Сандаков Начала тензорного исчисления Методические рекомендации 2009

то говорят, что задан аффинный p + q-валентный тензор, p раз ко-

вариантный и q раз контравариантный. Числа ai1...iq называются

k1...k p

координатами тензора. Число r p q называется рангом тензора.

Скаляр, т.е. величину, имеющую во всех системах координат одно и то же значение (одну координату), считают тензором нулевого ранга, вектор – тензор первого ранга (контравариантный).

Если координаты двух тензоров одинакового строения совпадают в одном базисе, то они совпадают и во всех остальных базисах (значит, эти тензоры равны), так как при переходе к новому базису координаты обоих тензоров преобразуются одинаково. Поэтому для того, чтобы задать тензор данного строения, достаточно задать его координаты в какой-нибудь одной системе координат.

§ 5. Аффинный ортогональный тензор

Рассмотрим евклидово пространство En. В нем определено скалярное произведение x, y . Это – симметричная билинейная фор-

ма.

Рассмотрим

ортонормированный

базис (ОНБ), в

нем

e ,e

ik

. Если x

xie , то

i

k

i

x, e

xie , e

xi e , e

xi

ik

xk .

k

i

k

i

k

Если С

сi

– матрица перехода от одного ОНБ e

к другому

k

ОНБ

то

e

c j e

. Умножая это равенство скалярно на e

, по-

e

,

j

j

i

i

лучим:

e , e

j

c j .

i

i

С

другой

стороны,

если

e

j

bi e

, то

аналогично

получаем

j i

e , e

j

bi

,

где

B

C 1. Следовательно,

bi

c j , т.е. элемент об-

i

j

j

i

ратной матрицы получается из элемента прямой транспонированием матрицы. Такие матрицы называются ортогональными. Транс-

понированная матрица здесь совпадает с обратной, т.е. CT C 1. При переходе к новому базису в случае ОНБ теряется различие между верхними и нижними индексами:

10

't j1 j2... jq

ce1e2...ep b j1 j2... jq tm1...mq

ce1e2...ep cm1...mq

tm1...mq .

i i ...i

p

i i ...i

p

m ...m

e e ...e

p

i i ...i

p

j j

... j

e e ...e

p

1 2

1 2

1

q

1 2

1 2

1 2

q 1 2

Определение тензора в евклидовом пространстве. Говорят, что в евклидовом пространстве En задан аффинный ортогональный тензор (евклидов тензор), если при любом выборе ОНБ e имеем nr

чисел	ti i	...i , которые при переходе к любому другому ОНБ e с
	1 2	r
матрицей перехода			C ci	преобразуются по закону
			k
			t		cl1l2 ...lr t		,
			i1i2	...ir	i i	...i l1l2	...lr
					1 2	r
где li	– индексы суммирования.

§ 6. Тензор как линейный оператор

Аффинный ортогональный тензор второго ранга можно рассматривать как линейный оператор над векторами евклидова пространства. Пусть задан аффинный ортогональный тензор второго

ранга	t	ik	ti .	Матрицу тензора удобно трактовать как матрицу
			k
некоторого оператора					A ~ ti	. Пусть, кроме того, B ~ si	. Тогда
					k	k
si	ti	~ B	A,	ti	~ A,	т.е. так определенный оператор явля-
k	k			k

ется линейным.

§7. Действия над тензорами

I.Сложение и вычитание тензоров. Тензоры одинакового ранга можно суммировать и вычитать. Например, имеем два тензора одинакового ранга:

S : si i

...i

и

T :

ti i

...i .

1 2

r

1 2

r

По определению тензор S T имеет координаты

si i

...i

ti i

...i .

1 2

r

1 2

r

В новом базисе

e

s

t

ce1

cer s

ce1

cer t

e1...er

ce1

cer

s

t

e1...er

.

i1i2 ...ir

i1i2 ...ir

i

i

e1...er

i

i

i

i

e1...er

1

r

1

r

1

r

Таким образом,

координаты тензора

S

T

преобразуются по

тензорному закону.

