А.Г. Изместьев Уравнивание геодезических построений параметрическим способом

10

где V − вектор поправок к измеренным значениям; A - матрица коэффициентов; δX − вектор поправок к приближённым значениям дирекционных углов; L − вектор свободных членов.

1.5. Вычислить элементы вектора свободных членов уравнений поправок L = f (X 0 ) −Y по формуле:

li = fi ( X10 , X 20 ,..., X k0 ) − yi .	(1.5)
1.6. Составить систему нормальных уравнений:
NПδX +в =0 ,	(1.6)

где N П − матрица коэффициентов нормальных уравнений (табл. 7);

в− вектор свободных членов (табл. 7).

1.7.Решить систему нормальных уравнений по сокращённой схеме Гаусса (табл. 8). Порядок решения изложен в лекции. В матричном виде это решение выглядит следующим образом:

δX = −NП−1АТL = −NП−1в,

(1.7)

где −NП−1 − обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений; AТ − транспонированная матрица коэффициентов.

	Контроль осуществить путём вычисления вектора							X = −NП (AТ S)
						δ
	и проверки равенства δx j −
		δx j			X	образуется по-
			=1 (табл. 8). Вектор δ
	сле замены в табл. 8 столбца свободных членов AТ L					на суммарный
	столбец AТ S .

1.8. Вычислить поправки путём подстановки полученных значений δx j в систему уравнений поправок (1.4). См. табл. 6.

		~
1.9. Вычислить уравненные углы yi = yi +vi (табл. 6). Выполнить
~	~	~
контроль y2	+ y5	+ y8 − АОВ= 0 .
		~	0
1.10. Вычислить уравненные дирекционные углы x j			= x j +δx j .
1.11.	Выполнить окончательный контроль		уравнивания
(Y = f ( X ))	путем подстановки в исходные уравнения связи вместо Xj

уравненные

значения ~x j . В результате должны получить уравненные значения измерений γ~i , совпадающие с уже вычисленными.

1.12. Оценить точность измерений и последнего неизвестного. Средняя квадратичная погрешность измеренного угла

11

m = [v2 ]/ n −k ,

где п - число измерений; k - число неизвестных.

Средняя квадратичная погрешность дирекционного угла ~x5

m ~	~
	= m 1/ px	5	,
X5

где p~x5 =ee4 - вес последнего уравненного дирекционного угла (табл. 8).

Время на выполнение лабораторной работы - 4 часа.

СХЕМА СЕТИ ТРИАНГУЛЯЦИИ С ИЗМЕРЕННЫМИ УГЛАМИ

Исходные дирекционные углы:

αОА = 00 ;

αOB =1350 40′19′′,5 .

