В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса

30

Криволинейные интегралы по координатам (II рода)

r 91-120.r	Определить работу, совершаемую переменной силой
F = P(x, y)i	+ Q(x, y)j при перемещении некоторой массы из точки A в

точку B по пути l
91.	r	r	r	- верхняя половина эллипса
	F = y2 i		− x2 j , l
пробегаемая по ходу часовой стрелки.
92.	r	r	r	- отрезок прямой от точки A(0,0)
	F = y2 i		− x2 j , l

x = 2cost, y = 3sin t ,

до точки B(2,1).

93.	r	r	r	,	l	- дуга параболы y = 1 x2 , пробегаемая	от точки
	F = 2xyi		− x2 j
						4
A(0,0) до точки B(2,1).
94.	r	r	r	,	l	- отрезок прямой, соединяющий точки	A(2,−2) и
	F = 2xyi		− x2 j
B(− 2,2).			r
95.	r r				-	четверть дуги окружности x = R cost,	y = R sin t ,
	F = yi	+ xj , l

лежащая в первой четверти и пробегаемая против хода часовой

стрелки.			r	r
96.	r
	F = −y2 i			+ x2 j , l - дуга кривой y = x3 + 1, пробегаемая от точки A(0,1)
до точки B(1,2).
97.	r	r		r	-	верхняя половина эллипса x = a cost,			y = b sin t ,
	F = yi − xj , l
пробегаемая по ходу часовой стрелки.
98.	r	r	+ (x + y)j , l - прямая y = x от точки A(0,0) до точки B(1,1).
	F = xyi
99.	r	r		r	l	-	дуга параболы x = 2y2 ,	пробегаемая	от	точки
	F = 2xyi			− x2 j ,
A(0,0)		до точки B(2,1).
	r	r		+ (x + y)j		, l	- парабола y = x2 от	точки A(0,0)	до	точки
100. F = xyi
B(1,1).
	r	(x2		r	+ (y2		r
101. F =				− 2xy)i			− 2xy)j , l - дуга параболы y = x2 , пробегаемая от
точки A(− 1,1) до точки B(1,1).
	r			r		l	- дуга линии y = cosx от точки A(0,1)		до точки
102. F = sin2 xi + y2 j ,
B(π,−1).
	r			r	x2		r
103. F =		(x − y)i +				+ 3yj , l - дуга параболы y = x2 от точки A(0,0) до

точки B(1,1).

31

r

x

r

y

r

104.

F =

i

+

j , l - отрезок прямой от точки A(1,1)

до точки

x3 + y3

x2 + y2

B(

2,2).

r

r

1

r

π

105.

F = cos2 xi

+

j

, l

- дуга линии y = tgx

от точки A

,1

до точки

y3

4

π

,

B

3

3 .

106.

r

r

r

,

l

- дуга кривой y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F =

(x2 + y2 )i

+ xyj

B(1,e).

r

r

1

r

π

107.

F = sin3 xi +

j

, l

- дуга кривой y = ctgx от x = 0 до x =

.

y2

3

108.

r

r

r

,

l

- дуга линии y = ax

от точки A(0,1)

до точки

F =

(x3 − y2 )i

+ xyj

B(1,a).

109.

r

r

r

, l

- дуга кривой x = t2 , y = t

от точки A(1,1)

до точки

F = xyi + y

2 j

B(4,2).

110.

r

r

r

,

l

-

дуга кривой x = t,

y = t3 от точки

A(

0,0)

до

F = x2yi

+ y2xj

точки B(1,1).

r

111.

r

r

,

l - дуга окружности x = R cost,

y = R sin t ,

от

F =

(x + y)i

+ (x − y)j

точки A(R,0)

до точки B(0,R).

112.

r

r

r

,

l

- дуга эллипса x = a cost,

y = bsin t , от точки A(a,0)

F = y2 i + xyj

до точки B(0,b).

113.

r

r

r

, l

- дуга астроиды x = cos3 t,

y = sin3 t , от точки A(1,0)

до

F = yi − xj

точки B(0,1).

114.

r

r

r

,

l

- первая арка циклоиды x = a(t − sin t),

y = a(1 − cost),

F = yi + xj

от точки A(0,0)

до точки B(2πa,0).

