В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения

			20
	Общее решение однородного уравнения						Таблица 3
Вид общего решения однородного				Корни характеристического урав-
уравнения				нения
1.	y0 = c1ek1x + c2ek 2x			k1,k2 -вещественные, k1 ≠ k2
2.	y0 = (c1 + c2x)ekx			k1,k2 -вещественные, k1 = k2
3.	y0 = (c1 cosβx + c2 sinβx)eαx			k1,k2 -комплексные,
				k1 = α + βi, k2 = α − βi
	Частное решение неоднородного уравнения						Таблица 4
Вид правой части неоднородного				Вид частного решения
дифференциального уравнения
f (x)= eax Pn (x), Pn (x)-		многочлен		y = xr eax Qn (x), где
степени n				0, еслиa неявляетсякорнем
					характерист. уравнения
				1,еслиa равноодномукорню
				r =	характерист. уравнения
					2,еслиоба корняхарактерист.
						уравненияравныa
				Qn (x)- многочлен степени n с не-
				определёнными коэффициентами
f (x)= eax (Pn (x)cosbx + Qm (x)sinbx),				y = xr eax (SN (x)cosbx + ZN (x)sinbx)
Pn (x)- многочлен степени n,				0, еслиa + bi неявляетсякорнем
Qm (x)- многочлен степени m					характерист. уравнения
				r =
				1,еслиa + bi равноодномукорню
					характерист. уравнения
				N равно наибольшей из степеней
				n и m
	Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения
y′′ + 8y′ + 16y = 2xe−4x ,		удовлетворяющее				начальным	условиям
y(0)= 1, y′(0)= 2.

21

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y, где y0 - общее решение однородного уравнения

y′′ + 8y′ + 16y = 0 ,

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

k2 + 8k + 16 = 0 .

Его корни k1 = k2 = −4 . Следовательно, y0 = e−4x (c1 + c2x) .

Так как правая часть уравнения f (x) = 2xe−4x , то Y = x2 e−4x (Ax + B).

Здесь a = −4, Pn (x)= 2x, r = 2 .

Y = e−4x (Ax3 + Bx2 ).

Y′ = −4e−4x (Ax3 + Bx2 )+ e−4x (3Ax2 + 2Bx)= = e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx).

Y′′ = −4e	−4x	(− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx)+ e−4x (12Ax2 + 2x(− 4B + 3A)+
+ 2B) = e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B).

Подставив эти значения в наше уравнение, получим
e−4x	(16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B)+ 8e−4x (−4Ax3 +
+ x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx) + 16e−4x (Ax3 + Bx2 )= 2xe−4x .
Сократим на e−4x и сгруппируем члены с x3 , x2 , x, x0 :
	x3 (16A − 32A +16A)+ x2 (16B − 24A − 32B + 24A +16B)+
	+ x(−16B + 6A +16B)+ 2B = 2x
или	6Ax + 2B = 2x .

Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, при одинаковых степенях x . Получаем систему уравнений для определения A, B .

6A = 2,					1
				A =			,
					3
	2B	= 0.
				B = 0.

Итак, Y = e−4x 13 x3 .

22

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y = e−4x (c1 + c2x)+ e−4x 13x3 , отсюда

y′ = −4e−4x (c1 + c2x)+ e−4x c2 − 4e−4x 13x3 + e−4x x2 .

Подставляя в эти выражения начальные условия x = 0, y = 1, y′ = 2 , найдём c1 , c2 .

1 = c1 ,					c1 = 1,
	2	= −4c1	+ c2 .			= 6.
					c2

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−4x (1 + 6x)+ e−4x 13x3 .

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 4sin5x ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0,235; y′(0)= 0 .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y, где y0 - общее решение однородного уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 0 ,

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

		k2 + 6k + 13 = 0 .
Его корни k1,2	= − 6 ± 36 − 52 = − 6 ±				− 16 =	− 6 ± 4i	= −3	± 2i .
	2			2		2
Согласно табл. 3 α = −3, β = 2, то есть
	y0 = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x).							f (x)= 4sin5x , то
Для определения Y используем табл.						4. Так как
a = 0, b = 5, P0 (x)= 0, Q0 (x)= 4, r = 0 . Следовательно:
		Y = A cos5x + Bsin5x .
Для определения A, B подставим Y в первоначальное уравнение
	Y′ = −5A sin5x + 5B cos5x ,
	Y′′ = −25A cos5x − 25B sin5x .
Тогда уравнение примет вид				(					)
−	25A cos5x −	25B sin5x + 6			− 5A sin5x + 5Bcos5x					+
+	(		)	= 4sin5x.
	13 A cos5x + B sin5x

