В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса

20

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

k2 + 8k + 16 = 0 .

Его корни k1 = k2 = −4 . Следовательно, y0 = e−4x (c1 + c2x) .

Так как правая часть уравнения f (x) = 2xe−4x , то Y = x2 e−4x (Ax + B).

Здесь a = −4, Pn (x)= 2x, r = 2 .

Y = e−4x (Ax3 + Bx2 ).

Y′ = −4e−4x (Ax3 + Bx2 )+ e−4x (3Ax2 + 2Bx)= = e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx).

Y′′ = −4e	−4x	(− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx)+ e−4x (12Ax2 + 2x(− 4B + 3A)+
+ 2B) = e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B).

Подставив эти значения в наше уравнение, получим
e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B)+ 8e−4x (−4Ax3 +
+ x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx) + 16e−4x (Ax3 + Bx2 )= 2xe−4x .
Сократим на e−4x	и сгруппируем члены с x3 , x2 , x, x0 :
x3 (16A − 32A + 16A)+ x2 (16B − 24A − 32B + 24A + 16B)+
+ x − 16B + 6A + 16B		)	+ 2B = 2x.
(
или	6Ax + 2B = 2x .

Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой частях равенства, при одинаковых степенях x . Получаем систему уравнений для определения A, B .

6A = 2,					1		,
				A =
					3
	2B	= 0.
				B = 0.

Итак, Y = e−4x 13 x3 .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y = e−4x (c1 + c2x)+ e−4x 13x3 , отсюда

21

y′ = −4e−4x (c

1

+ c

2

x)+ e−4x c

2

−

4e−4x

1

3

x3

+ e−4x x2 .

Подставляя в эти выражения начальные

условия x = 0, y = 1, y′ = 2 ,

найдём c1 , c2 .

1 = c1 ,

c1 = 1,

= −4c1 + c2 .

= 6.

2

c2

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−4x (1 + 6x)+ e−4x 1

3

x3 .

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 4sin5x ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0,235;

y′(0)= 0 .

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y , где y0 - общее решение однородного

уравнения

y′′ + 6y′ + 13y = 0 ,

которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.

Для определения y0 составим характеристическое уравнение

		k2 + 6k + 13 = 0 .
Его корни k1,2	= − 6 ±	36 − 52 = − 6 ±			− 16 =	− 6 ± 4i	= −3	± 2i .
		2			2	2
Согласно табл. 3 α = −3, β = 2, то есть
y0 = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x).								f (x)= 4sin5x , то
Для определения Y используем табл.						4. Так как
a = 0, b = 5, P0 (x)= 0, Q0 (x)= 4, r = 0 . Следовательно:
		Y = A cos5x + B sin5x .
Для определения A, B подставим Y в первоначальное уравнение
		Y′ = −5A sin5x + 5B cos5x ,
		Y′′ = −25A cos5x − 25B sin5x .
Тогда уравнение примет вид					(				)
−	25A cos5x − 25B sin5x +				6 − 5A sin5x + 5Bcos5x					+
+	(		)	= 4sin5x.
	13 A cos5x + B sin5x

Приравнивая коэффициенты при cos5x и sin5x в левой и правой частях этого уравнения, получим систему

						22
	− 12A + 30B = 0,		A =	30	B =	5	B,	− 30	5	B − 12B = 4, B = −0,115,
		= 4.		12		2			2
	− 30A − 12B

A = 52 (− 0,115)= −0,046. Y = −0,115cos5x − 0,046sin5x .

Общее решение нашего уравнения имеет вид

y = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .

Отсюда

y′ = −3e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)+ e−3x (− 2c1 sin 2x + 2c2 cos2x) + 0,575sin5x − 0,23cos5x.

Найдём из начальных условий y(0)= 0,235;			y′(0)= 0 постоянные c1 , c2 .
0,235 = c1	− 0,115,		c1 = 0,35,
0 = −3c1 + 2c2 − 0,23.			c2 = 0,64.

Итак, искомое решение имеет вид

y = e−3x (0,35cos 2x + 0,64sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x.

При решении задач № 91-120 рекомендуется изучить литературу [1,

с. 107-109, 111-113; 3, с. 191-193, 199; 4, с. 561-563, 585-587; 5, с. 411420]. Наибольшую трудность представляет составление дифференциальных уравнений, описывающих данную линию.