12

												Таблица 5
					Исходные данные
Номер угла		Измеренные	Номер угла		Измеренные			Номер угла		Измеренные	Номер угла	Измеренные
		углы			углы					углы		углы
	Вариант 1				Вариант 2					Вариант 3		Вариант 4
αов		135°40′19″,5	αов		116°11′40″,0			αов		52°01′20″,1	αов	129°02′40″,6
1		64 36 00,9	1		53 15		15,3	1		27 08 40,6	1	74 15 41,5
2		65 53 45,2	2		58 03		53,0	2		132 28 47,5	2	62 38 58,7
3		49 30 19,3	3		68 40		46,4	3		20 22 33,4	3	38 05 19,8
4		55 19 45,2	4		18 21		39,1	4		109 19 19,1	4	61 05 29,6
5		55 12 15,1	5		145 35 52,3			5		44 02 56,6	5	72 35 44,4
6		69 27 52,6	6		16 02		24,3	6		26 37 46,0	6	46 18 44,4
7		33 44 19,4	7		88 14		11,7	7		27 18 42,3	7	45 00 00,1
8		103 13 43,4	8		40 08		36,9	8		131 27 50,8	8	95 42 38,3
9		43 02 01,7	9		51 37		20,4	9		21 13 26,0	9	39 17 19,3
		Вариант 5			Вариант 6					Вариант 7		Вариант 8
αов		176°33′22″,1	αов		94°06′00″,3			αов		94°06′00″,3	αов	179°40′03″,3
1		117 49 15,5	1		53 15	1,8		1		53 15 19,2	1	27 08	37,9
2		37 28 35,7	2		68 40	46,1		2		68 40 49,7	2	132 28 49,4
3		24 42 07,2	3		58 03	53,8		3		58 03 51,1	3	20 22 35,1
4		94 16 22,5	4		18 21	38,0		4		18 21 47,5	4	109 19	18,4
5		43 37 40,3	5		145 35		52,2	5		145 35 53,9	5	26 37	39,1
6		42 05 56,9	6		16 02 25,3			6		16 02 22,3	6	44 02	59,1
7		36 01 30,5	7		88 14 11,5			7		88 14 09,9	7	27 18	41,1
8		102 20 21,9	8		51 37	19,7		8		51 37 21,0	8	21 13	29,0
9		41 38 00,3	9		40 08	37,8		9		40 08 29,9	9	131 27	54,4
		Вариант 9			Вариант 10					Вариант 11		Вариант 12
αов		179°53′15″,5	αов		191°51′22″,1			αов		94°06′00″,1	αов	116°11′42″,2
1		79 15 41,4	1		117 49 18,9			1		53 15 15,7	1	53 15 16,4
2		38 05 17,4	2		24 42	14,3		2		68 40 46,6	2	58 03 53,3
3		62 39 05,6	3		37 28	31,3		3		58 03 52,4	3	68 40 49,8
4		61 05 26,8	4		94 16	24,4		4		18 21 40,2	4	18 21 41,1
5		46 18 42,7	5		42 05	58,0		5		145 35 52,1	5	145 35	53,2
6		72 35 49,8	6		43 37	32,8		6		16 02 23,4	6	16 02 23,4
7		44 59 56,4	7		36 01	42,7		7		88 14 11,9	7	88 14 07,3
8		95 42 43,4	8		102 20		22,9	8		51 37 21,0	8	40 08 31,7
9		39 17 21,0	9		41 37 57,4			9		40 08 36,1	9	51 37 18,7

13

Продолжение табл. 5

	Вариант 13				Вариант 14			Вариант 15				Вариант 16
αов		52°00′26″,4		αов		29°02′36″,5	αов		176°33′21″,1		αов		176°33′21″,1
1		27 08	40,3	1		79 15 40,4	1		117 49	17,1	1		117 49	15,5
2		132 28	47,6	2		62 38 59,6	2		37 28	35,2	2		37 28	34,7
3		20 22	34,7	3		28 05 28,3	3		24 42.09,9		3		24 42	08,2
4		109 19	18,3	4		61 05 28,3	4		94 16	24,1	4		94 16	22,5
5		44 02	56,1	5		72 35 45,2	5		43 37	39,5	5		43 37	42,3
6		26 37	45,8	6		46 18 43,8	6		42 05	57,5	6		42 05	54,9
7		27 18	41,1	7		44 59 58,4	7		36 01	35,2	7		36 01	30,5
8		131 27	50,1	8		95 42 39,1	8		102 20	23,8	8		102 20 21,9
9		21 13 26,3		9		39 17 19,5	9		41 38 00,3		9		41 38 00,3

2. Контрольный пример вычислений для варианта № 1

Таблица 6 Исходные данные и результаты уравнивания

Номер угла	Измеренный угол	Поправка	Уравненный
			угол
1	64036′00″,9	−1″,4	64035′59″,5
2	65 53 45,2	−2,6	65 53 42,6
3	49 30 19,3	−1,4	49 30 17,9
∑	180 00 05,4	−5,4	180 00 00,0
4	55 19 45,2	2,7	55 19 47,9
5	55 12 15,1	1,6	55 12 16,7
6	69 27 52,6	2,8	69 27 55,4
∑	179 59 52,9	7,1	180 00 00,0
7	33 44 19,4	−1,1	33 44 18,3
8	103 13 43,4	−2,2	103 13 41,2
9	43 02 01,7	−1,1	43 02 00,6
∑	180 00 04,5	−4,4	179 59 59,9

14

В качестве неизвестных параметров выберем дирекционные углы

x1, x2, x3, x4, x5, обозначенные на схеме сети как 1΄, 2΄, 3΄, 4΄, 5΄ соответственно.