115.

r

r

r

l

- отрезок прямой от точки A(1,1)

до точки

F =

(x3 − y2 )i

+ yj ,

B(4,4).

116.

r

r

r

, l

- контур, ограниченный параболами y = x2 ,

y2 = x ,

F = x2yi

+ x3 j

пробегаемый против хода часовой стрелки.

							32
117.	r		r		l	-	дуга кривой	x = cost,	y =	sin t ,	от точки
	F = −y2xi + x2yj ,
A(1,0) до точки B(0,1).
118.	r r			r	l	-	дуга кривой	y = 2x − x2 ,	расположенная над
	F = yi	− (y + x2 )j ,
осью Ox и пробегаемая по ходу часовой стрелки.
119.	r		r	+ (2xy			r			от точки A(1,1)
	F = (x2		− 2xy)i			+ y2 )j , l - дуга параболы y = x2
до точки B(2,4).
120.	r	r	r	l -	верхняя половина эллипса x = a cost,						y = b sin t ,
	F = y2 i		+ x2 j ,

пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Двойные интегралы

121-150. Вычислить двойные интегралы. Области D построить

				1	,y ≤
	a)∫∫y ln xdxdy,D = y ≥			x			x,Mx ≤ 2 .
121.	D
		cos x2 + y2				π2
	б)∫∫						≤ x2			+ y2 ≤ 4π2
		dxdy,D =				4					.
	D	x2 + y2
	a)∫∫sin(x + y)dxdy,D							π
			= x ≥ 0,y ≤					2	,y ≥ x .
122.	D
	б)∫∫	25 − x2 − y2 dxdy,D ={x2					+ y2			≤ 9}.

D

a)∫∫(cos2x + sin y)dxdy,D ={x ≥ 0,4x + 4y ≤ π,y ≥ 0}.

123.	D
	б)∫∫	1	dxdy,D ={x2 + y2 ≤16}.
	D	25 − x2 − y2
124.	a)∫∫(x − y)dxdy,D ={y ≥ 2x −1,y ≤ 2 − x2 }.
	б)∫∫D (x2 + y2 ) dxdy,D ={1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
	D

										33
125.	a)∫∫(3x + y)dxdy,D ={x2					+ y2 ≤ 9,y ≥ x + 3}.
	б)∫∫D (x4 + 2x2y2 + y4 ) dxdy,D ={1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
126.	a)∫∫D (2x − y)dxdy,D ={y ≤ x2 ,y ≥ x,x ≤ 2}.
	б)∫∫D (x6		+ 3x4y2 + 3x2y4 + y6 ) dxdy,D ={x2 + y2 ≤ 4}.
	a)∫∫D (x − y)dxdy,D ={y ≥ x,y ≤ x3 ,x ≤ 3}.
127.	D				dxdy,D ={1 ≤ x2						3x}.
	б)∫∫			1						+ y2 ≤ 4,x ≤ y ≤
	D	9 − x2 − y2
	a)∫∫xdxdy,D ={xy ≥ 6,x + y ≤ 7}.
128.	D
	б)∫∫(x2		+ y2 )2 dxdy,D ={x2					+ y2	≤1}.
	D
129.	a)∫∫xy2dxdy,D ={x + y ≥ 2,x2 + y2 ≤ 4}.
	б)∫∫D (x2 + y2 )5 dxdy,D ={x2 + y2 ≤1}.
	D
	a)∫∫x4ydxdy,D ={xy ≥1,y − x ≤ 0,x ≤ 2}.
130.	D				dxdy,D ={x2 + y2 ≤1}.
	б)∫∫	1 − x2 − y2
	a)∫∫D (x + y)dxdy,D = {0 ≤ y ≤ π,0 ≤ x ≤ sin y}.
131.	D				dxdy,D = {π ≤ x2 + y2 ≤ 4π}.
	∫∫	sin		x2 + y2
	б)
	D
	a)∫∫	(xy2				≤ y ≤			x
132.				+1)dxdy,D = x						.
	D				2				2
	б)∫∫	R2		− x2 − y2 dxdy,D ={x2					+ y2 ≤ R2 ,x ≤ y ≤		3x}.
	D
	a)∫∫ex+ydxdy,D ={y ≥ ex ,x ≥ 0,y ≤ 2}.
133.	D			+ y2 dxdy,D ={x2				+ y2 ≤ a2 ,x ≥ 0,y ≥ 0}.
	б)∫∫	x2
	D
	a)∫∫	(x +					x
				2y)dxdy,D = y ≥			2	−1,y ≤ 4x + 6,Mx ≤ −1 .
134.	D
	б)∫∫ln		2x2 +2y2		dxdy,D ={e2 ≤ x2					+ y2 ≤ e4 }.
	D	x		+ y