Задачи решаются с использованием геометрического смысла производной y′ = tgα , где α - угол наклона касательной к оси OX.

Пусть M(x,y) - точка касания, принадлежащая искомой кривой

(рис.8,9,10). OA=x, AM=y, CM - касательная к кривой

Пример. Кривая обладает тем свойством, что отрезок нормали, заключённой между осями координат и проведённый в любой точке кривой, делится этой точкой пополам. Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (0,1).

Решение. Пусть M(x, y)

- произвольная точка искомой кривой

(рис. 11). CM - касательная, tgα = y′,

ED - нормаль, β = π − α.

По условию EM = MD, OA = AD,

OK = KE, OD = 2x,

OE = 2y,

OE = tgβ,

2y = tg(

π − α)= ctgα =

1

=

1

.

tgα

OD

2x

y′

Получаем дифференциальное уравнение кривой

y2

= x2

y =

1

, y′ = x

, dy

= x

,

ydy = xdx,

+ c.

y′

2

x

y

dx

y

2

23

y

M(x, y)

K

B

α

C	O	A	x

Рис.8

tgα = AMAC , AC = AMtgα = yy′ OC = AC − x = yy′ − x,

OBOC = tgα = y′,

OB = OC y′ = y − xy′.

	y			y
K			M(x, y)	B		M(x, y)
				K
	O	α					α
B	C	A	x	O	A	C	x

y

Рис.9

Рис.10

AC =

,

AM

y′

AC = tg(π − α)= −tgα ,

OC = x −

AC = x −

y

,

AC = −

y

,

y′

y′

OB = tgα = y′,

OC = x +

AC = x −

y

,

OC

y′

OB = xy′ − y .

OB = −y′, OB = −xy′ + y .

OC

OB - отрезок, отсекаемый касательной на оси oy . OC - отрезок, отсекаемый касательной на оси ox .

OM - радиус-вектор точки касания M, OM = x2 + y2 .

	E	y
					M(x, y)
	K
					β
			α
	O	C		A			D	x
			Рис. 11

Найдём c из условия, что линия проходит через точку M0 (0,1).

	1	= 0 + c,	c =	1 .
	2			2
Уравнение искомой кривой имеет вид
y2	= x2	+ 1 или	y2	− x2 = 1.
2	2	2

24

Контрольная работа №7

Интегралы

1-30. Вычислить неопределённые интегралы

	1.	a)∫		dx	,
			3 3x + 1
	2.	a)	∫	dx				,
				x ln2 x
	3.	a)	∫	xdx		,
				x4 + 1
	4.	a)	∫	dx			,
				4x2 +		7
	5.	a)	∫x cos(x2 )dx,
	6.	a)	∫	sinx cosxdx,

б)∫

б)∫

б)∫

б)∫

б)∫

б)∫

arccosx dx.
x +1		dx.
x + 5
ln x	dx.
3 x	1
x − 3 −1 dx .
1 + x		dx.
1 +	x	1
			dx.
(x +12) x + 3

7.

a)

∫x2 x3 + 5 dx,

б)∫

x

−1

dx .

1 +

(x −1)3

8.

a)

∫

(2lnx + 3)3 dx,

б)∫arcsinx dx.

x

б)∫x arctgx dx .

9.

xdx

a)

∫

,

4x2 + 7

10.

a)

∫

e2xdx

,

б)∫

1 − x dx .

e4x + 5

x + 3

x

11.

a)

∫ e 2x+1dx

,

б)∫

1 −

x + 2

dx .

2x + 1

3

(x + 2)− 2 x +

2

12.

∫x(x2 + 1)

б)∫sin

2

x dx .

a)

2

dx,

x

13.

a)

∫cos(sinx) cosxdx,

б)∫

1 +

x + 4

dx .

x +

5

14.

sinxdx

б)∫(x + 2)ln x dx .

a)

∫

,

4 − cosx

б)∫x2 arcsinx dx .