Составим исходные уравнения связи:

Y1 = X 2 − X1 ;		Y5 = X 2 − X 4 ;
Y2	=αoA − X 2 ;	Y6 = X 3 − X 2 +1800 ;
Y3	= X1 −αoA ;	Y7 =αВО − X 5 ;
Y4	= X 4 − X 3 ;	Y8 = X 4 −αОВ ;
		Y9 = X 5 − X 4 .

Вычислим приближённые значения дирекционных углов сторон:

X10

=αАО +Y3

=180 0 00′00′′+ 49030′19′′,3 = 229 0 30′19′′,3 ;

15

X 20

=αОА −Y2

= 360 0 00′00′′−650 53′45′′,2 = 294 0 06′14′′,8 ;

X 30

= X 20 +Y6

= 2940 06′14′′,8 +690 27′52′′,6 =183034′07′′,4 ;

0

=αОВ +Y8

=135

0

′

′′

0

′

′′

= 238

0

′

′′

X 4

40 19 ,5

+103 13 43 ,4

54 02 ,9 ;

0

=αВО −Y7

= 315

0

′

′′

−33

0

′

′′

= 281

0

′

′′

X 5

40 19 ,5

44 19 ,4

56 00 ,1.

Составим параметрические уравнения поправок:

V1 = -δх1 + δх2			+ l1;
V2 =	- δх2		+ l2;
V3 = + δх1		-δх3 + δх4	+ l3;
V4 =			+ l4;
V5 =	+ δх2	-δх4	+ l5;
V6 =	-δх2	+ δх4	+ l6;
V7 =		+ δх5	+ l7;
V8 =		+ δх4	+ l8;
V9 =		- δх4 + δх5	+ l9.

15

Вычислим свободные члены:

l1 = −х°1 + х°2				−Y1 = −5,4;
l2 =	− х°2			−Y2 = 0;
l3 = + х°1				−Y3 = 0;
l4 =		−х°3 + х°4		−Y4 = 10,3;
l5 =	+ х°2	−х°4		−Y5 = −3,2;
l6 =	−х°2	+ х°4		−Y6	= 0 ;
l7 =			+ х°5 −Y7		= 0;
l8 =		+ х°4		−Y8 = 0;
l9 =		−х°4	+ х°5	–Y9 = −4,5.

Составим систему нормальных уравнений (табл. 7) с контролем путём суммирования её элементов по строкам.

Коэффициенты нормальных уравнений

Таблица 7

ер а

a]

b]

с]

d]

E]

l]

s]

Контроль

Н о м у г л

1

−1

+1

−5,4

−5,4

2

−

0

−1,0

3

1

+1

+1

0

+1,0

4

−1

+10,3

+10,3

5

+1

−1

−

−3,2

6

−

+1

3,2

0

0

7

1

−

0

−1,0

8

+1

1

+1

0

+1,0

9

−

−4,5

−4,5

1

[a

+2

−1

0

0

0

+5,4

+6,4

+6,4

[b

+4

−1

−1

0

−8,6

−7,6

−7,6

[c

0

−10,3

−10,3

−10,3

+2

−1

[d

−

+18,0

+19,0

+19,0

+4

[e

1

+2

−4,5

−3,5

−3,5

[l

+165,74

+165,74

+165,74

[s

+169,74

+169,74

16
Запишем систему нормальных уравнений:
2δx1 −δx2	+ 5,4 = 0;
−δx1 +4δx2 −δx3 −δx4	−8,6 = 0;
−δx2 +2δx3 −δx4	−10,3 = 0;

−δx2 −δx3 +δx4 −δx5 +18,0 = 0 ;

−δx4 +2δx5 −4,5 = 0 .

Решим систему нормальных уравнений по сокращённой схеме Гаусса (табл. 8). Контроль осуществим путём вычисления вектора δx и

=1 (нижняя часть табл. 8).

проверки равенства δ j −δx j

Вычислим поправки в измеренные углы (табл. 6) путём подста-

новки полученных значений δx j в систему уравнений поправок.