34

x

x

5

a)∫∫

(x

+

2y)dxdy,D = −1

≤ x ≤ 3,

−1

≤ y

≤

+

.

2

2

135.

D

2

x

dxdy,D ={x2

≤ π2 ,x ≥ 0}.

б)∫∫

+ y2

x

2

+ y

2

D

2x

x

a)∫∫

(2x + y)dxdy,D = y ≤ −

+ 6,y ≥

−

1,x ≥

3 .

3

2

136.

D

y

dxdy,D ={x2

≤ π2 ,y ≥ 0}.

б)∫∫

+ y2

x

2

+ y

2

D

a)∫∫2ydxdy,D ={y ≤ x,y ≥ 0,x + y ≤ 2}.

D

137.

б)∫∫

D

a)∫∫

D

138.

б)∫∫

D

a)∫∫

139. D

б)∫∫

D

a)∫∫

(x

2

+ y

2

2

+ y

2

≤ 2,

x

) dxdy,D = x

3

≤ y ≤ x .

x2

1

,y ≤ x,Mx

y2

dxdy,D = y ≥

x

≤ 2 .

cos

x2 + y2

π2

≤ x2 + y2

≤ π2

dxdy,D =

4

.

x2 + y2

exdxdy,D ={y ≥ ex ,x ≥ 0,y ≤ 2}.

x2 + y2 dxdy,D ={4 ≤ x2 + y2 ≤16}.

(x2

+ y)dxdy,D ={y ≥ x2 ,y2 ≤ x}.

140.	D
	б)∫∫ x2 + y2 − 9 dxdy,D ={9 ≤ x2 + y2 ≤ 25}.

a)∫∫D cos(x + y)dxdy,D ={x ≥ 0,y ≤ π,y ≥ x}.

D

141. б)∫∫

D

a)∫∫

D

142.

б)∫∫

D

a)∫∫

1	dxdy,D ={x2 + y2 ≤ R2 ,x ≥ 0,y ≥ 0}.
R2 − x2 − y2
(2x + y)dxdy,D ={x − 2y ≤ −5,4x − y ≥ −6,Mx ≤ 0}.
x2 + y2	dxdy,D ={1 ≤ x2 + y2 ≤ 4,0 ≤ y ≤ x}.
x2

xdxdy,D ={x + y ≤ 2,x ≥1,y ≥ 0}.

143.	D
	б)∫∫arctg	y		≤ x	2	+ y	2	≤ 9,	x	≤ y ≤
		x	dxdy,D = 1						3		3x .
	D

35

≤ x ≤

π

a)∫∫xydxdy,D = y ≥ sin x,0

2

,y ≤ 3 .

144.

D

б)∫∫

R2 − x2 − y2

dxdy,D ={x2

+ y2 ≤ R2 ,y ≥ 0}.

a)∫∫D (2x + y)dxdy,D ={y ≥ x,1 ≤ x ≤ 3,y ≤ x + 5}.

145.

D

1 − x2 − y2 dxdy,D ={x2 + y2

≤1,x ≥ 0,y ≥ 0}.

б)∫∫

D

a)∫∫(x + y2 )dxdy,D ={y ≥ x3 ,y ≥ −x,y ≤1}.

146.

D

б)∫∫(x2 + y2 )4 dxdy,D ={x2

+ y2

≤1,y ≥ 0}.

D

a)∫∫xdxdy,D ={0 ≥ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2x }.

147.