15.

a)

∫

3 − ln 2x dx

,

x

16.a)

17.a)

18.a)

19.a)

20.a)

21.a)

22.a)

23.a)

24.a)

25.a)

26.a)

27.a)

28.a)

29.a)

30.a)

∫x ex 2 −3dx,
∫	2dx			,
	4x − xlnx
∫	dx		,
	1 + cos6x
	sin 2x dx
∫	1 − cos2x ,
∫	x2dx	,
	x3 − 5
	4dx
∫	2 − 6x2 ,
∫	cosx dx,
	3 sin2 x
∫x e−x 2 dx,
∫	sin x dx,
	x
∫	x2dx	,
	x6 − 1
∫	cosx dx				,
	3 3 + 5sinx
∫	dx	,
	x ln3 x
∫		dx						,
	(arccosx)5 1 − x2
∫	dx						,
	arctg3x (1 +x2 )
∫	arcsin3 x				dx	,
	1 − x2

25

б)∫arctg x dx . б)∫x2 e3x dx.

	б)∫	x					dx .
		2		x
		sin
	б)∫x sin2						x	dx .
		cos				x
	б)∫		4 + x					dx .
		x +1 + 7
	б)∫	x + 2 dx .
		x +11
	б)∫		1					dx .
		3 + ex
	б)∫	ln2 x				dx .
		x	2
	б)∫	e3x						dx .
		1 − ex

б)∫x2 e−2x dx .

б)∫ln(x + 1 + x2 ) dx .

б)∫x2 cosx dx .

б)∫ x ln2 x dx .

б)∫	x2
	dx .
	x −1

б)∫x2 sin 2x dx .

26

31-60. Задачи на геометрические приложения определённого интеграла

31.Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 ≤ 8 делится параболой y = 12 x2 .

32.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = x(x − 1)2 и осью

абсцисс Ox .

33.Найти длину дуги параболы y = x2 от точки x = 0 до точки x = 1.

34.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу-

ры, ограниченной линиями y = 1 x2 и 2x + 2y − 3 = 0 .

2

35.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу-

ры, ограниченной линиями y = 0 и y = sin2 x,

(0 ≤ x ≤ π).

36.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

x2 + 8y = 8

и

x2 − 24y = 40 .

37.

Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = lnx

и прямыми

x = e, x = e2 , y = 0 .

38.

Найти длину

дуги кривой y =

1 (3 − x)

x

между

точками

её

пересечения с осью Ox .

3

39.

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями y =

4x,

y = 0,

x = 1.

40.

Найти длину дуги кривой y = lnx от точки x =

3 до точки x =

8 .

41.

Вычислить площадь

криволинейной

трапеции, ограниченной

3

линией y = x − x

2

и осью абсцисс Ox .

42.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу-

ры, ограниченной линиями y = x ex ,

x = 1,

y = 0.

43.

Найти площади фигур,

на которые парабола y2 = 6x

делит круг

x2 + y2 ≤ 16 .

44.

Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией y =

1

1 + x2

и параболой y = 0,5x2 .

27

45.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигу-
ры, ограниченной линиями y = 0,5(x − 2)2 и y = 2 .
46.	Найти длину дуги кривой x = 1 t6 ,		y = 4 − 1 t4	между точками её
		6	4
пересечения с осями координат.
47.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигу-
ры, ограниченной линиями y = e2x − 1,			y = e−x + 1,	x = 0.
48.	Найти длину	дуги кривой y = ln(1 − x2 ) от точки			x = 0	до точки
x = 0,5 .
49.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной			линиями		y = lnx	и
y = ln2 x .
50.	Найти площадь фигуры, ограниченной линией				y = arcsinx		и
прямыми x = 0,		y = π .
		2
51.	Найти длину дуги кривой x = et cost,		y = et sin t	от	t = 0	до точки

t= 1.

52.Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием 2a и высотой h вокруг высоты.

53. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = x + 1 и

y2 = 9 − x .
54.	Вычислить		площадь	фигуры,	ограниченной		линиями
y = sinx,		y = cosx, y = 0,		x = 0, x = π .
				2			π .
55.	Найти длину дуги астроиды x = a cos3 t,				y = a sin3 t, 0 ≤ t ≤
	Найти длину дуги полукубической параболы y2 = x3 от						2
56.							начала
координат до точки M(4,8).
57.	Фигура ограничена кривой x = a cos t,				y = a sin t, 0 ≤ t ≤	π	и осями
координат Ox, Oy Найти объём тела вращения.						2
58.	Вычислить		площадь	фигуры,	ограниченной		линиями
y = 2 x,		y =	x + 3 и осью Oy .
59.	Вычислить		площадь	фигуры,	ограниченной		кривыми
y = ex − 1, y = e2x − 3, x = 0 .

