В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения

		40
14.	(y2 − 3x2 )dx + 2xydy = 0.	29.	y′ arctgx +		y	= 2x .
					+ x2
			1
15.	y2 + x2 y′ = xyy′.	30.	y′ − y = xex .

31-60. Найти общее решение дифференциального уравнения, используя метод понижения порядка уравнения

31.y′′ = yx′ + x .

32.y′′ = 2yy′ .

33.x(yy′′ + y′2 )= 4yy′ ( подстановка z = yy′ ).

34.yy′′ = (y′)2 .

35.xy′′ − 2y′ + x = 0 .

36.y′′ = − yx′ .

37.yy′′ = y2y′ + y′2 .

38.yy′′ + y′2 = 1 ( подстановка z = yy′ ).

39.x2y′′ + xy′ = 1.

40.y′′ = yy′ + y′.

41.xy′′ − y′ = 0 .

42.y′′ = x − y′.

43.y′′2 = y′.

44.xy′′ = y′ + x sin yx′.

45.y′′ y3 = 1.

46.y′′(ex + 1)+ y′ = 0 .

47.xy′′ = 2y′.

48.xy′′ +1 = y′.

49.2xy′ y′′ = y′2 − 1.

50.yy′′ = y′2 − y′3 .

51.yy′′ + y′2 = x ( подстановка z = yy′ ).

52.x y′′ + x y′ − y′ = 0 .

53.y′′ =1 − y′2 .

41

54.(1 − x2 )y′′ − xy′ = 2.

55.y′ y′′ + 2 = 0 .

56.(x − 2) y′′ − y′ = 0.

57.y′2 + yy′′ = yy′ ( подстановка z = yy′ ).

58.y′′ − 2ctgx y′ = sin3 x.

59.2y y′′ − 3y′2 = 4y2 .

60.x (y′′ +1)+ y′ = 0.

61-90. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

61.

y

′′

+ 9y =10e

x

+ 3cosx,

y(0)= 0,

′

y (0)= 2 .

′′

′

x

3x

′

1

62.

y

− 6y

+ 9y

= xe

+ e

,

y(0)= 0,

y

(0)= 4 .

63.

y′′

− 2y′ + y = x2ex ,

y(0)= 5,

y′(0)= 3 .

64.

y′′ + y′ = x +1 +10e4x ,

y(0)= 0,

y′(0)= 2.

65.

′′

y(0)=

1

′

(0)= 7.

y

+ y = 24cos7x − 48sin7x,

2 ,

y

66.

y′′ + 3y′ + 2y = sin x + e−x ,

y(0)= 0,

y′(0)= 0.

′′

′

2

x

4

′

7

67.

y

+ 2y

= x

+ e

,

y(0)= 3 ,

y

(0)= 12 .

68.

y′′ − y′ − 6y = −5e3x + 6,

y(0)= 0,

y′(0)= 7 .

69.

y

′′

+ y

′

− 2y = xe

x

+ cosx,

y(0)= 0,

′

1

y

(0)= −9 .

70.

y

′′

+ y = cosx − x,

y(π)=1,

′

y (π)=1.

71.

y′′ − y′ = 2ex cosx,

y(0)=1,

y′(0)= 0.

72.

2y′′ + 5y′ = 7ex +10x −1,

y(0)=1,

y′(0)= 5 .

′′

′

3x

′

1

73.

y

− y

= 2(1 − x)+ e

,

y(0)=1,

y

(0)= 2 .

′′

′

2

′

74.

y

+ 2y

+ 5y

= 5x +17cosx,

y(0)= −5 ,

y

(0)= 8 .

75.

y′′ − 3y′ = 2 − 9x2 ,

y(0)=1,

y′(0)=1.

′′

′

−2x

2

1

′

1

76.

y

+ 4y

+ 4y

= e

+ x

+ 2 ,

y(0)= 2,

(0)= 2 .

y

42

′′

′

= 2(e

x

−x

),

4

′

1

77.

y

− 2y

+ e

y(0)= −

3 ,

(0)= 3 .

y

78.