23

Приравнивая коэффициенты при cos5x и sin5x в левой и правой части этого уравнения, получим систему

	− 12A + 30B	= 0,	A =	30	B =	5	B,	− 30	5	B − 12B = 4, B = −0,115,
		= 4.		12		2			2
	− 30A − 12B

A = 5 (− 0,115)= −0,046. Y = −0,115cos5x − 0,046sin5x .
2
Общее решение нашего уравнения имеет вид
y = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .
Отсюда
y′ = −3e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)+ e−3x (− 2c1 sin 2x + 2c2 cos2x)+
+ 0,575sin5x − 0,23cos5x.
Найдём из начальных условий y(0)= 0,235;			y′(0)= 0 постоянные c1 , c2 .
0,235 = c1	− 0,115,		c1 = 0,35,
	2c2 − 0,23.
0 = −3c1 +			c2 = 0,64.

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−3x (0,35cos2x + 0,64sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x.

При решении задач № 91-120 рекомендуется изучить литературу

[1, с. 107-109, 111-113; 3, с. 191-193, 199; 4, с. 561-563, 585-587; 5,

с. 411-420]. Наибольшую трудность представляет составление дифференциальных уравнений, описывающих данную линию.

Задачи решаются с использованием геометрического смысла производной y′ = tgα , где α - угол наклона касательной к оси OX.

Пусть M(x,y) - точка касания, принадлежащая искомой кривой

(рис.7,8,9). OA=x, AM=y, CM - касательная к кривой

y

y

M(x,y

y

M(x, y

B

K

K

M(x,y)

K

B

α

α

O

α

C	O	A	x	B	C	A	x	O	A	C	x

Рис.7

Рис.8

AM

Рис.9

= tg(π − α)= −tgα ,

tgα = AM , AC = AM =

y

AC =

y

,

AC

AC

tgα

y′

y′

y

OC = AC − x =

y

− x,

OC = x − AC = x −

y

,

AC = −

,

y′

y′

y′

		24
	OB = tgα = y′,		OB = tgα = y′,			OC = x + AC = x −			y	,
									y′
	OC		OC
	OB = OC y′ = y − xy′.		OB = xy′ − y .			OB	= −y′, OB = −xy′ + y .
						OC
	OB - отрезок, отсекаемый касательной на оси oy .
	OC - отрезок, отсекаемый касательной на оси ox .
	OM - радиус-вектор точки касания M,			OM =	x2 + y2			.

Пример. Кривая обладает тем свойством, что отрезок нормали, заключённой между осями координат и проведённый в любой точке кривой, делится этой точкой пополам. Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (0,1).

Решение. Пусть M(x, y) - произвольная точка искомой кривой

(рис. 10). CM - касательная, tgα = y′,

ED - нормаль, β = π − α.

y

E

M(x, y)

K

β

α

O

C

A

D

x

Рис. 10

По условию EM = MD,

OA = AD,

OK = KE,

OD = 2x,

OE = 2y,

OE = tgβ,

2y = tg(π − α)= ctgα =

1

=

1

.

tgα

OD

2x

y′

Получаем дифференциальное уравнение кривой:

y =

1

, y′ = x ,

dy

= x

,

ydy = xdx,

y2

= x2

+ c.

dx

2

x

y′

y

y

2

Найдём c из условия, что линия проходит через точку M0 (0,1).

1 = 0 + c,

c =

1 .

2

2

Уравнение искомой кривой имеет вид

y2

= x2

+

1 или y2 − x2 = 1.

2

2

2

25

Контрольная работа № 4

1-30. найти область определения функции двух переменных. Сделать схематический чертёж.

	1.	z =	1 − x2 − y2 .	16.	z =		xy.
	2.	z = ln(x2 − y).		17.		z =	1		.
							9 − x2	− y2
	3.	z = x + arccosy.		18. z = ln(y(x − 3)).
	4.	z =	y sin x.	19. z =			x2 + y2 − 2.
	5.	z = ln(xy).		20.		z = ln(2x + y).
	6.	z = ln y − ln(cosx).		21.		z = y2 − arccosx.
	7.	z =	4 − x2 − y2 .	22.		z =	x cosy.
	8.	z = ln(x − y).		23.	z =		y ln x.
	9.	z = 2x + arcsiny.		24.			1
					z =		2 − x2 − y2 .

10.z = x sin y.

11.z = x ln y.

12.z = ln(x(y −1)).

13.z = 16 − x2 − y2 .

14.z = ln(x + y).

15.z = arccosy − x.

25.z = x2 + y2 − 4.

26.z = ln(2y − x2 ).

27.z = y + arcsinx.

28.z = y cosx.

29.z = x2 − y .

30.z = ln x − ln(sin y).

31-60. Дана функция z=f(x;y). Показать, что она удовлетворяет данному уравнению

31.	z = exy ; x2 ∂2z	− y2			∂2z				= 0.
					∂y2
	∂x2
32.	z = e−cos(ax+y);	a2	∂2z				=		∂2z .
			∂y2
									∂x2
33.	z = ln(x2 + y2 + 2y +1);								∂2z +	∂2z	= 0.
										∂y2
									∂x2
34.	z = sin2 (y − ax);	a2		∂2z					= ∂2z .
				∂y2
									∂x2

26

35.

z = y

;

x2 ∂2z

+ 2xy

∂2z

+ y2

∂2z

= 0.

∂x∂y

∂y2

x

∂x2

36.

z = y

y

;

x2 ∂2z

− y

2 ∂2z

= 0.

x

∂x2

∂y2

37.

z =

x ;

x2 ∂

2

z − ∂

= 0.

y2

∂z

y

∂x2

∂y

∂y

sin(x − y)

∂

∂z

∂2z

38.

z =

;

x2

− x2

= 0.

x

∂x

∂y2

∂x

∂

2

∂

2

z

39.

z = arctg x

;

z +

= 0.

∂x2

∂y2

y

y

40.z = ex ;

41.z = xy ;

∂		2	∂z		2	∂2z
	x			− y			= 0.
						∂y2
∂x			∂x

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

42.

z = ex (cosy + xsin y);

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

43.

z = e2xy2;

2

∂2z = 4

∂2z

.

y2

∂x2

∂y2

44.

z = ex sin y;

∂2z

+

∂2z

= 0.

∂x2

∂y2

2

∂

2

∂

2

z

45.

z = e(x+2)y

;

x + 2

z −

= 0.

y

∂x2

∂y2

46.

z = x3 + xy2 − 5xy3 + y5;

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

47.

z = 4y2

x;

2

∂

2

z

+ ∂

2

z = 0.

8 x

∂x2

∂y2

y

48.

z = exy

2

y3

∂2z

∂2z

;

2(y2x +1)

=

∂x2 .

∂y∂x

49.

z = ln(x + y2 );

2y

∂2z

=

∂2z

.

∂x2

∂y∂x

50.

z = x

;

∂2z

=

∂2z .

y2

∂x∂y

∂y∂x

27

51.

z = esin(x+2y);

4

∂2z

=

∂2z

.

∂x2

∂y2

52.

z = cos2 (y + 3x);

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

53.

z = 2x3 5y

+1;

∂2z

=

∂2z .

∂x∂y

∂y∂x

54.

z = e3y cosx;

9 ∂2z +

∂2z

= 0.

∂y2

∂x2

55.

z = x3y2 − 3xy3 − xy +1;

∂2z

=

∂2z

.

∂x∂y

∂y∂x

56.z = 3axy − x3 − y3;

57.z = x3y + ln y − x;

y ∂2z = ∂2z . x ∂x2 ∂y2

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

58.	z = ey cos5x;	25		∂2z			+	∂2z		= 0.
								∂x2
				∂y2
59.	z = axy; x2	∂2z =			∂2z				.
	y2	∂x2			∂y2
60.	z = ln(xy +1);		∂2z			=		∂2z		.
			∂x∂y					∂y∂x
	61-90. Дана функция z=f(x,y) и две точки A(x0 , y0 ) и B(x1 , y1 ). Требу-

ется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближённое значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точ-

ке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0 , y0 , z0 ).

61.	z = x2	+ 3xy + y2 ,	A(3,1),	B(3,05;1,02).
62.	z = xy + y2 − 2x, A(2,1),			B(2,03;0,96).
63.	z = x2	+ y2 − x + y,	A(− 2,2),		B(− 2,02;2,05).
64.	z = 2x2 + 2xy − y2 ,		A(1,3),		B(0,95;2,94).

									28
65.	z = x2 + 3xy − y2 ,		A(1,3),				B(0,96;2,95).
66.	z = xy + 2x − y,	A(2,2),				B(1,93;2,05).
67.	z = 3y2 − 9xy + y,		A(1,3),				B(1,07;2,94).
68.	z = xy + x − y,	A(1,5;2,3),					B(1,43;2,35).
69.	z = y2 − xy − x2 ,		A(− 4,5),				B(− 3,92;5,06).
70.	z = x2 + y2 − x − y,			A(1,−3),				B(1,08;−2,94).
71.	z = x2 + 2x + y2 ,		A(1,2), B(1,03;1,97).
72.	z = 2x2 − 9xy − y,		A(1,1),				B(0,98;1,03).
73.	z = 3y2 + xy − x − y,			A(2,1),				B(1,96;0,99).
74.	z = xy + y2 − x,	A(3,2),				B(3,03;1,92).
75.	z = 2x + 3y − y2 ,		A(1,2),			B(1,08;2,01).
76.	z = y − xy + x2 ,	A(1,3),				B(0,96;3,05).
77.	z = 2y2 − 3x2 − x + 2y,				A(− 2,1),				B(−1,93;0,92).
78.	z = 3y2 − 2xy + x2 ,			A(3,−1),				B(3,04;−0,93).
79.	z = 7x + 8y − xy,		A(5,3), B(4,98;3,03).
80.	z = x2 − y2 + 5xy,		A(− 3,−2),					B(− 3,02;−1,98).
81.	z = y2 − 3xy + x2 ,		A(−1,1),					B(− 0,96;1,04).
82.	z = x + y − 4y2 ,	A(2,−5),				B(2,01;−4,93).
83.	z = 2x2 + y2 − x − 2y,				A(− 2,3),				B(−1,97;2,94).
84.	z = 7x2 + y2 − 3x,		A(1,2),				B(1,01;2,03).
85.	z = x + y − 8xy,	A(3,2),				B(3,04;1,98).
86.	z = 4xy + y2 − 2x2 ,			A(5,2),				B(5,07;2,04).
87.	z = 8x2 + 7y2 − 5y,			A(1,2),				B(0,95;2,05).
88.	z = 3x + 4y − y2 ,		A(−1,−1),					B(− 0,93;−1,04).
89.	z = x2 − y2 + xy,		A(3,−1), B(3,01;−1,08).
90.	z = 3y − 5xy − y2 ,		A(2,−1), B(1,92;−1,03).
	91-120. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y)
в замкнутой области. Сделать чертёж.
91.	z = x2 + y2 − xy − 4x				в		треугольнике, ограниченном прямыми
	x = 0, y = 0, 2x + 3y −12 = 0.

29

92.	z = x2 + 3y2 + x − y			в	треугольнике,				ограниченном	прямыми
	x =1, y =1, x + y =1 .
93.	z = x3 + y3 − 3xy		в	прямоугольнике,					ограниченном	прямыми
	x = 0, x = 2, y = 0, y = 3 .
94.	z = x2 − 2y2 + 4xy − 6x −1				в	треугольнике,			ограниченном	прямыми
95.	x = 0, y = 0, x + y = 3.
	z = xy − 2x − y	в		прямоугольнике,				ограниченном		прямыми
	x = 0, x = 3, y = 0, y = 4 .
96.	z = 0,5x2 − xy	в области, ограниченной параболой y = x2								и прямой
	y = 3 .								3
97.			в		квадрате,		ограниченном			прямыми
	z = 2x + y − xy
	x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.
98.	z = x2 + y2 − xy + x + y			в	треугольнике,				ограниченном	прямыми
	x = 0, y = 0, x + y = −3 .
99.	z = x2 + 2xy − 4x + 8y			в	прямоугольнике,				ограниченном	прямыми
	x = 0, x =1, y = 0, y = 2 .
100.	z = x3 + 8y3 − 6xy +1			в	прямоугольнике,				ограниченном	прямыми
	x = 0, x = 2, y = −1, y =1.
101.	z = 2x2 + y2 − 3xy + y			в	треугольнике,				ограниченном	прямыми
	x = 5, y = 0,	y = 2x .
102.	z = 5x2 − y2 − 2x		в		треугольнике,			ограниченном		прямыми
	x = 3, y = x, y = −x .
103.	z = x2 + y2 − x − 4y			в	треугольнике,				ограниченном	прямыми
	y = 2x, y = 0,	y =10 − 2x .
104.	z = xy − y2 + x − 3y			в	треугольнике,				ограниченном	прямыми
	x = 0, y = 3 − x, y = x − 5 .
105.	z = x2 + y2 + 3xy − x + y				в	треугольнике,			ограниченном	прямыми
	x = 0, y = 0,	y = 0,5x + 2 .
106.	z = x2 + y2 − xy − 5y + 3				в	трапеции,			ограниченной	прямыми
	x = 0, y = 0, y = 5, y = 8 − x .