниченной на этом интервале? Ответ обосновать. Вычислить пределы:

1

2n +arcsin

2x −2x

1

n

sin3x +sin(x +π)

x +

2 −1

;6. lim

2arccos x

sin x

3. lim

; 4. lim

;5. lim

;7. lim

.

3n +(−1)n+1

xcos(5π +x)

x +cosπx

n→∞

x→0

x→−1 log2 (2x +3)

x→1

x→0

π

8. Найти производную функции

y = tg(sinπx) ln(

e + x2 ) в произвольной допустимой точке x . В ответ запи-

сать его значение в точке x0

= 0 .

9. Вычислить эластичность функции f (x) = xln x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

x2

= 2

xy

неявно. Найти ее дифференциал в допустимой

y2

точке (x,y).

11. Найти кривизну кривой

y = ln2 x в точке x

=1.

0

3

(x +3)x2

12. Провести исследование функции и построить график: y =

.

x + 2

13.Правильная треугольная пирамида имеет объем V. Какое наименьшее значение может иметь длина бокового ребра?

21

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 19

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Приведите пример функции, которая в

x→a−0

данной точке имеет первую производную, но не имеет второй. Вычислить пределы:

3. lim( n

2

+ n +1 −n); 4. lim

tg2x −sin 2x

lim

x2 − x −

6

x + 2 + x

4arctgx ctgπx

3

; 5.

; 6. lim

; 7. lim

.

sin x

2

x

−8

x −cosπx

π

n→∞

x→0

x→3

x→−1

x→1

8. Найти производную функции y = ctg(arccos x) 2sin 3 x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать

ее значение в точке x0 = 0 .

9. Вычислить эластичность функции f (x) = xarctgx в произвольной точке.

10.

Функция y = y(x) задана соотношением

log y

x =

y

неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

x

11.

Найти кривизну кривой y = 2x2 в точке x = 0 .

0

12.

Провести исследование функции и построить график:

y =

x + 2

.

3

(x +3)x2

13.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно L. Какое наибольшее значение может иметь объем пирамиды?

22

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 20

1. Сформулировать понятие:

lim

f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Объясните почему o(x) o(x) = o(x2 ) ?

x→a+

0

Вычислить пределы:

1

2n −1 −

n −1

(sin 2x +sin x)2

x2 +3x + 2

1 + 2x −cos x

ln x

x−2

3. lim

; 4

lim

; 5. lim

; 6. lim

;7. lim

.

n + 2

cos 2x −cos x

ln(x +3)

x +sin 3x

n→∞

x→0

x→−2

x→0

x→2 ln 2

8. Найти производную функции y =

tg(arcsin(1

x

))

в произвольной допустимой точке x .

log2 x

В ответ записать ее значение в точке x0 = 2 .

9.Вычислить эластичность функции f (x) = (cos x)x в произвольной точке.

10.Функция y = y(x) задана соотношением logx y = xy неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке

(x,y).

11. Найти кривизну кривой y = x2x2 в точке x0 =1.

12.Провести исследование функции и построить график: y = ln (xx−+2)1 2 .

13.В прямоугольном параллелепипеде длина одного из ребер равна 2, сумма площадей его граней равна 10. Какое наибольшее значение может принимать объем параллелепипеда?

23

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 21

1. Сформулировать понятие:

lim

f (x) = A −0 . 2. Теоретический вопрос. Верно ли, что

o(x2 )

= o(x)

в точке

o(x)

x→a−

0

xo = 0?

Вычислить пределы:

3. lim(n n

); 4. lim

x(tgx +sin 3x)

4x −3 −3

2cosπx − x

ln x

x 2

2

+1 −n

2

x2

−2 x −3

; 5. lim

; 6. lim

2

; 7.

lim

.

cos 2x −cos x

(x −1)

2

− 4

x

− 4

n→∞

x→0

x→3

x→2

x→3 ln 3

π

8. Найти производную функции y = arccos(log3 x) 2cos x

в произвольной допустимой точке x . В ответ запи-

сать ее значение в точке x0 =1 .