D

б)∫∫(x2 + y2 )5 dxdy,D ={x2

+ y2

≤1,y ≥ 0}.

D

y2

∫∫D

a)

x

dxdy,D ={y ≥ x,0

≤ x ≤ 5,y ≤ 3x}.

148.

∫∫

4 − x2 − y2 dxdy,D = {x2 + y2

≤ 4,y ≥ 0}.

б)

a)∫∫D (x + y)dxdy,D ={y ≤ ln x,x ≤ e,y ≥ 0}.

149.

D

б)∫∫

1

dxdy,D ={x2

+ y2

≤16,x ≥ 0,y ≥ 0}.

D

25 − x2 − y2

a)∫∫

≥

1

x

2

,y

≤

x

(x + 2y)dxdy,D = y

8

.

150.

D

б)∫∫(x2 + y2 )3 dxdy,D ={x2

+ y2

≤ 4,y ≥ 0}.

D

Контрольная работа №8

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1-30. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

1.	y	− x = 0 .	16.	y2 + x2 y′ = xyy′.
	y′ + x
2.	(x2 + y2 )dy = 2xydx .		17.	y′ −	1 − 2x	y = 1.
					x2

3. y′ + ay = emx .

4.ydy + (x − 2y)dx = 0 .

5.xdy = (x + y)dx .

6.y − x y′ = yln xy .

7.(1 − x2 )y′ − xy = 1.

8.y − x y′ = x + yy′.

9.xdy − ydx = ydy .

10.dxdy − x + y = 0 .

11.(x − y)y − x2y′ = 0 .

12.xdy − 2ydx = ydy .

13.y′ + 3y + x = 0 .

14.(y2 − 3x2 )dx + 2xydy = 0.

15. y′ + 2y = e−x .

36

18.		y	.
	xy′ = y − xe	x
19.	y′ + 2xy − x3		= 0 .

20.(y − x)dx = (x + y)dy .

21.y′ − y = xex .

22.ydx + (2 xy − x)dy = 0 .

23.(1 + x2 )y′ − 2xy = (1 + x2 )2 .

24.y′ = tg xy + xy .

25.(x + 2y)ydx = x2dy .

26.y′ − x = y .

27.y′ lnx + xy = x .

28.y′ cosx − y sinx = x .

29.	y′ arctgx +		y	= 2x .
			+ x2
	1
30.	2xy′ − yy′ = y .

31-60. Найти общее решение дифференциального уравнения, используя метод понижения порядка уравнения

31.	y′′ = y′ + x .
32.	x
	y′′ = 2yy′ .
33.	x(yy′′ + y′2 )= 2yy′, ( подстановка z = yy′ ).

34.yy′′ = (y′)2 .

35.xy′′ − 2y′ + x = 0 .

36.y′′ = − yx′ .

37.yy′′ = y2y′ + y′2 .

38.yy′′ + y′2 = 1.

37

39.x2y′′ + xy′ = 1.

40.y′′ = yy′ + y′.

41.y′′ = x − y′.

42.y′′2 = y′.

43.xy′′ = y′ + x sin xy .

44.y′′ y3 = 1.

45.y′′(ex + 1)+ y′ = 0 .

46.xy′′ = y′ + x .

47.2xy′ y′′ = y′2 − 1.

48.yy′′ = y′2 − y′3 .

49. yy′′ + y′2 = x , ( подстановка z = yy′ ).

50.x y′′ + x y′ − y′ = 0 .

51.x y′′ = 1 − y′.

52.(1 − x2 )y′′ − xy′ = 2.

53.y′′ − 2ctgx y′ = sin3 x.

54.2y y′′ − 3y′2 = 4y2 .

55.x(y′′ + 2)− y′ = 0 .

56.x2 y′′ = 2 − xy′ .

57.x y′′ = y′ ln yx′ .

58.x3 y′′ + x2 y′ − 1 = 0 .

59.y′′ = y′ + x2 .

xy′

60.(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = x3 .

61-90. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

61.	y′′ + 9y = cos3x, y(	0)= 2, y′(0)= 3.
62.	y′′ − 6y′ + 9y = 2e3x ,	y(0)= 1,	y′(0)= 0.
63.	y′′ − 2y′ + y = xex ,	y(0)= 5,	y′(0)= 3 .