11

II. Умножение тензора на число. Имеем тензор T : ti1i2 ...ir произ-

вольного ранга r. По определению тензор T имеет координаты

ti1i2 ...ir .

III. Умножение тензоров. Перемножать можно тензоры любых

рангов. Имеем тензор

S : si i

...i

ранга r1 и тензор

T : t j

j ... j

ран-

1 2

r

1

2

r

1

2

га r2 . По определению S T – это тензор ранга r1

r2 с координа-

тами s

...i t

j

j

... j

.

Число таких произведений nr1 r2 . Проверим,

i i

r

1 2

1

1

2

r

2

что так определенная величина S T является тензором. Для этого достаточно показать, что при переходе к новому базису координаты S T преобразуются по базисному закону:

s

t

c

e1...er

c

m1m2 ...mr

t

.

j1 j2

... jr

1

j j

... j

2 s

i1i2 ...ir

i i

...i

e1...er

m1...mr

1

2

1 2

r

1 2

r

1

2

1

2

Это тензор ранга r1

r2 .

IV. Свертка (свертывание индексов).

Операцией,

специфиче-

ской для тензоров, является свертка по какой-либо паре индексов. Например, берем тензор T ранга r 2. Пусть в заданном базисе его

координаты ti i ...i . Фиксируем любые два индекса, например im и

1 2

r

is :

ti i

...i

...i

...i

1

m

s

r . Сверткой тензора T по паре индексов

1 2

m

s

r

im

и

is

называется тензор

ранга

r 2,

имеющий

координаты

ti i

... j

... j

...i

. По индексу j происходит суммирование.

1 2

( m)

( s )

r

Докажем, что в результате получается

тензор

r – 2-го

ранга.

Пусть для определенности r

4 : имеем тензор ti i i

i

. Произведем

1 2 3

4

свертку по индексам i2

,

i4 , получим тензор

ti

ji

j ,

второй и четвер-

1

3

тый индексы

–

свободные.

Свернутый тензор

в

новом

базисе

t

Cl1 Cl2 Cl3 Cl4 t

Cl2 Cl4

Cl1 Cl3 t

Cl1 Cl3 t

,

l l

4

l, –

i1 ji3 j

i

j

i

j l1l2l3l4

j

j

i

i l1l2l3l4

i

i

l1ll3l

2

1

3

1`

3

1

3

l2l4

тензор второго ранга.

Например, если произведение двух тензоров первого ранга aibj подвергнуть свертке, получится скалярное произведение векторов

	3
a,b	aibi aibi – скаляр-тензор нулевого ранга.
i	1

12

tki uk .

V. Скалярное умножение тензора на вектор. Рассмотрим тен-

зор T : tki	и вектор u			u j . Скалярным произведением тензора T на
						u	ti	u j . T	u v : vi ti	uk
вектор u (справа) является вектор: T
							k		k
(свертка по индексам k и j):
	t1	t1	t1	u1	t1u1	t1u2		t1u3	t1uk
	1	2	3		1	2		3	k
v	t2	t2	t2	u2	t2u1	t	2u2	t2u3	t2uk .
	1	2	3		1	2		3	k
	t3	t3	t3	u3	t3u1	t	3u2	t3u3	t3uk
	1	2	3		1	2		3	k

Таким образом, vi

VI. Скалярное умножение тензоров. Имеем два тензора в задан-

ном базисе: S : sij и T : tkl . Скалярным произведением тензоров называется свертка этих тензоров по двум индексам:

S T sijtkj .

Так как тензоры S и T определяют линейные операторы A и B соответственно, то свертка их по индексам j и l – смешанный тен-

зор второго ранга

d i

si t j ,

который определяет линейное преоб-

k

j k

разование AB. Свертка

si t j

по i и k cl

si tl

соответствует произ-

j k

j

j i

ведению BA.

Все примеры рассматриваем в E3.

Пример 3. Имеем векторное поле r

x1, x2 , x3 и функцию

u r

u1, u2

, u3

C1 .