9.Вычислить эластичность функции f (x) = (x2 + x +1)ecos x в произвольной точке.

10.Функция y = y(x) задана соотношением x y = ln(xy) неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке

(x,y).

11.Найти кривизну кривой y = x (x +1) в точке x0 =1.

				1 2
	12. Провести исследование функции и построить график:	y = ln 1	+		.
				x

13. В прямоугольном параллелепипеде объема 3 длина одного из ребер равна 3. Какое наименьшее значение может принимать площадь поверхности параллелепипеда?

24

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 22

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = ∞. 2. Теоретический вопрос. Найти функцию обратную к функции

x→a+0

y = x + x2 −1 на полуоси x ≥ 0 . Вычислить пределы:

4n2 + 2n +3 −n

ln(x + 2)

4

sin 6x − x

x − 2cosπx

sin x

−

2 x+2

−1

3. lim

; 4. lim

; 5.

lim

; 6. lim

; 7. lim

.

2n +sin n

tg2x − x

x +5 −2

2x − 2x

n→∞

x→0

x→−1

x→2

x→−2

sin 2

8. Найти производную функции y = sin(tgπx)

в произвольной допустимой

xx

x0 = 2 .

точке x . В ответ записать его значение в точке

9. Вычислить эластичность функции f (x) = x3 3x 2

в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

x ln y

=

1

неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке

xy

(x,y).

11. Найти кривизну кривой y = x( x +1) в точке x0 = 4 .

1

12.Провести исследование функции и построить график: y = eln x .

13.Площадь основания прямоугольного параллелепипеда равна a2, площадь боковой поверхности равна S . Какое наибольшее значение может принимать объем параллелепипеда?

25

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 23

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = −∞ . 2. Теоретический вопрос. Найти для функции y = sin3 x − x3

x→a −0

эквивалентную бесконечно малую функцию вида сxm в точке x = 0 . Вычислить пределы:

3. lim(n + 2)( n

2

−1 −n); 4. lim

sin 4x − x

; 5.

lim

3x

−9

; 6. lim

x −cos(x −1)

tgx + 4x

− x)

3x −3

x

n→∞

x→0

x→2 ln(3

x→1

8.

Найти производную функции y =

cos(arctgx)

в произвольной допустимой

1 + x2

точке x . В ответ записать ее значение в точке

x0

=1 .

9.

Вычислить эластичность функции f (x) = x2 2x3 в произвольной точке.

1

tgx 3x −3x

; 7. lim .

x→1 tg1

y
10. Функция y = y(x) задана соотношением yx = 2 x	неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

11.Найти кривизну кривой y = x2x+1 в точке x0 =1.

12.Провести исследование функции и построить график: y = elog1x e .

13.Длины диагоналей боковых граней прямоугольного параллелепипеда равны 5 и 2 2 . Какое наибольшее значение может принимать объем параллелепипеда?

26

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 24

1. Сформулировать понятие: lim f (x) = +∞ . 2. Теоретический вопрос. Для функции y = x3 написать прира-

x→a −0

щение y в точке xo = 1, ее дифференциал dy в той же точке и оценить порядок малости величины y − dy

по шкале ( x)m .

Вычислить пределы:

2n+2 −n

1

−cos 2x

ln(x2 −3)

x − 2 − x

ctgπx

3.

lim

; 4.

lim

; 5.

lim

; 6. lim

; 7. lim(log2 x)

.

xsin 5x

x +6 −2

2x − 2x

n→∞ n + 2 +3n

−1

x→0

x→−2

x→1

x→2

8.

Найти производную функции y =

sin(arcctg2x)

в произвольной допустимой точке x. В ответ записать его

1 + 4x2

значение в точке

x0 =1 2 .

9.