									38
64.	y′′ + y′ = x2 − 5,		y(0)= 0,				y′(0)= 2.
65.	y′′ + 4y′ + 29y = x2 − x,					y(0)= 5,				y′(0)= 0 .
66.	y′′ + 3y′ + 2y = 3e−x ,				y(0)= 1,				y′(0)= 4 .
67.	y′′ + 2y′ = x2 + 3x + 4,					y(0)= −1,				y′(0)= 4 .
68.	y′′ − y′ − 6y = −2e3x ,				y(0)= −3,				y′(0)= 1.
69.	y′′ + y′ − 2y = (x − 2)ex ,					y(0)= 3,				y′(0)= 0 .
70.	y′′ + y = 6cos2x − sin 2x,					y(π)= 1,				y′(π)= 1.
71.	y′′ − 4y′ + 13y = sin 3x,					y(0)		= 5	,	y′(0)	= 1 .
								7			7
72.	2y′′ + 5y′ = 30x2 − 4,				y(0)= 4,				y′(0)=		5 .
73.	y′′ − y′ = e2x ,	y(0)= −3,					y′(0)= 1.				2
74.	y′′ + 2y′ + 5y = x2 − 3x,					y(0)= 4,				y′(0)= −2.
75.	y′′ − 3y′ = −3e3x ,		y(0)= −1,					y′(0)= 6.
76.	y′′ + 4y′ + 4y = 15e3x ,				y(0)= 1,				y′(0)= 3 .
77.	y′′ + y′ − 2y = 2ex ,			y(	0)= 4,			y′(0)= 1.
78.	y′′ − 5y′ + 6y = −3e−x ,					y(0)= 4,			y′(0)= 0 .
79.	4y′′ + 4y′ + y = x2 + x − 1,						y(0)= 5,			y′(	0)= 0,5 .
80.	y′′ + 2y′ + 2y = 2e2x ,				y(π)= −3,				y′(π)= 4 .
81.	y′′ − 2y′ − 3y = 8e3x ,				y(0)= 1,				y′(	0)= −2.
82.	y′′ − 4y = 4x2 + x − 8,				y(0)= 3,				y′(0)= 1.
83.	y′′ − y = 6ex ,	y(0)= 1,				y′(0)= −3 .
84.	y′′ + 5y′ + 6y = 10e2x ,				y(0)= 5,				y′(0)= −2.
85.	y′′ − 8y′ + 7y = 6xex ,				y(0)= 1,				y′(0)= 7.
86.	y′′ − 6y′ + 13y = x2 − x,					y(0)= −2,				y′(0)= 0 .
87.	y′′ − y = 8e3x ,	y(0)= 3,				y′(0)= −2.
88.	y′′ − 2y′ = 6x2 − 3,			y(	0)= 3,			y′(0)= −4 .
89.	y′′ + 4y = x2 − x + 1,					π	=	1,	y′(π)= 4 .
				y
						2

39

90. y′′ + 6y′ + 10y = 2e−3x , y(0)= 4, y′(0)= −1.

91-120. Решить геометрическую задачу с помощью дифференциального уравнения

91.Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между

точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Кривая проходит через точку M0 (1,1).

92.Найти семейство кривых каждая из которых обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке M

кривой вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки M . Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,3).

93.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый

касательной на оси Oy , равен длине радиуса-вектора точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1).

94.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Ox , проведённой в любой точке кривой, равен

квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,2).

95.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен абсциссе точки касания. Найти

уравнение кривой, проходящей через точку M0 (2,1).

96.Найти линии, у которых длина нормали ( отрезок её от точки линии

до оси абсцисс ) есть постоянная величина a . Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 (a,0).

97.Найти линии, у которых отрезок, отсекаемый на оси Oy

касательной в произвольной точке, пропорционален квадрату ординаты точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1).

98.Найти линии, обладающие тем свойством, что отрезок касательной

влюбой её точке, заключённый между осью Ox и прямой y = x

делится точкой касания пополам. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (1,1).

99.Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью Oy

вточке, одинаково удалённой от точки касания и от начала