В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2003

30

число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что наудачу взятая радиолампа проработает заданное число часов.

56.Вероятность того, что стрелок выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков - 0,2; 8 очков - 0,2; 7 очков - 0,1; 6 или менее - 0,1. Найти вероятность того, что стрелок выбьет не менее 8 очков.

57.Для трёх аппаратов вероятность остановки в течение 1 часа составляет: для первого - 0,2; для второго - 0,15; для третьего - 0,12. Какова вероятность того, что все три аппарата будут бесперебойно работать в течение 1 часа.

58.В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что каждый из двух приобретённых билетов окажется выигрышным.

59.Химический завод получает сырьё из трёх рудников. Причём сырьё доставляется из каждого рудника в среднем одинаково часто. Для завода желательно получить очередную партию сырья либо из первого, либо из второго рудника. Найти вероятность этого события.

60.Из полного набора костей домино (28 штук) наугад берут две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

61-90. Повторные испытания (формулы Бернулли, Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа)

61.Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз.

62.30 % изделий предприятия - продукция высшего сорта. На испытание взято 6 изделий. Какова вероятность того, что из них более одного изделия высшего сорта?

63.Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 изделий более чем одно не выдержит испытание.

64.Всхожесть семян растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдёт не менее трёх.

65.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

31

66.Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий хотя бы одно не выдержит испытание.

67.Два равносильных противника играют в шахматы. Какова вероятность того, что один из них выиграет не менее двух партий из четырёх?

68.Счётчик Гейгера регистрирует частицы, вылетающие из некоторого радиоактивного источника, с вероятностью 0,0001. За время наблюдения из источника должно было вылететь 30000 частиц. Найти вероятность того, что счётчик зарегистрировал хотя бы одну частицу.

69.Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.

70.Вероятность позвонить любому абоненту на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят четыре абонента?

71.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено более одного изделия.

72.Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.

73.Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно три бракованных книги.

74.Найти вероятность того, что событие A (переключение передач) наступит 70 раз на 243 - километровой трассе, если вероятность переключения передачи на каждом километре этой трассы равна 0,25.

75.Прибор состоит из 10 узлов. Надёжность (вероятность безотказной работы в течение некоторого времени T ) для каждого узла равна p .

Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за время T откажет только один узел.

76.При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых шестерён 50 будут бракованными?

77.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени T равна 0,002. Найти вероятность того, что за время T откажут ровно три элемента.

32

78.Вероятность появления события за время испытания 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз при 100 испытаниях.

79.Станок - автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

80.Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме при включённом приводе в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что от 70 до 85 станков проработают всё рабочее время?

81.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

82.При разгрузке бананов обнаруживается 2 % брака. Определить вероятность того, что из 9 проверенных ящиков в пяти не будет брака.

83.Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка в любой день с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что поступят заявки в один день от 3 магазинов.

84.Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход энергии в течение четырёх суток не превысит нормы.

85.Работают 10 станков. Вероятность включения станка равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент включено 6 станков.

86.Известно, что вероятность выпуска свёрл повышенной хрупкости равна 0,02. Свёрла укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что в коробке число бракованных свёрл окажется не более трёх?

87.Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдёт в 5 веретенах.

88.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000.

89.Вероятность того, что деталь не пройдёт проверку, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенными окажутся от 70 до 100 деталей.

33

90. В партии изделий 5 % бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 изделий будет 2 бракованных?

91-120. Дискретные случайные величины (законы распределения, числовые характеристики)

91.Два стрелка делают по одному выстрелу в одну и ту же цель. Вероятность попадания в мишень для первого равна 0,6; для второго - 0,5. Составить закон распределения случайной величины X - числа попаданий в мишень. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

92.Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины X - числа библиотек, которые посетит студент в поиске книги, если в городе три библиотеки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

93.В шестиламповом радиоприёмнике перегорела одна лампа. Для её поиска используют годную лампу, заменяя ей наудачу выбранную лампу и сразу проверяя работу радиоприёмника. В случае неудачи проверяемую исправленную лампу оставляют в радиоприёмнике и маркируют во избежание повторной проверки. Составить закон распределения случайной величины X - числа заменённых ламп. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

94.Вероятность производства бракованной детали 5 %. Для контроля из проверяемой партии одно за другим берутся изделия до тех пор, пока не будет обнаружен брак, но не более трёх. Составить закон распределения случайной величины X - числа деталей, взятых для проверки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

95.Игральная кость брошена три раза. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений шестёрки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

96.На пути движения автобуса четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автобусу дальнейшее движение. Составить закон распределения случайной величины X - числа светофоров, пройденных автобусом до первой остановки.

34

Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

97.Имеется 4 лампы, каждая из которых с вероятностью 1/3 имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектная лампа сразу перегорает, и тогда ввинчивается следующая. Составить закон распределения случайной величины X - числа ввинченных ламп. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

98.У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадёт или пока не кончатся патроны. Составить закон распределения случайной величины X - числа выстрелов, если вероятность попадания 0,25. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

99.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки - 0,9; второй - 0,8; третий - 0,7. Составить закон распределения случайной величины X - числа станков, которые в течение часа не потребуют регулировки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

100.Монету подбрасывают три раза. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений герба. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

101.У дежурного в гостинице в кармане 5 разных ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть двери комнаты. Составить закон распределения случайной величины X - числа опробованных ключей для открывания двери, если опробованный ключ не кладётся обратно в карман. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

102.Составить закон распределения случайной величины X - числа попаданий в мишень при трёх выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 2/3. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

103.Срок службы шестерён коробок передач зависит от следующих факторов: усталости материала в основании зуба, контактных напряжений и жёсткости конструкции. Вероятность отказа каждого фактора в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения случайной величины X - числа отказавших факторов в одном испытании. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

