В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2003

6,44

≈ 38 .

20

как Zp < Zkp , то гипотеза о равенстве средних принимается, то есть справедлива нулевая гипотеза H0: M(X)= M(Z) [1, гл.19, п. 11; 2, гл. 13, п. 4].

Пример 5. Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами X (производительность труда) и Y (скорость проходки) по данным, приведённым в табл. 1 (пример 1). Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии

yx − y = rb	σy	(x − x).
	σx

Решение. Определим величину интервала для интервального вариационного ряда признака Y :

hy = ymax − ymin = 311 − 64

1 + 3,2lgn

Составим таблицу для расчёта выборочного коэффициента корреляции

(табл. 6).

Замечания к табл. 6

1.В первой строке приведены интервалы для признака X , полученные в примере 1. В скобках указаны середины интервалов.

2.В первом столбце приведены интервалы для признака Y . В скобках указаны середины интервалов.

3.Просматривая по табл. 1 исходные данные ( парами (xi , yi )), про-

ставляем точки в тех клетках табл. 6, которым соответствуют данные значения (xi , yi ). Число точек в клетке определяет частоту

mi j ( i - номер строки, j - номер столбца).

4.В столбце my указана частота по данной строке.

5.В каждой клетке столбца yimy записаны произведения середины

интервала на соответствующую частоту.

6.В каждой клетке столбца yi 2my записаны произведения yi и yimy .

7.В каждой клетке столбца yi 2 записаны квадраты середин интервалов для признака Y .

8.Каждую клетку строк mx , ximx , xi 2mx заполняем по аналогии с пунктами 4,5,6.

Таблица 6

Расчёт коэффициента корреляции

X					0,12-0,16	0,16-0,2	0,2-0,24	0,24-0,28	0,28-0,32	0,32-0,36	my	yimy	yi	2my	yi	2
Y					(0,14)	(0,18)	(0,22)	(0,26)	(0,30)	(0,34)
64-101					2	10	4	1			17	1411	117113		6889
(83)
102-140					2	4	4	1	2		13	1573	190333		14641
(121)
140-178						2	3	3	2		10	1590	252810		25281
(159)
178-216							3	2	1		6	1182	232854		38809
(197)																	21
216-254									1		1	235	55225		55225
(235)
254-292										1	1	273	74529		74529
(273)
292-330										2	2	622	193442		96721
(311)
mx					4	16	14	7	6	3	50	6886	1116306		312095
xi m x					0,56	2,88	3,08	1,82	1,8	1,02	11,16
											2,6344
xi		2mx			0.0784	0,5184	0,6776	0,4732	0,54	0,3468
											955,80
y	x				102	102	134,57	153,57	165,33	298,33
xi m x			y	x	57,12	293,76	414,48	279,5	297,594	304,297	1646,75

22

9. В строке yx записываем групповые средние признака Y . Напри-

мер, для столбца с интервалом [0,20;0,24) и его серединой 0,22 получаем

= 83 4 + 121 4 + 159 3 + 197 3 = . yx=0,22 14 134,57

10. В строке ximx yx записываем произведения соответствующих значений строк ximx и yx .

11. В конце каждой строки и столбца записываем суммы значений данной строки и столбца.

Для определения коэффициента корреляции вычисляем значения

x = ∑ximi

=

11,16

= 0,22;

50

n

y = ∑yimi

=

6886

= 137,72;

xy_

n

50

=

∑ximi yx = 1646,75

= 32,935;

_

n

50

∑x

2m

2,6344

x

2

=

i

=

= 0,0527;

i

50

_

n

∑y

2m

1116306

y

2

=

i

=

= 22326,12;

i

50

n

_

σx =

Db (X) =

x2 − (x)2 =

0,0527 − (0,22)2 = 0,054;

_

σy =

Db (Y) =

y2 − (y)2 =

22326,12 − (137,72)2 = 57,96 .

Определяем коэффициент корреляции

_

r

= xy− x y =

32,935 − 0,22 137,72 ≈ 0,7.

b

σx σy

0,054 57,96

Так как rb = 0,7, то связь между признаками X и Y тесная, то есть

скорость проходки зависит от производительности труда.