′′

′

3

2

y(0)=1,

′

y

− 5y

+ 6y = 6x − 3x

+ 4x +1,

y

(0)=1.

′′

′

−x

1

′

3

79.

4y

+ 4y

+ y

= 8e

− 5sin x,

y(0)= −5 ,

y (0)= 5 .

′′

′

x

1

′

80.

y

+ 2y

= −5e

(sin x + cosx),

y(0)= 2 ,

(0)= 4.

y

′′

′

3x

3

′

1

81.

y

+ 6y

+ 9y = (3x +

10)e

− 9,

y(0)= −

4 ,

y

(0)= 6 .

′′

2x

′

17

82.

y

− 4y = 8cos2x − 4xe

,

y(0)= −1,

(0)= 4 .

y

83.

y′′

− y = 3x2 − 7x + 9 + 3e2x ,

y(0)= 0,

y′(0)=1.

84.

y′′

+ 5y′ + 6y = e2x − sin x,

y(0)= 0,

y′(0)=1.

85.

y′′

− 8y′ + 7y =15sin x +12ex ,

y(0)=1,2;

y′(0)= 4,9 .

86.

y′′ − 4y =13sin 3x − 8,

y(0)= 2,

y′(0)=1.

87.

′′

x

y(0)= 6,

′

y

− y = 3 −10cos 3 ,

y

(0)= 4 .

88.

y

′′

− 2y

′

= 2e

x

− x,

y(0)= −1,

′

y (0)= 0.

89.

y′′

+ 4y = 4sin 2x − x +1,

y(0)= 0,

y′(0)= −1.

90.

y′′

− y′ =10sin x + 6cosx + 4ex ,

y(0)= 0,

y′(0)= −4 .

91-120. Решить геометрическую задачу с помощью дифференциального уравнения

91.Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между

точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Кривая проходит через точку M0 (1,1).

92.Найти семейство кривых, каждая из которых обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке M кривой

вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки M . Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,3).

93.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Ox , проведённой в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (4,−1).

M0 (5,0), у кото-

M0 (1,1), если отрезок любой

43

94. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен длине радиуса-вектора точки касания. Найти

уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,0).

95.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касатель-

ной на оси Ox , равен ординате точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1).

96.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен абсциссе точки касания. Найти уравнение кри-

вой, проходящей через точку M0 (1,1).

97. Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 (6,4), у ко-

торой нормальный вектор с концом на оси ординат имеет длину, равную 10, и образует острый угол с положительным направлением оси ординат.

98. Найти линию, проходящую через точку

её нормали, заключённый между осями координат, делится точкой линии в отношении 1:2 (считая от оси ординат).

99. Найти линию, проходящую через точку M0 (3,−1), если отрезок лю-

бой её касательной, заключённый между осями координат, делится в точке касания в отношении 3:2 (считая от оси ординат).

100. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,e) и обладающей тем свойством, что в любой её точке M касательный

→

вектор MN с концом на оси Ox имеет проекцию на ось Ox , обратно пропорциональную абсциссе точки касания. Коэффициент пропорциональности равен ½.

101. Найти уравнение линии, проходящей через точку

рой длина нормали ( отрезок её от точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина, равная 5.

102. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,2) и обладающую тем

свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в произвольной точке, пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности равен 3.

103. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,2) и обладающую

тем свойством, что отрезок касательной в любой её точке, заключённый между осью Ox и прямой y = x , делится точкой касания попо-

лам.

M0 (3,4) и обла-

M0 (1,1) и обла-

44

104. Найти уравнение линии, проходящей через точкуM0 (1,0), у кото-

рой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удалённой от точки касания и от начала координат.

105. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,3), у которой отрезок

касательной от точки касания до точки пересечения её с осью абсцисс равен длине радиуса-вектора точки касания.

106. Найти линию, проходящую через точку M0 (1,1) и обладающую тем

свойством, что проекция отрезка касательной, заключённого между точкой касания и осью Ox , обратно пропорциональна ординате точки касания (коэффициент пропорциональности равен 1).