~

Вычислим уравненные углы yi (табл. 6). Выполним контроль

~

~

~

0

′

′′

y2

+ y5

+ y

8

− АОВ = 224 19 40 ,5 − АОВ = 0 .

~

:

Вычислим уравненные дирекционные углы x j

x1 = 229

0

′

′′

x3

=

183

0

′

′′

30 17 ,9 ;

34 12 ,7 ;

x2

= 294

0

′

′′

x4

=

238

0

′

′′

06 17 ,4 ;

54 00 ,7 ;

x5

= 281

0

′

′′

56 01 ,2 .

Выполним окончательный контроль ~y = f (x) :

y1

= x2 −x1 =64

35′59′′,5;

y6 = x3 − x2 +180

= 69

27′55′′,3 ;

~

0

~

0

0

~

=αОА − x2

=

65

0

53

′

′′

~

=αВО − x3

= 33

0

44

′

′′

y2

42 ,6 ;

y7

18 ,3 ;

~

= x1 −α АО

=

49

0

30

′

′′

~

= x4 − aOB

0

′

′′

y3

17 ,9 ;

y8

=103 13 41 ,2 ;

~

0

~

= x5 − x4 = 43

0

02′00′′,5 .

y4

= x4 − x3 = 55 19′48′′,0 ;

y9

~

= x2 − x4 = 55

0

12′16

′′,7 ;

y5

Оценим точность измерений и точность последнего дирекционного угла.

17

Средняя квадратичная погрешность измеренного угла m = [V 2 ]/(n −k) = 36 / 4 =3′′,0 .

Средняя квадратичная погрешность последнего дирекционного угла

mx5

~

=3′′,0

0,61 = 2′′,3 .

= m 1/ Px5

Схема решения нормальных уравнений

Таблица 8

δx1

δx2

δx3

δx4

δx5

l

S

Контроль

+2

−1

0

0

0

+5,4

+6,4

−1

+0,500

0

0

0

−2,700

−3,200

3,200

+4,0

−1,0

−1,0

0

−8,6

−7,6

+3,50

−1,00

−1,00

0

−5,90

−4.40

−4,40

+0,286

+0,286

0

+1,686

+1,257

−1

+2,0

−1,0

0

−10,3

−10,3

+1,258

+1,71

−1,29

0

−11,99

−11,56

−11,57

−1

+0,754

0

+7,012

+6,760

+4,0

−1,0

+18,0

+19,0

+6,766

+2,74

−1,00

+7,27

+9,02

+9,01

−1

+0,365

−2,653

−3,292

+2,0

−4,5

−3,5

−3,298

+1,64

−1,85

−0,21

−0,21

−1

+1,128

+0,128

+0,128

−1,41

+2,567

+5,322

−2,241

+1,128

6

δx1

δx2

δx3

δx4

δx5

−2,41

+1,562

+4,313

−3,245

+0,128

9

Контроль

1,003

1,005

1,009

1,004

1,000

18

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что означают термины “уравнивание’’ и “уравнительные вычисления”?

2.Как выбираются уравниваемые параметры и какое обязательное условие при этом ставится?

3.Какие поправки входят в параметрические уравнения поправок?

4.Как составляются нормальные уравнения?

5.Привести матричную запись системы параметрических уравнений поправок.

6.Привести матричную запись системы нормальных уравнений.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Беляев Б.П. Теория погрешностей и способ наименьших квадратов / Б.П. Беляев, М.Н. Тевзаде. - М.: Недра, 1992. - 286 с.

2.Большаков В.Д. Уравнивание геодезических построений: Справ. пособие / В.Д. Большаков, Ю.И. Маркузе, В.В. Голубев. - М.: Недра,

1989. – 413 с.

19

Составитель Анатолий Григорьевич Изместьев

Уравнивание геодезических построений параметрическим способом

Методические указания для лабораторных работ по курсу "Математическая обработка результатов геодезических изме-

рений"

для студентов специальности 311100 "Городской кадастр"

Редактор А.В. Дюмина

Подписано в печать 04.03.03. Формат 60х84/16 Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе.

Тираж 50 экз. Уч.-изд. л. 1,2. Заказ ГУ Куз ГТУ, 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография ГУ Куз ГТУ , 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.