Вычислить эластичность функции f (x) = x2tgx в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

x

=

y

неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке

sin y

cos x

(x,y).

11.Найти кривизну кривой y = ex x +1 в точке x0 = 0 .

12.Провести исследование функции и построить график: y = xx .

13.Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна L. Какое наибольшее значение может принимать ее объем?

27

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 25

1. Сформулировать понятие: inf f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Для функции y = x написать приращение

x M

y в точке x0

=1, ее дифференциал dy в той же точке и оценить порядок малости величины

y −dy −(1 2)d 2 y по шкале ( x)m .

Вычислить пределы:

3n + 2

−n

lim sin x(tg2x

− x)

2

x +3

−4

x +cosπx

1

3. lim

; 4.

; 5.

lim

; 6. lim

; 7. lim (x2 + x +1)

.

ln(x +2 )

x + 2 −1

n→∞

n2 + n +1

x→0

1 −cos3x

x→−1

x→1 ln(2 − x)

x→−1

8. Найти производную функции y = x

x sinπx в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его значе-

ние в точке x0

=1 .

9. Вычислить эластичность функции f (x) =

x3

в произвольной точке.

sin 2x

10. Функция y = y(x) задана соотношением

2x

=

2y

неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

y

x

11.Найти кривизну кривой y = 2x (x + 2) в точке x0 = −2 .

12.Провести исследование функции и построить график: y = x1 x .

13.Объем правильной треугольной призмы равен V. Какое наименьшее значение может принимать длина диагонали боковой грани?

28

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 26

1. Сформулировать понятие: sup f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Докажите теорему Лагранжа для функции

x M

y = x2 на отрезке [0; 2]. Вычислить пределы:

2

2

sinπx (2−x −4)

x −1

1

3. lim

n

4n +1 +n +1

;4. limsin x +cosx −1;5. lim

;6. lim

x −2

;7. lim(2x2 +3x −4)

(x2 −1) .

(n +2)(n −1)

x +cosπx

n→∞

x→0

2x

x→−2 log (x2 +4x +5)

x→1

x→1

2

8.

Найти производную функции y = (sin x)x cos x

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его

значение в точке

x0

=π 2 .

9.

Вычислить эластичность функции

f (x) = x

ln2 x

в произвольной точке.

10. Функцияy = y(x) задана соотношением sin xy = cos xy неявно. Найти ее дифференциалвдопустимойточке (x,y).

11.	Найти кривизну кривой y =	x	в точке x = 0 .
		e2 x	0
					−	1
12.				+ e		x
	Провести исследование функции и построить график: y = ln 1						.

13. В шар с радиусом R вписана правильная треугольная призма. Какое наибольшее значение может принимать объем призмы?

29

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 27

1. Сформулировать понятие: max f (x) = A . 2. Теоретический вопрос. Докажите теорему Лагранжа для функции

x M

y = 1x на отрезке [1; 2].

Вычислить пределы:

3. lim

n +2 − n −5

;4. lim

x +x2 +sin2x

;5. lim

(x2 +x −2)sinπx

;6. lim

x − 2cosπx

;7.

lim (sin x −cos2 x)tg 2 x .

n→∞ n −2 − n −6

x→0

x2 +tg3x

x→1

( x +8 −3)2

x→2

tg2πx

x→π / 2

8.

sin 2πx

Найти производную функции y = cos

2arctgx

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его

значение в точке x0

= 2 .

9.

Вычислить эластичность функции f (x) = x3 ln2 x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

cos(x2 + y2 ) = sin(x

y) неявно. Найти ее дифференциал в допус-

тимой точке (x,y).

11. Найти кривизну кривой y = x x +1 в точке x0 = 0 .

x 2

12.Провести исследование функции и построить график: y = e(x −1)(x +2 ) .

13.Около правильной треугольной призмы с объемом V описан шар. Какое наименьшее значение может принимать радиус этого шара?

30