Производные

ui

составляют матрицу

xk

u1

u1

u1

x1

x2

x3

u2

u2

u2

.

x1

x2

x3

u3

u3

u3

x1

x2

x3

13

Убедимся в том, что это – тензор, обозначим его dudr . Перехо-

дим к новому базису e . В новом базисе e r			' x1, ' x2 , ' x3 ,
u 'u1 , 'u2 , 'u3 . Докажем, что производные		'ui	выражаются
		' xk

через старые производные по тензорному закону. Точка, где рассматриваем производные, фиксирована:

'ui

bi u j , xk

ck

' xl ;

j

l

'ui

bi

u j

bi

u j

xl

bi

u j

clp ' x p

bi cl

u j

c jcl

u j

,

' xk

j

j

' xk

j

xl

' xk

j

k

xl

i k

xl

' xk

xl

p k

что и требовалось доказать.

Таким образом, показали, что производная

du

образует тензор,

dr

так как при переходе к новому базису координаты

du

преобразу-

dr

ются по тензорному закону

'ui

bi cl

u j

bi bk

u j

;

' xk

j k

xl

j

l

xl

dr

dx1, dx2 , dx3 .

du

dr

ui

dxk

dui ,

dr

xk

du – дифференциал вектор-функции du

du

dr .

dr

Если свернуть

ui

, получим

div(u)

ui

.

xk

xi

Таким образом, дивергенция векторного поля – это свертка тен-

зора	du		ui	.
	dr		xk

Пример 4 (тензор деформаций). Рассмотрим некоторое деформируемое тело, любую точку которого в системе координат

Ox1x2 x3 будем определять ее радиусом-вектором r xiei : r OM

(рис. 1).

14

Рис. 1

Пусть тело подверглось деформации. Точка M r

перемести-

лась на вектор

u , заняла положение M '

r u .

Эта деформация

описывается

полем смещений

u

u1e

u2e

u3e

uie . Дадим

1

2

3

i

точке M приращение и рассмотрим точку M1

r

dr

. При дефор-

мировании она перейдет в точку M1 r

dr

u

du . Деформацию

тела в окрестности данной точки

M r

можно охарактеризовать

изменением длин всевозможных отрезков

MM1 ,

MM 2 , …, выхо-

дящих из точки

M r

в достаточно малой ее окрестности.

Рас-

смотрим изменение длины отрезка MM1

при деформации тела.

MM1

. Отрезок MM1

переходит в M M1 , его

Длина

равна

dr

длина равна

dr

du

. За меру изменения длины отрезка принима-

ется величина

A

1

M M 2

MM

2

1

dr

du 2

dr2

1

2dudr du2

;

2

1

1

2

2

dr

dxie ,

i

du duie

du1

, du2 ,du3

u1

dxk ,

u2

dxk ,

u3

dxk

ui

dxke .

i

xk

xk

xk

xk

i

Таким образом, A

1

2

ui

dxk

dxi

ui

dxk

ui

dxm .

2

xk

xk

xm

15

Так как рассматриваем малые деформации, то членами	ui		ui
	xk		xm

можно пренебречь и тогда получаем квадратичную форму относительно переменных dx1, dx2 , dx3 , коэффициенты которой образуют тензор второго ранга, называемый тензором деформаций:

1

1

1

1

A

2

u

dx1dx1

u

dx2dx1

u

dx3dx1

1

2

3

2

x

x

x

u2

u2

u2

2

dx1dx2

dx2dx2

dx3dx2

1

2

3

x

x

x

u3

u3

u3

2

dx1dx3

dx2dx3

dx3dx3

1

x

2

x

3

x

Y1dx12 Y 2dx22

Y

3dx32

2Y

1dx1dx2

1

2

3

2

2Y1dx1dx3

2Y 2dx2dx3 ,

3

3

где Y i

ui

; Y i

Y k

1

ui

uk

.

i

xi

k

i

2

xk

xi

Матрица тензора деформаций имеет вид

u1

1 u1

u2

1 u1

u3

x1

2 x2

x1

2 x3

x1

1 u1

u2

u2

1 u2

u3

.

