В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения

30

107.	z = x2 − y2 − 2x + 2y + 2xy						в треугольнике, ограниченном прямыми
	x = 0,	y = 0,	y = 5 − 2,5x.
108.	z = x2 − 0,5y2 + 3xy − 8x − y						в треугольнике, ограниченном прямыми
	y = 0, y = 4 − x, y = x + 4.
109.	z = y 3 − x3 + xy			в		прямоугольнике,			ограниченном	прямыми
	x = −3, x = 0, y = 0, y = 4.
110.	z = 8x3 + y3 −12xy + 5					в	трапеции,		ограниченной	прямыми
111.	x = 0, y = 0, y = 4, y = 6 − x .
	z = xy + 2x − 5y			в		прямоугольнике,			ограниченном	прямыми
112.	x =1, x = 6, y = −3, y = 0.
	z = x − 3y +10xy				в	пятиугольнике,			ограниченном	прямыми
113.	x = 3, x = −3, y = −2, y = x + 3, y = 3 − x .
	z = x + 3y − 5xy			в	четырёхугольнике,				ограниченном	прямыми
	x = 0,	y = 0,	x = 5,		y = 2x +1,5.
114.	z = x2 − 5xy + x − 2y					в	квадрате,		ограниченном	прямыми
	x = −1, x = 2, y = 0, y = 3 .
115.	z = 2x2 − 3xy + y			в области, ограниченной параболой y = x2							и пря-
мой y = 5 .
116.	z =12,5y2 − 5xy + x − 2 в области, ограниченной параболой										y = x2 и
прямыми x = 2,				y = 0 .
117.	z = 3xy − 0,5x2 −			1 y3		в	треугольнике,		ограниченном	прямыми
				3	y = −0,5x +1 .
118.	y = 0, y = 0,5x +1,
	z = xy + x + y			в		квадрате,		ограниченном		прямыми
	x =1, x = 2, y = 2, y = 3 .
119.	z = 2x2 + xy в области, ограниченной параболой y = x2 +1 и прямой
	y = 4 .
120.	z = 3x2 + 5x − y2 +1					в прямоугольнике, ограниченном				прямыми

x = 0, x = −3, y = −2, y = 2 .

a(a1;a2 ).

31

121-150. Даны функция z=f(x,y), точка A(x0 ;y0 ) и вектор

Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора a.

121.

z = x2 − xy + y2 ,

A(1,1),

ar = 6i + 8 j .

122.

z = 2x2 + xy,

A(−1,2),

ar = 3i + 4 j .

123.

z = arctg

y

,

A(−1,1),

r

r

r

x

a = i

− j .

ar = −5i +12 j .

124.

z = x3y + xy2 , A(1,3),

125.

z = ln(2x + 3y),

A(2,2),

ar = 2i − 3 j .

126.

z = 5x2y + 3xy2 ,

A(1,1),

ar = 6i − 8 j .

127.

z =

3x

,

A(3,4),

ar = −3ri − 4rj .

y2

ar = 4i + 3 j .

128.

z = arctg(xy),

A(2,3),

129.

z = ln(3x2 + 2xy2 ),

A(1,2),

ar = 3i − 4 j .

130.

x + y

A(1,−2),

r

r

r

z =

,

a

= i

+

2 j .

x2 + y

2

A(1,1),

ar = 2i − j .

131.

z = 5x2 − 2xy + y2 ,

132.

z = 3x2 + 5x − y2 ,

A(2,−1),

ar = i + j .

133.

z = 0,5x2 +

1 y3 + 3xy,

A(2,−2), ar = 5ri + 2rj .

3

134.

z = arctg(xy2 ),

A(−1,−1),

ar = 2i − 5 j .

135.

z = 3x2y + y3 − 2x,

A(1,−2),

ar = −i + 2 j .

136.

z = ln(x2 + 3xy),

A(2,−1),

ar = 2i − 2 j .

137.

z = ln(xy2 −1),

A(−1−,1),

ar = 8i + 6 j .

138.

z = ln(1 + xy + x2 ),

A(2;0,5),

ar = 7i − j .

139.

z = ln

x

,

1

,−

1

r

=

r

+

r

y

A

3

3

,

a

2i

3 j .

140.

z =

2x +1

,

A(2,7), ar =12ri + 5rj .

y − 5

A(1,2),

ar = −2i − 3 j .