Определим коэффициент регрессии

ρ

= r

σy

= 0,7

57,96

≈ 751,3.

σx

y x

b

0,054

Запишем уравнение прямой регрессии

yx − 137,72 = 751,3(x − 0,22)

или yx = 751,3x − 17,57.

23

Построим на одном чертеже полученную прямую регрессии и эмпирическую линию регрессии, отложив точки с координатами (xi , yx ) (xi -середины интервалов, yx - условные средние, вычислен-

ные в табл. 6 в предпоследней строке) и соединив их ломаной.

300

200

150

100

0,14

0,18

0,22

0,26

0,3

0,34

24

Контрольная работа № 9

Теория вероятностей

1-30. Непосредственный подсчёт вероятностей

1.Из партии изготовленных шестерён, среди которых 20 годных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 8 штук. Определить вероятность того, что среди них будет 3 бракованных.

2.В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу 3 деталей все детали нестандартные.

3.На карточках написаны буквы А, Е, К, Р. Карточки тщательно перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «РЕКА»?

4.Из карточек с буквами А, Б, В, Д наудачу последовательно выбирают три и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»?

5.Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковые цифры, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

6.В ящике 12 писем, из них 7 иногородних и 5 городских. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 3 писем все письма будут городскими?

7.В партии из 20 телефонов 3 неисправных. Какова вероятность того, что из двух случайно взятых аппаратов оба будут хорошими?

8.Ребёнок играет с разрезной азбукой (33 буквы). Определить вероятность того, что при случайном вынимании 7 букв и расположении их в ряд он получит слово «самолёт».

9.Из 10 билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов оба выигрышных.

10.Слово «интеграл» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу случайно берут 4 карточки и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «игра»?

11.Абонент забыл последнюю цифру телефона и поэтому набирает её наудачу. Какова вероятность того, что он сразу позвонит нужному лицу? Какова эта вероятность, если он вспомнит, что последняя цифра нечётная?

25

12.Имеется 5 букв разрезной азбуки К, Л, О, О, С. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд получится «КОЛОС»?

13.Монета бросается дважды. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпадет герб?

14.Набирая номер телефона абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

15.Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали разные цифры?

16.Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали одинаковые цифры?

17.Подсчитать вероятность того, что в выбранном наудачу телефонном номере, содержащем 4 цифры, все цифры различны. Предполагается, что номером может быть любое четырёхзначное число, начиная с 0001.

18.Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число.

19.Каждая из букв Т, М, Р, О, Ш написана на одной из 5 карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово «ШТОРМ»?

20.На столе лежат 36 экзаменационных билетов с номерами от 1 до 36. Преподаватель берёт любые 3 билета. Какова вероятность того, что они из первой четвёрки?

21.Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путём жеребьёвки распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность того, что 9 лучших команд попадут в одну группу?

22.Какова вероятность того, что три друга попадут в комиссию, состоящую из трёх человек, если комиссию можно избрать из 10 человек?

23.Из 10 собранных узлов карданной передачи 2 получили высокую оценку. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу двух узлов оба высокого качества.

24.В партии содержится 70 деталей, из которых 10 нестандартных. Какова вероятность того, что среди извлечённых наугад 7 деталей две нестандартные?

26

25.Четырёхтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо?

26.В пачке 20 перфокарт с номерами от 101 до 120, расположенными в случайном порядке. Перфоратор наудачу извлекает две перфокарты. Определить вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

27.Ящик содержит 100 деталей, из которых 10 нестандартных. Определить вероятность того, что среди трёх наудачу взятых из ящика деталей нет нестандартных.

28.Профессор вызвал через старосту на консультацию трёх студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трёх отстающих студентов. Определить вероятность того, что староста послал именно тех студентов, которых вызвал профессор.

29.Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на 5 карточках. Наудачу последовательно вынимают 3 карточки и раскладывают слева направо в порядке появления. Какова вероятность того, что получится число

324?

30.Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь две окрашенных грани?