28

60. найти	площадь	фигуры,	ограниченной	кривыми
y = 1, y = 4, y = 2x, y = x .

Криволинейные интегралы по длине дуги (I рода)

61-90. Найти массу m части линии l , линейная плотность которой меняется по закону γ

61. l - отрезок прямой от точки A(0,0) до точки B(4,3), γ = x − y .

62.l

63.l

64.l

65.l

66.l

67.l

68.l

69.l

70.l

71.l

x = t,

-дуга параболы y = 1 t2 ,

2

	2
x =
	2
- дуга окружности	2
y =	2

0 ≤ t ≤ 1 , γ = 2y .

cost,

0 ≤ t ≤ π2 , γ = x + y .

sin t,

- дуга кривой y = lnx,

3 ≤ x ≤

, γ = 4x2 .

15

=

(

)

,

1

x

3 t

− sin t

π ≤ t ≤ 2π , γ = 6 y .

- дуга арки циклоиды

=

(

−

)

,

y

3 1

cost

- отрезок прямой от точки A(0,−2) до точки B(4,0), γ =

1

.

x − y

- дуга параболы y2 = 2x,

0 ≤ x ≤ 1 , γ = 2y .

- дуга окружности x = 4cost,

π

≤ t ≤ π ,

γ = x + y .

y = 4sin t,

2

4

- часть эллипса x = cost,

0 ≤ t ≤ π

,

γ = 2y .

y = 3sin t,

2

2 cost,

0 ≤ t ≤

π

, γ = 2x + y .

- часть окружности x =

2 sin t,

2

y =

)

(

x = 2

t − sin t

,

- часть арки циклоиды

(

)

,

0

≤ t ≤ 2π , γ =

2y .

y = 2 1 − cost

x =	1 cost,
72. l - часть эллипса	2		0 ≤ t ≤ π , γ = 3xy .
	1	sin t,
y =	3

73.l

74.l

75.l

76.l

77.l

29

- часть окружности x = 5cost,						0 ≤ t ≤ π , γ = x .
y = 5sin t,
- часть эллипса x = 2cost,				0 ≤ t ≤ π			, γ = y .
y = 3sin t,
- часть окружности x = cost,						0 ≤ t	≤ π , γ = 1 y .
y = sin t,							2
- часть арки циклоиды x = t − sin t,							0 ≤ t ≤ π , γ =	1 y .
	y = 1 − cost,							2
x = t,
- часть параболы	1	t	2	,	0 ≤ t ≤ 2 , γ = x .
y =	2

78.l - часть окружности x = 3cost, 0 ≤ t ≤ π , γ = 2y − x .

y = 3sin t,

79.l - отрезок прямой от точки O(0,0) до точки A(1,2), γ = x + y2 .

80.l - отрезок прямой от точки O(0,0) до точки A(4,2), γ = xy .

81.l - отрезок прямой от точки A(0,−2) до точки B(2,0), γ = x + y2 .

82.	l	- дуга параболы y2 = x,	0 ≤ x ≤ 2 , γ = 2						x .
83.	l - отрезок прямой от точки A(0,1)					до точки B(1,0), γ = 2y − x .
84.	l	- часть параболы y = x2 ,	0 ≤ x ≤ 1 , γ = 2y .
		- часть эллипса x = 2cost,						x
85.	l			0 ≤ t ≤		π , γ = x .
		y = sin t,		(		2
						)
		x		= 4 t	− sin t		,
86.	l	- часть арки циклоиды		(		)		,	π ≤ t ≤ 2π , γ =	y .
		y		= 4 1	− cost
87.	l	- отрезок прямой от точки A(1,3)				до точки B(2,4), γ =				2 y .
		- часть параболы y = 1 x2							4y .		x
88.	l		,	0 ≤ x ≤ 2 , γ =
		2							x
89.	l - отрезок прямой от точки A(0,−1) до точки B(2,3), γ = xy .
90.	l	- часть эллипса x = cost,		0 ≤ t ≤		π , γ = 1 y .
		y = 2sin t,				2			2