141.

z = x2 − 2xy + 3y − 5,

142.

z = (4 + x2 + y2 )0,5 ,

A(2,1),

ar = 3ri + 3rj .

143.

z = ln(x2 + 4y2 ),

A(6,4),

ar = 0,5i + j .

32

xy

, A(2,1),

r

r

r

144.

z =

a

= 2i −

3 j .

x2

+ y2

145.

z =

2 − x

,

A(−1,1),

ar = −2ri + 2rj .

2 + y2

146.

y + 3

A(1,5),

r

r

r

z =

,

a =

5i

+ 5 j .

x2

+

7

147.

z = (x2 + y2 )0,5 ,

A(− 3,4),

ar = 4ri − rj .

148.

z =

x

,

A(4,1),

r

r

r

1 + y

a = i

+ 4 j .

149.

z = (x3

y

2

A(1,5),

r

r

r

+1)

,

a = 5i −

5 j .

1

x

r

r

150.

y ,

A(− 3,1),

r

z = (1 + x)

a

= i

− 3 j .

Контрольная работа №5

Интегральное исчисление

1-30. Вычислить неопределённые интегралы

2

1

1.

а) ∫(3x +1)3

dx,

б) ∫arccosx dx,

в) ∫

dx.

x

3

+ x2

+ 4x + 4

2.

а) ∫

1

dx,

б) ∫xcos x dx,

в) ∫

1

dx.

x3 +

1

xln2 x

2

3.

а) ∫

x

dx,

б) ∫xln x dx,

в) ∫

x2

dx.

x4 +

1

x4 −

16

4.

а) ∫

1

dx,

б) ∫ln x dx,

в) ∫

x

dx.

4x

2 +

7

x

3 x

3 −1

5.

а) ∫

x

dx,

б) ∫xarctgx dx,

в) ∫

x −1

dx.

4x

2 +

7

x3 + x

6.

а) ∫xcos(x2 ) dx,

б) ∫(x +1)e3x dx,

в) ∫

1

dx.

x

3 − x2

7.

а) ∫

sin x cosx dx,

б) ∫x3x dx,

в) ∫

1

dx.

x

4

−1

2

8.

а) ∫x2

x3 + 5 dx,

б) ∫

x

dx,

в) ∫

x

dx.

2

x

4

+ x

2

−

2

cos

x

							33
9.	а) ∫	(2ln x + 3)3				dx,	б) ∫arcsinx dx,
				x
				2x
10.	а) ∫		e		dx,		б) ∫arctgx dx,
		e	4x
				+ 5
11.	а) ∫	e		2x−1	dx,		б) ∫ x ln x dx,
				2x −1

12.а)

13.а)

14.а)

15.а)

16.а)

17.а)

18.а)

19.а)

20.а)

21.а)

22.а)

23.а)

∫x(x2 +1)3 dx,

2

∫cos(sin x)cosx dx,

∫	sin x	dx,
	4 − cosx
∫	3 − ln 2x		dx,
	x

∫xex2 −3 dx,

∫4x −2xln x dx,

∫1 +sincos6x6x dx,

∫1 −sincos2x2x dx,

∫	x2
	x3	dx,
		− 5

∫2 −46x2 dx,

∫cosx(sin x)−23 dx,

∫xe−x2 dx,

б) ∫					x					dx,
					2
				sin			x
б)	∫xe2x dx,
б)	∫(x + 2)ln x dx,
б)	∫x2 arcsinx dx,
б)	∫arctg									x dx,
б)	∫x2e3x dx,
б)	∫	ln x				dx,
			x2
б)	∫	xsin x						dx,
		2
		cos				x
б) ∫xcos3x dx,
б)	∫x2 ln x dx,
б)	∫x3 ln x dx,
б)		ln x							2
	∫									dx,
		x

24.	а) ∫sin		x	x dx,	б) ∫xe−x dx,
25.	а) ∫	x2		dx,	б) ∫x2e−2x dx,
		x	6 −1

в) ∫

x3 − 2x

dx.

x4 + 2x2 +

1

2

в)

∫

5x

dx.

x

4

2

+

4

+ 5x

в)

∫x2 + 4x + 4 dx.

x(x −1)2

в)

∫

1

dx.

x2 + x −12

в)

∫

2x2 −1

dx.

x3 − 5x2 +

6x

в)

∫

x −1

dx.

x

2

+ x − 6

в)

∫

2x − 5

dx.