31-60. Основные теоремы теории вероятностей (сложения, умножения, формулы полной вероятности и Байеса)

31.Два токаря обрабатывают одинаковые детали. Вероятность брака первого - 0,03; второго - 0,04. Обработанные детали складываются в одно место. Причём первый токарь изготавливает деталей в 2 раза больше, чем второй. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной?

32.Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него две одинаковые детали. Берёт он их случайным образом из имеющихся у него 10 штук. Среди деталей находятся две уменьшенного размера против номинала. Механизм не будет работать, если обе установленных детали окажутся уменьшенного размера. Найти вероятность того, что механизм будет работать.

27

33.Процесс изготовления детали состоит из нескольких операций. После первой и второй операции производится контроль качества, и при обнаружении брака деталь отбрасывается. Вероятность того, что деталь окажется бракованной после первой операции равна 0,02, а после второй - 0,1. Определить вероятность того, что деталь окажется отбракованной до третьей операции.

34.Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей -5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадёт в сборную института, равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

35.Через остановку возле вокзала проходят трамваи маршрутов 5, 6, 7, 8. Пассажир ждёт трамвай 6 или 7. Известно, что среди 45 трамваев, идущих через эту остановку шесть трамваев маршрута номер 6 и девять маршрута номер 7. Найти вероятность того, что первый, подошедший к остановке трамвай, будет нужного пассажиру маршрута. (Предполагается равновероятным появление любого трамвая).

36.На складе готовой продукции находится пряжа, изготовленная двумя цехами фабрики, причём 20 % пряжи составляет продукция цеха № 2, а остальная - цеха № 1. Продукция цеха № 1 содержит 90%, а цеха № 2 - 70 % пряжи первого сорта. Взятый наудачу со склада моток пряжи оказался первого сорта. Определить вероятность того, что моток является продукцией цеха № 1.

37.Производится бомбометание по 3 складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад - 0,01; во второй - 0,008; в третий - 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

38.Рабочий обслуживает три станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для второго - 0,8 и для третьего - 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего?

39.Из 60 вопросов, входящих в билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

28

40.В ящике лежит 10 заклёпок, отличных друг от друга только материалом: 5 - железных, 3 - латунных, 2 - медных. Наугад берут две заклёпки. Какова вероятность того, что они будут из одного материала?

41.На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведённые двумя заводами. Среди них 70 % изготовлены первым заводом и 30 % - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведённых первым заводом, 90 штук удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведённых вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 штук. Определить вероятность того, что взятая наудачу

сбазы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта.

42.В электрическую цепь последовательно включены приборы A1 и

A2 , не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора A1 равна 0,1, а прибора A2 - 0,2. Цепь выключается,

если выйдет из строя хотя бы один прибор. Найти вероятность выхода из строя цепи.

43.Из 25 кинескопов, имеющихся в телевизионном ателье, 5 штук произведены заводом № 1, 12 штук - заводом № 2 и 8 штук - заводом № 3. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный заводом № 1 в течение гарантийного срока не выйдет из строя, равна 0,95. Для кинескопа завода № 2 такая вероятность равна 0,9, а для кинескопа завода № 3 - 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

44.Для разрушения моста достаточно одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет взорван, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания, соответственно рав-

ными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

45.Прибор может быть собран из высококачественных деталей или изделий обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надёжность за время T равна 0,95, а если из деталей обычного качества, то - 0,7. Прибор испытывался в течение времени T и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из

высококачественных деталей.

46. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти

29

вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превышает заданную точность.

47.Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем, четвёртом справочниках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что формула содержится не более чем в трёх справочниках.

48.Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике - 0,6, во втором - 0,7, в третьем - 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в двух справочниках; б) во всех трёх справочниках.

49.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,6. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания рабочего.

50.В электрическую цепь последовательно включены приборы A1 и

A2 , не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора A1 равна 0,1, а прибора A2 - 0,2. Цепь выключается,

если выйдет из строя хотя бы один прибор. Найти вероятность того, что цепь будет работать.

51.Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятностью 0,7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок?

52.Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком 0,8; вторым - 0,7. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют одновременно.

53.Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Определить вероятность непопадания в мишень.

54.В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт одно из ружей наудачу.

55.Радиолампа принадлежит к одной из трёх партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное