Сандаков Начала тензорного исчисления Методические рекомендации 2009

nTdS	T cos n, x1	T cos n, x2	T cos n, x3	dS
	1	2	3

S S

T1

T2

T3

dV

Ti

dV .

1

2

3

V x

i

V x

x

x

Напишем эту формулу в более развернутом виде:

T dS	TndS		T cos n, x1			T cos n, x2		T cos	n, x3 dS
n			1			2		3
S	S		S
	tk e cos		n, x1	tk e cos		n, x2 tk e		cos n, x3	dS
	1	k		2	k		3 k
	S
		tk cos	n, x1	tk	cos n, x2		tk cos	n, x3 dSe
		1		2			3		k
	S
				tk
				i	e dV		div TdV .
				xi	k
			V			V
Таким образом,			nTdS	div TdV ,			т.е. поток тензора через замк-

S V

нутую поверхность (так называется левая часть равенства) равен тройному интегралу от дивергенции тензора T по объему, ограниченному этой поверхностью.

		Применим эту формулу к выво-
		ду уравнения движения сплош-
		ной среды (рис. 2). Выделим
		элементарную область в движу-
		щейся сплошной среде. По вто-
		рому закону Ньютона, если рас-
		сматривать область		, за-
		полненную массой, как матери-
Рис. 2		альную точку, то
	d	f	pnd ,	(9)
	dt
где – объемная плотность массы;			– объем области; f	– объем-

ная сила, приходящаяся на единицу массы; pn – напряжение на

30

элементарной

площадке

d

с

единичным

нормальным векто-

ром n ;

pndS

Tnd

,

где T – тензор напряжений. По формуле Гаусса – Остроградского:

Tnd

div Td

e

div T 1 d

e

div T 2 d

e

div T 3 d .

1

2

3

По

теореме о среднем

Tnd

e

div T

1

e

div T 2

1

*

2

*

e

div T 3

. Подставляем правую часть в (9),

деля на

и пере-

3

*

ходя к пределу при

M (

стягивается в точку M), получаем

уравнение движения сплошной среды

dv

f

div T.

Это выра-

dt

жение – уравнение в векторной форме. В проекциях на оси координат получаем три скалярных уравнения:

dv

t1

1

f

i

;

dt

1

xi

dv

t

2

2

f

2

i

;

dt

xi

dv

t3

3

f3

i

.

dt

xi

t1

t1

t1

t1

Расшифруем, например,

i

1

2

3

.

i

1

2

x

x

x

3

x

31

§14. Правила применения тензорной символики

ввекторных операциях

В

ортонормированном

базисе

e

ei , ek

ik ;

если

x x1, x2 ,

x3

,

то

xi

. Рассмотрим числа

e ,

e

, e

,

ik

j

ijk

xk

i

k

где i

1, 2, 3 ,

j

1, 2, 3,

k

1, 2, 3.

1,

если (i, j, k) имеет четное число транспозиций;

ijk

1,

если (i, j, k) имеет нечетное число транспозиций;

0, если среди индексов (i, j, k) имеются равные;

123

1,

132

1,

213

1, 231

1 , 312

1 ,

321

1.

Покажем, что

ijk

представляют тензор 3-го ранга. Для этого

достаточно доказать, что при переходе к новому базису они

преобразуются		по	тензорному	закону:	ijk	ei , e j , ek
l	h	q	l h q	Таким образом,		величины ijk
ci el ,	c j eh ,	ck eq	ci c j ck lhq .

представляют тензор 3-го ранга, который меняет знак при отражении, т.е. равен 1 в правой системе координат и равен –1 в левой системе координат.

Понятие аксиального тензора в E3. Выберем ОНБ e в E3 . Рассмотрим величину

1, если базис правый; 1, если базис левый.

Величина называется псевдоскаляром. Таким образом, если скаляр инвариантен при преобразовании координат, то псевдоскаляр – величина, которая меняет знак при переходе от правой системы координат к левой. Например, смешанное произведение векторов – псевдоскаляр.

Аксиальным тензором ранга r в E3 будем называть произведение T, где – псевдоскаляр; T – тензор ранга r . В частности, если T – вектор T a , то a будем называть псевдовектором (аксиальным вектором). Векторы типа векторного произведения – акси-

32

альные, так как они меняют знак при переходе от правой системы координат к левой.

Как пользоваться аксиальным тензором

ijk

в векторном исчис-

лении? Тензор ijk

обладает свойством

il

im

,

ij –

ijk

lmk

jl

jm

символ Кронекера.

Доказательство. Можно доказать, что

il

im

is

ijk

lms

jl

jm

js

.

kl

km

ks

1. Если в i, j, k

или l,

m, s

есть совпадающие индексы, то

это очевидно.

2. Все

индексы

различны:

i, j, k –

четная

перестановка;

l, m, s

– четная, тогда

11

12

13

ijk lms

21

22

23

E

1 и т.д.;

31

32

33

il

im

ik

ijk

lmk

jl

jm

jk

.

kl

km

1

il

im

1

Пусть i

k . Если бы i

k ,

то имели бы

0

jl

jm

jl

0 –

il

im

1

очевидное равенство.