(x +1)(x −

2)2

в)

∫

4x2 +

16x − 8

dx.

3

x

− 4x

в)

∫

x2 + 3

dx.

x3 − 8

в)

∫

x

dx.

x2 − 4x + 9

в)

∫

1

dx.

x

3

− x

в)

∫

1

dx.

x(x +1)2

в)

∫

7x −15

dx.

x

3

−

2x

2

+

5x

в)

∫

1

dx.

x

3 + x2

в)

∫

(x − 4)dx

.

x

3

−

2x

2

+ x −

2

в)

∫

x + 2

dx.

x

3

− x

2

−

2x

в)

∫

x

dx.

x

3

1

+

34

cosx dx

2

x

26. а) ∫

,

б) ∫ln x + 1 + x

dx,

в) ∫

dx.

x3

− 3x2 + 2x

3 3 + 5sin x

27. а) ∫

1

dx,

б) ∫x2 cosx dx,

в) ∫

2x2 − 3x + 3

dx.

xln3 x

x3 − 2x2 + x

28. а) ∫

dx

, б) ∫ x ln2 x dx,

в) ∫

x2 +1

dx.

arccos5 x

1 − x2

(x

+1)2 (x −1)

29. а) ∫

dx

,

б) ∫(x +1)ln(x2 +1) dx,

в) ∫

(x + 2)2

(1 + x2 )arctg3x

dx.

x3 − 2x2 + x

30. а) ∫

arcsin3 x

б) ∫x2 sin 2x dx,

в) ∫

1

1 − x2

dx,

x(x2 +1) dx.

31-60. Найти площадь области, ограниченной следующими линиями. Область построить

31.	y = 2x, x = 3,				y =			2 .
								x
32.	y = ln x,		x = e,			y = 0, x = e2 .
33.	y2 = 4x,		x2 = 4y.
34.	y = x2 + 2x,			y = x + 2.
35.	y =	27	,	y =		x2	.
		x2 + 9
					6

36.	x =	y,	x + y = 6,			y = 0.
37.	y = 3 + 2x − x2 ,				y = 0.
38.	y = arcsinx,			x = 0,		y =	π.
39.	y = x3 ,						2
			y = x.
40.	y =	x,	y = x − 2,			x = 0.
41.	y = x, x = 0,			y = x2 +1,			y = 2.
42.	y = x2 , y = x + 2.
43.	y = 4x − x2 ,			y = 0.
44.	y = sin x,		x = π,		y = 2,		x = 0.
				2
45.	y = tgx,		x =	π,	y =1.
				3
46.	y = x2 , y = 6 + x.

35

47.	y = 2x − x2 ,					y = −x.
48.	y = 3 − 2x,					y = x2 .
49.	y = x2 ,				y = x2 ,		y = 2x.
		x2				2	2
50.	y =			,	y = 4 −					.
							3x	2
	3
51.	y = ex ,			y = e−x ,			x = 3.
52.	y = 2x ,				y = 2x − x2 ,					x = 0, x = 2.
53.	y = x2 +1,					x + y = 3.
54.	y = x +1,				y = cosx,					y = 0.
55.	y = −x2 , x + y + 2 = 0.
56.	y = sin x,				y = cosx,					x = 0.

57.y

58.y

59.y

60.y

	=	x	2	,	y =	3x −	x2	.
		4					2
	= ex , x + y =1, x =1.
	=	4	,		x + y = 5.
		x				2 cosx, x = 0.
	= tgx,				y =
						3

61-90. Найти длину дуги кривой

61.	y2 = x3 ,		0 ≤ x ≤1,		y ≥ 0.
62.	ρ = sin3 θ		,	0 ≤ θ ≤	π.
		3			2
63.	ρ = cos3 θ		,	0 ≤ θ ≤	π.
		3			2
64.	x = t2 ,	y = t − t3 ,			0 ≤ t ≤		1 .
				3		π.	3
65.	y =1 − lncosx, 0 ≤ x ≤
66.						6
	ρ =1 − cosθ,			0 ≤ θ ≤ 2π.
67.	x = 1 t3	− t,		y = t2	+ 2, 0 ≤ t ≤ 3.
	3
68.	x = et cost,			y = et sint,		0 ≤ t ≤ ln π.