2 x2

x1

x2

2 x3

x2

1 u1

u3

1 u3

u2

u3

2 x3

x1

2 x2

x3

x3

§ 8. Разложение тензора 2-го ранга на симметричный и антисимметричный

Все рассмотрения проводим в пространстве E3. Имеем тензор с

координатами t	ik	(или		t i	) в заданном базисе. Сопряженным ему
				k
называется тензор t*			t	ki	.
		ik

16

Тензор T : tik называется симметричным, если T* T , т.е.

tik tki .

Тензор T называется антисимметричным, если T* T , т.е.

tik tki .

Из определения следует, что по главной диагонали антисимметричного тензора стоят нули:

0	a12	a13
a12	0	a23 .
a13	a23	0

Таким образом, симметричный тензор второго ранга определяется шестью своими координатами, а антисимметричный – тремя недиагональными координатами. Примером симметричного тензора является тензор деформаций. Простейшим примером антисимметричного тензора второго ранга является векторное произведе-

ние двух векторов. Действительно,

пусть в базисе

e

даны два

вектора:

a

aie , b

bie .

i

i

e1

e2

e3

a, b

a1

a2

a3

a2b3

a3b2 e a3b1 a1b3 e

a1b2

a2b1 e .

1

2

3

b1

b2

b3

Векторы a

и b

являются тензорами первого ранга, система де-

вяти величин

Lij

aib j

a jbi

образует тензор второго ранга. Этот

тензор – антисимметричный, так как Lij

Lji и определяется, сле-

довательно, тремя своими координатами.

Пусть T – произвольный тензор, тогда

T

1

T

T *

1

T

T * ,

2

2

это равносильно для координат тензора равенству

t

1

t

t

1

t

t

.

ik

2

ik

ki

2

ik

ki

Первые слагаемые в правой части образуют симметричный тензор, вторые – антисимметричный.

17

Таким образом, любой тензор второго ранга представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.

Пример 5. Является ли симметричным тензор du ? Иначе: в ка-

											dr
ком поле u	тензор	du		симметричен?
		dr
Его матрица
						u1		u1		u1
						x1		x2		x3
			du			u2		u2		u2	.
			dr			x1		x2		x3
						u3		u3		u3
						x1		x2		x3

Сопряженный тензор

du

* имеет матрицу

dr

u1

u2

u3

x1

x1

x1

du

*

u1

u2

u3

.

x2

x2

dr

x2

u1

u2

u3

x3

x3

x3

Когда

du

=

du

* ?

dr

dr

Так как

ui

uk

,

то это означает, что rot u 0. Действительно,

xk

xi

e1

e2

e3

rot u

0

x1

x2

x3

u1

u2

u3

Так

как

rot u

0 ,

то

поле

u потенциально, значит

U C2 : u grad U , т.е.

18

ui

U

,

ui

2U

;

uk

2U

;

xi

xk

xi xk

xi

xk xi

так как U

C2 ,

то

2U

2U

, т.е.

ui

uk

,

следовательно,

xi xk

xk

xi

xk

xi

матрица тензора

du

симметрична. Отсюда следует,

что тензор

du

dr

dr

симметричен в потенциальном поле.

Пример 6. Диаду ab

разложить на симметричный и антисим-

метричный тензоры.

a1b1

a1b2

a1b3

1

1

ab

a2b1

a2b2

a2b3

ab ba

ab ba ;

2

2

a3b1

a3b2

a3b3

a1b1

a2b1

a3b1

ba

a1b2

a2b2

a3b2 ;

a1b3

a2b3

a3b3

a1b1

1

a1b2

a2b1

1

a1b3

a3b1

2

2

1

ab ba

1

a1b2

a2b1

a2b2

1

a2b3

a3b2

;

2

2

2

1

a1b3

a3b1

1

a2b3

a3b2

a3b3

2

2

0

1

a1b2

a2b1

1

a1b3

a3b1

2

2

1

ab ba

1

a2b1

a1b2

0

1

a2b3

a3b2

2

2

2

1

a3b1

a1b3

1

a3b2

a2b3

0

2

2

1

0

3

2

0

1 ;

3

2

0

2

1

19