Пусть j k, если j k : 0

il im ij

jl	jm	1	0.
jl	jm	1

33

	il	im
Таким образом, i k, j k и ijk lmk	jl	jm
	kl	km

0		il	im
0				.
1		jl	jm

Векторное исчисление можем рассматривать как частный случай тензорного:

a,b aibi	ik	aibk ;

	div a	ai		ai	;
		xi	ik	xk

a, b i

ijk

a jbk .

Действительно,

a,b i

a,b ,e

e , a je

j

,b k e

a jbk e , e

j

,e

ijk

a jbk ;

i

i

k

i

k

rot a

i

ak

.

ijk

x j

Докажем это.

Пусть

rot a i

rot a, e

e ,

, a

e ,

j e

j

, ak e

i

i

i

k

j ak

e ,

e

, e

ak

;

j

ijk

i

k

x j

grad

i

.

xi

Доказательство:

grad

i

e ,

e ,

je

e ,e

j

.

ij x j

xi

i

i

j

i

j

Рассмотрим основные векторные операции.

1. div

u, v

rot u, v

u, rot v .

Доказательство:

div

u,v

u,v i

kij

u jvk

xi

xi

u j

vk

vk

u j

vk

u j

u j

vk

ijk

kij

jik

xi

ijk

xi

xi

xi

v,

rot u

u, rot v .

34

2. rot rot u grad div u

u.

Доказательство:

rot rot u								i
	ijk				lmk
									x j
						um
il jm	x j					xl
l i,m j
								u j
			xi					x j

3. Чему равен rot u,v

Доказательство:

rot u k

um

ijk

x j

ijk

x j

klm

xl

um

il

im

um

xl

jl

jm

x j

xl

um

u j

ui

im

jl

x j

xl

x j

xi

x j x j

m i,l

j

2ui

(grad div u)i

( 2u)i .

x j 2

?

rot u, v

i

u, v k

ul vm

ul vm

ijk

x j

ijk

x j

klm

ijk lmk

x j

il

im

ul

vm

ul

vm

ul

vm

ul

vm

x j

x j

il

jm

x j

x j

jl

jm

l i

m j

ul

vm

ui

v j

u j

vi

vm

ul

v j

ui

vi

u j

im

jl

x j

x j

x j

x j

x j

x j

m i l

j

v,

u i

u div v i

v div u i

u,

v i .

Таким образом,

rot

u, v

u div v

v div u

v,

u

u, v .

4. Доказать, что

u, rot v

v, rot u

u,

v

v,

u

grad

u, v .

Доказательство. Пусть i -я координата левой части

35

u j (rot v)k

v j (rot u)k u j

vi

v j

ui

u j

vm

ijk

ijk

x j

x j

ijk lmk

xl

v j

um

u j

vi

v j

ui

il

im

u j

vm

v j

um

ijk

lmk

xl

x j

x j

xl

xl

jl

jm

u j

vi

v j

ui

u j

v j

v j

u j

x j

x j

xi

xi

l

i,m j

u j

vi

v j

ui

u j

vi

v j

ui

u j

v j

v j

u j

u,v ,

x j

x j

x j

x j

xi

xi

xi

m i,l j

что и требовалось доказать.

5. Чему равен rot c, f (r)r , если c – постоянный вектор.

	rot c, f (r)r	i
		ijk

ijk lmk cl

c, f (r)r k					cl f (r)xm
x j		ijk	lmk		x j
f (r)	xm	cl f (r)	xm
x j			x j

il

im

cl

f

(r)

x j xm

cl f (r)

xm

jl

jm

r

x j

ci

f (r)

x j x j

ci f (r)

x j

c j

f (r)

x j xi

c j

f (r)

xi

r

x j

r

x j

l

i,m

j

m i,l

j

ci

f (r)

r2

3cl f (r)

f (r)

c, r xi

f (r)ci ,

r

r

так как

x j

3 ,

xi

1, j i;

x j

x j

0,i

j.

Таким образом,

rot

c, f (r)r

cf

(r)r

f (r)

c, r r 2cf (r) .

r

6. Вычислить

n,u

n,

rot u

r ds.

s

36

n,u

i

n,

rot u

r

i

ds

n juk

xi n j

um

ds,

ijk

jlm

xl

s

s

применяем формулу Гаусса – Остроградского:

uk

xi

um

dv

v

ijk

x j

jlm

x j

xl

uk

xi

um

xi

2um

dv

v

ijk

x j

jlm

x j

xl

jlm

x j xl

j i

uk

um

xi

2um

dv

xi

um

dv

ijk

x j

ilm

xl

jlm

x j xl

xl

ljm

x j

v

v

xi

rot u l

dv 0,

xl

v

так как

rot u l

div rot u

0 и

,

,u

0 .

xl

Таким образом,

n,u

n, rot u

r

ds

0 .

s

Изложенный метод применения тензорной символики в векторных операциях широко используется в физических курсах, читаемых в МИФИ.

37

Рекомендуемая литература

1.Кочин И.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.: Изд-во АНСССР, 1951.

2.Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. – М.: Наука, 1965.

38

Евгений Борисович Сандаков

Светлана Григорьевна Селиванова

НАЧАЛА ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Методические рекомендации

Редактор М.В. Макарова

Оригинал-макет изготовлен С.В. Тялиной

Подписано в печать 18.06.2009.	Формат 60 84 1/16.
Уч.-изд. л. 2,5. Печ. л. 2,5. Тираж 350 экз.	Изд. № 057-1 Заказ № 000

Московский инженерно-физический институт (государственный университет). Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31.

39