107. Найти линию, проходящую через точку M0 (−1,2), для которой от-

резок любой её касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy .

108. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (4,2) и обла-

дающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной, проведённой в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

109. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

дающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Oy касатель-

ной, проведённой в любой точке кривой, равен длине отрезка от точки касания до начала координат.

110. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1) и обла-

дающей тем свойством, что проекция отрезка касательной от точки касания до оси Ox равна среднему арифметическому координат точки касания.

111. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

дающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Oy норма-

лью, проведённой в любой точке кривой, равен расстоянию от этой точки до начала координат.

112. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,5), для которой отрезок на оси Oy , отсекаемый любой её касательной, проведённой в точке кривой, равен абсциссе точки касания.

113. Найти уравнение кривой, проходящей через точку	M0		3		, у ко-
		1,	2

торой любой отрезок её касательной, заключённый между осями ко-

M0 (2,−3)

M0 (6,4), у кото-

M0 (−1,3) и об-

45

ординат, делится в точке касания в отношении 2:3 (считая от оси ординат).

114. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,2), для ко-

торой площадь треугольника, образованного осью Ox , касательной и радиусом-вектором точки касания, равна 1.

115. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (4,1) и обла-

дающей тем свойством, что проекция на ось Ox отрезка касательной, проведённой в любой точке кривой, от точки касания до оси Ox равна разности ординаты и абсциссы точки касания.

116. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

ладающей тем свойством, что проекция на ось Ox отрезка касательной, проведённой в любой точке кривой, от точки касания до оси Ox вдвое меньше абсциссы точки касания.

117. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

рой проекция на ось Ox отрезка касательной, проведённой в любой точке кривой, от точки касания до оси Ox равна сумме координат точки касания.

118. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и об-

ладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Ox , равен длине этой касательной от точки касания до оси Ox .

119.Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,6) и обладающей тем свойством, что в любой её точке M касательный вектор MN с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy , равную 3.

120.Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1), если

отрезок любой её касательной между точкой касания и осью Oy де-

лится в точке пересечения с осью Ox в отношении 1:2 (считая от оси ординат).

46

Список рекомендуемой литературы

1. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики./ В.Е.Шнейдер,

А.И.Слуцкий, А.С.Шумов.- М.: Высш. шк., 1978.- Т. 1.-384 с.

2. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики./ В.Е.Шнейдер,

А.И.Слуцкий, А.С.Шумов.- М.: Высш. шк., 1978.- Т. 2.-328 с.

3.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. / И.Г.Араманович. - М.:Наука, 1971. - 652 с.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.-

М.:Наука, 1965. - Т.1. - 476 с.

5.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.-

М.:Наука, 1965.- Т.2.- 575 с.

6.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.- М.: Высш. шк., 1966.- 460 с.

7.Данко П.Е. Высшая математика в упражнения и задачах. / А.А.Попов,

Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1980.- Ч. 1.-320 с.

8.Высшая математика: Метод. указания для студентов-заочников по выполнению контрольных работ № 1, 2, 3 / Сост.: В.А.Похилько и др.// Кузбас. политехн. ин-т.- Кемерово, 1984.- 24 с.

9.Данко П.Е. Высшая математика в упражнения и задачах./ А.А.Попов,

Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1980.- Ч. 2.-365 с.

10.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.- М.: Наука, 1966.- 870 с.

11.Бронштейн И.Н. Справочник по математике.- М.: Наука, 1980.- 976 с.

47

Составитель Владимир Матвеевич Волков и др.

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Программа, контрольные работы № 4,5,6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения специальностей 060400, 060500, 060800

Редактор Е.Л.Наркевич

Лицензия ЛР № 020313 от 23. 12. 96

Подписано в печать 15.05.01. Формат 60 x 84/16. Бумага офсетная.

Отпечатано на ризографе. Уч-изд. л. 2,8. Тираж 200 экз. Заказ

Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Кузбасского государственного технического университета.

650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4 а.