35

104.Проводится три испытания. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений события при этих испытаниях. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

105.На участке 3 станка, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. Составить закон распределения случайной величины X - числа работающих станков при нормальном ходе производства. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

106.Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения случайной величины X - числа отказавших элементов в одном опыте. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

107.В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа нестандартных деталей среди трёх отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

108.В партии из 10 деталей 2 нестандартные. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

109.На пути движения электропоезда, везущего вагонетки с углём, три стрелки. В случае возникновения аварийной ситуации стрелки переводятся, и электропоезд останавливается. Вероятность возникновения аварийной ситуации равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины X - числа остановок электропоезда. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

110.Конвейер, состоящий из трёх звеньев, имеет в местах соединения звеньев аварийный выключатель. В случае аварийной ситуации он срабатывает с вероятностью 0,9 и конвейер останавливается. Составить закон распределения случайной величины X - числа сработанных аварийных отключателей. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

111.Охотник, имеющий три патрона, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует все три патрона. Составить закон рас-

36

пределения случайной величины X - числа израсходованных патронов при условии, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

112.Производится испытание трёх приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надёжным. Составить закон распределения случайной величины X - числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,9. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

113.Стрелок ведёт стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 3 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа патронов, оставшихся неиспользованными. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

114.В партии из 6 деталей 3 нестандартные. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

115.Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений события A в трёх опытах. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

116.Двое рабочих обрабатывают по одной детали независимо друг от друга. Вероятность изготовления годной детали для первого рабочего 0,9; для второго - 0,8. Составить закон распределения случайной величины X - числа годных деталей, изготовленных рабочими. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

117.При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Отобрано 3 диода случайным образом. Составить закон распределения случайной величины X - числа небракованных диодов среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

118.Рабочий обслуживает три станка. Каждый станок в течение смены останавливается по какой-либо причине с вероятностью 0,2. Соста-

37

вить закон распределения случайной величины X - числа остановок станков. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

119.Вероятность появления бракованной детали, изготовляемой станком - автоматом, равна 0,01. Наудачу отобрано две детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа небракованных деталей среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

120.Автомобиль встретит 3 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,5. Составить закон распределения случайной величины X - числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

121-150. Непрерывные случайные величины (функция распределения, плотность распределения, числовые характеристики)

Случайная величина X задана функцией распределения (интегральной функцией) F(x).

Найти:

а) дифференциальную функцию f (x) (плотность вероятности); б) математическое ожидание и дисперсию;

в) вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
(a,b), то есть P(a < X <b).
	0,			x ≤ 0,
121.				0 < x ≤1,	a = 0,5; b = 2.
	F(x)= x2 ,
	1,			x >1.
	0,			x ≤ 0,
122.	x		,	0 < x ≤ 2,	a =1;	b = 5.
	F(x)=	2
				x > 2.
	1,
	0,			x ≤ 0,
123.	x		,	0 < x ≤ 4,	a =1;	b = 5.
	F(x)=	4
				x > 4.
	1,

																					38
								x ≤ 0,
		0,
														π							π			π
	124.	F(x)= sin 2x,								0 < x ≤						,	a =					;	b =		.
														4					12					2
										π
								x >			.
		1,								4
		0,						x ≤ −1,
			1
	125.			(x +1),								−1 < x ≤ 2,							a = 0; b = 3.
		F(x)=	3
								x > 2.
		1,
		0,						x ≤ 0,
		x2
	126.	F(x)=					,		0 < x ≤ 2,								a =1;				b = 4.
			4
								x > 2.
		1,
								x ≤ 0,
		0,
													π					π
	127.									0 < x ≤					,		a =				;		b =π.
		F(x)= sinx,											2					4
										π
								x >			.
		1,								2
		0,						x ≤ −2,
								1
	128.	x			+				,	− 2 < x ≤ 2,							a = 0;						b = 3.
		F(x)=	4					2
		1,						x > 2.
		0,						x ≤ 0,
					2
		x
	129.	F(x)=						, 0 < x ≤10,									a = 5; b =11.
		100						x >10.
		1,
		0,						x ≤ 0,
	130.	F(x)= 1 − e−3x ,										x > 0,					a = −0,5;						b = 0,5.
		0,						x ≤ 0,
		x2
	131.	F(x)=					,		0	< x ≤ 9,							a = 3;				b =10.
			81
								x > 9.
		1,

											39
	0,		x ≤ 0,
	x2
132.	F(x)=		, 0 < x ≤ 8,					a = 4;			b = 9.
	64		x > 8.
	1,
	0,		x ≤ 0,
	x2
133.	F(x)=		, 0 < x ≤ 7,					a =1;			b = 8.
	49		x > 7.
	1,
	0,		x ≤ 0,
	x2
134.	F(x)=		,	0		< x ≤ 6,		a =1;			b = 7.
	36		x > 6.
	1,
	0,		x ≤ 0,
	x2
135.	F(x)=		,	0		< x ≤ 5,		a =1;			b = 6.
	25		x > 5.
	1,
	0,		x ≤ 0,
	x2
136.	F(x)=		, 0 < x ≤ 4,					a = 2;			b = 5.
	16		x > 4.
	1,
	0,		x ≤ 0,
	x2
137.	F(x)=		,	0 < x ≤ 3,				a =1;			b = 4.
	9		x > 3.
	1,
	0,		x ≤ 0,
138.						0 < x ≤ 2,			a =1;		b = 5.
	F(x)= 0,5x,
			x > 2.
	1,
			x ≤ −1,
	0,
			+	3				1
	3x
139.	F(x)=				,		−1 < x ≤		,	a = 0; b =1.
			4					3
						1
			x >				.
	1,					3