36

69.

x = 8sint + 6cost,

y = 6sint − 8cost,

0 ≤ t ≤ π.

70.

ρ =10sinθ,

0 ≤ θ ≤ π.

2

71.

y =

x3 ,

0 ≤ x ≤ π.

72.

y = lncosx,

0 ≤ x ≤

π.

y = 1 x2

1 ln x,

3

73.

−

1 ≤ x ≤ e.

4

2

y = 9(1 − cost),

74.

x = 9(t − sint),

0 ≤ t ≤ 2π.

75.

y = ln x,

3 ≤ x ≤

8.

76.

ρ = 3(1 + cosθ),

0 ≤ θ ≤ π.

77.

x = 4cos3 t,

y = 4sin3 t,

0 ≤ t ≤

π.

2

0 ≤ t ≤ π.

78.

x = 3(cost + tsint),

y = 3(sint − tcost),

79.

x = et cost,

y = et sint,

2

0 ≤ t ≤1.

80.

y = lnsin x,

π ≤ x ≤ π.

3

2

81.

x = 5(cost + tsint),

y = 5(sint − tcost),

0 ≤ t ≤ π.

82.

ρ = 2(1 + cosθ),

0 ≤ θ ≤ π.

83.

x = 5(t − sint),

y = 5(1 − cost),

0 ≤ t ≤ 2π.

84.

x = t2 ,

y = t − t3

,

0 ≤ t ≤ 3.

85.

3

ρ = 6cosθ,

0 ≤ θ ≤ 2π.

86.

y = 2

x3 ,

0 ≤ x ≤1.

87.

x = 5(sint + cost),

y = 5(sint − cost), 0 ≤ t ≤ 2π.

88.

y = (x +1)

3

, −1 ≤ x ≤ 4.

2

89.

x = 7(cost + tsint),

y = 7(sint − tcost),

0 ≤ t ≤ π.

90.

x = 3(t − sint),

y = 3(1 − cost),

0 ≤ t ≤

π.

2

37

Криволинейные интегралы по координатам (II рода)

r

91-120.r

Определить работу, совершаемую переменной

силой

F = P(x, y)i

+ Q(x, y)j

при перемещении некоторой массы из точки A

в

точку B по пути l

91.

r

r

r

- нижняя половина эллипса x = 2cost,

y = 3sin t , про-

F

= y2 i

− x2 j , l

бегаемая по ходу часовой стрелки.

92.

r

r

r

- отрезок прямой, соединяющий точки A(0,0) и B(2,1).

F

= 2xyi − xj , l

93.

r

= 2xy

r

r

l

- дуга параболы y = 3x2 , пробегаемая

от

точки

F

2 i

− x2 j ,

A(0,0) до точки B(1,3).

94.

r

r

r

l - отрезок прямой, соединяющий точки

−

π

,

π

F

= cosyi − sin xj ,

A

2

2

π

,−

π

и B

.

95.

r

2

r2

r

- четверть дуги окружности x = R cost,

y = R sin t , ле-

F = −yi + xj , l

жащая в первой четверти и пробегаемая против хода часовой стрел-

ки.r

r

r

, l

- дуга кривой y = x3 + 1, пробегаемая от точки A(0,1)

96.

F = y2 i

+ x2 j

до точки B(1,2).

97.

r

r

r

l

-

нижняя половина эллипса x = a cost,

y = b sin t ,

F = −yi

− xj ,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

98.

r

r

r

F = xyi

+ (x + y)j , l - прямая y = x от точки A(0,0) до точки B(1,1).

99.

r

r

r

l

-

дуга параболы x = 2y2 ,

пробегаемая

от

точки

F = −2xyi + x2 j ,

A(2,1)

до точки B(0,0).

100.

r

r

l

- парабола y = x2 от

точки A(0,0)

до

точки

F = xyi + (x + y)j ,

B(1,1).

+ (y2

101.

r

r

r

F = (x

2

− 2xy)i

− 2xy)j , l - дуга параболы y = x2 , пробегаемая от

точки A(

− 1,1)

до точки B(1,1).

102.

r

r

l

- дуга линии y = cosx от точки A(0,1)

до точки

F = sin

2 xi + y2 j ,

B(π,−1).

103.

r

r

x2

r

F = (x

− y)i +

+ 3yj , l - дуга параболы y = x2 от точки A(0,0) до

точки B(1,1).

38

r

x

r

y

r

104.

F

=

i

+

j , l - отрезок прямой от точки A(1,1)

до точки

x3 + y3

x3

+ y3

B(

2,2).

r

r

1

r

π

105.

F

= cos2 xi

+

j

, l

- дуга линии y = tgx от точки A

,1

до точки

y3

4

π

,

B

3

3 .

106.

r

= (x2

r

r

,

l

- дуга кривой y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F

+ y2 )i

+ xyj

B(1,e).

r

r

1

r

π

π

1

107.

F

= sin3 xi

+

j

, l

- дуга кривой y = ctgx от A

,1

до

B

,

.

y2

= (x3

4

3

3

108.

r

r

r

,

l

- дуга линии y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F

− y2 )i + xyj

B(1,e).

r

r

109.

r

, l

- дуга кривой x = t2 ,

y = t от точки A(4,2) до точки

F

= −xyi

− y2 j

B(1r,1).

r

r

, l

- дуга кривой x = t,

y = t3 от точки A(0,0)

до точки

110.

F = x2yi

+ y2 j

B(1,1).

r

r

111.

r

l - дуга окружности x = R cost,

y = R sin t от

F

= (x + y)i + (x − y)j ,

точки

A(0,−R)

до точки B(R,0).

112.

r

r

r

, l

- дуга эллипса x = a cost,

y = bsin t от точки A(0,−b)

F

= y2 i

+ xyj

до точки

B(a,0).

113.

r

r

r

l

- дуга астроиды x = cos3 t,

y = sin3 t

от точки A(1,0)

F

= −yi

+ xj ,

до точки B(0,1).

114.

r

r

r

, l

- нижняя часть полуокружности x = 3cost,

y = 3sint ,

F

= y2 i

+ x2 j

пробегаемая от точки

A(− 3,0) до точки B(3,0).

115.

r

= (x3

r

r

l

- отрезок прямой от точки

A(1,1)

до точки

F

− y2 )i

− xyj ,

B(4,4).

116.

r

r

r

, l

- контур, ограниченный параболами y = x2 ,

y2 = x ,

F

= x2yi

+ x3 j

пробегаемый против хода часовой стрелки.

117.

r

r

l

- дуга кривой

x =

cost,

y =

sin t

от

точки

F

= −y2xi + x2yj ,

A(1,0)

до точки B(0,1).

						39
118.	r r			r	,	l - дуга кривой y = −2x − x2 , расположенная над
	F = yi	− (y + x2 )j
осью Ox и пробегаемая против хода часовой стрелки.
119.	r		r			r
	F = (x2		− 2xy)i	+ (2xy + y2 )j , l - дуга параболы y = x2 от точки A(1,1)
до точки B(2,4).
120.	r	r	r	l	-	верхняя половина эллипса x = a cost, y = b sin t ,
	F = y2 i		+ x2 j ,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

Контрольная работа №6

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1-30. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

1.xyy′ +1 = y .

2.y′ + yx = x.

3.(x2 + y2 )dy − 2xydx = 0 .

4. y′ + ay = emx .

5.ydy + (x − 2y)dx = 0 .

6.xdy = (x + y)dx .

7.y − x y′ = yln xy .

8.y − x y′ = x + yy′.

9.(1 − x2 )y′ − xy = 1.

10.xdy − ydx = ydy .

11.xdy − 2ydx = ydy .

12.(x − y)y − x2y′ = 0 .

13.dydx − x + y2 = 0.

16.	y′ + 2y = e−x .
17.	y	′	−	1 + 2x	y =1.
				x2
						y
18.	xy′ = y − xe						.
						x

19.y′ + 3y + x = 0 .

20.(y + x)dx − (y − x)dy = 0 .

21.ydx + (2 xy − x)dy = 0 .

22.(1 + x2 )y′ − 2xy = (1 + x2 )2 .

23. y′ + 3xy − x3 = 0 .

24.y′ = tg xy + xy .

25.(x + 2y)ydx = x2dy .

26.xy′ − x = y .

27.y′ lnx + xy = x .

28.y′ cosx − y sinx = x .