В.А. Тесля Железобетонные пространственные покрытия зданий

10

Армирование оболочки.

Армирование принимается по расчету, если напряжения от нагрузки превышают при сжатии расчетные сопротивления Rв и при растяжении – расчетное сопротивление бетона на осевое растяжение Rвt. Если принять класс бетона В20 при коэффициенте γ в2 = 0,9, расчетные сопротивления Rв=

10,5 МПа и Rвt=0,80 МПа. В нашем случае напряжения от действия суммарных нагрузок не превышают по сжатию 0,629 МПа, напряжения растяжения отсутствуют, за исключением работы бетона в опорном кольце. Таким образом, армирование оболочки производим конструктивно по требованию норм. Это будет одиночное армирование в виде сетки из стержней проволоки диаметром 4-6 мм с шагом 150-200 мм – см. п.5.5[1]. В зоне примыкания оболочки купола к опорному кольцу, где имеют место незначительные изгибающие моменты, потребуется двойное армирование аналогичной сеткой по длине дуги меридиана не более 2 м, см. рис.5. Потребное количество арматуры на длину в 1 м по кольцу можно определить по действующему моменту M x = 33,045 100 = 3304,5 Н см. Определим эту арматуру. Коэффициент

α m =	M	x Rв в hо2	=	3304,5	(100) 100 112	= 0,00026. Тогда по табл.20[2]
				10,5

η = 0,998 и количество арматуры класса АIII 6 мм (при Rs=355 МПа)

As = M x Rs hо η = 3304,5355 (100) 11 0,998 = 0,008 см2 . При таком малом ко-

личестве – оболочка армируется двойной арматурой 6 мм при шаге 200 мм. Меридиональные стержни заводятся в кольцо на длину не менее 20d,

т.е. 120-150 мм.

арматурная сетка 4 -6 мм шаг 150-200 мм

сетка

оболочки

см 200

каркас армирования ребра

Рис.6. Армирование оболочки у опорного кольца

11

Ребра армируются плоскими каркасами из стержней продольной арматуры АIII 6 мм и поперечной из проволоки 4 мм при шаге не более 100 мм, см. рис.6.

	Расчет трещиностойкости опорного кольца.
	Трещины	не	образуются,		если	выполняется		условие
N(γ	f >1) ≤ Ncrc =	Rвt,ser Aв − σ		shr ∑ Ask ,	при		σ shr = 40 МПа ,
Rвt,ser = 0,9 1,40 = 1,26 МПа ,				Ав = 34 24 =	816 см2 ,	∑	Аsk = 10,18 см2 . Величи-
на	Ncrc = 1,26 (100) 816− 40			(100) 10,18 = 102816−		40720 = 62096 Н .		Кольцо

испытывает усилие растяжения 242300 Н. Таким образом в опорном кольце будут иметь место трещины. Потребуется определить величину раскрытия

трещин.				σ	Их			величину	определим	по	формуле
a	= δ ϕ	l	η		s	20	(3,5	− 100µ) 3 d , [2]. При значениях
crc				Es

δ= 1,2 – как для растянутых элементов;

ϕl = 1,60− 15µ при учете длительного действия нагрузок;

η

= 1,0 для арматуры класса АIII и Еs =

200 103 МПа ;

σ

s =

Nl Ask ;

=

Ask

Aв = 10,18 816 =

0,0125 ;

3 12 = 2,30 ; значение ϕ

l

= 1,60− 15 0,0125 = 1,4125.

Осталось

определить

Nl

242300 0,782 = 189478,6 H ,

где

коэффициент

=

0,782 = ql

q =

3,518 4,496 .

Напряжения

в

растянутой

арматуре

σ

s =

189478,6

= 186,13 МПа .

Величина

раскрытия

трещин

1018

a

=

1,4125

186,13

20 (3,5

− 100 0,0125) 2,30 =

0,136 мм ,

что

меньше нор-

crc

200 103

мируемой величины acrc2 =

0,3 мм , см. табл.2[3].

Проверка устойчивости оболочки-купола.

Для ребристых оболочек вращения, материал которых работает в основном на сжатие от расчетных нагрузок , устойчивость будет обеспечена, если расчетная нагрузка не превышает величины

						2
					ф
	q	= 0,2 E	ф.в	δ			K ,
	kp			R	c

12

здесь Еф.в – фиктивный модуль упругости бетона, который определяется по формуле Еф.в = Ев в Аδ ф ;

δ ф – фиктивная толщина оболочки, определяемая δ ф = 12 J A ;

K – для оболочек вращения равен 1;

J – момент инерции сечения можно определить без учета армирования, это относится и к определению площади поперечного сечения.

В=171 см

7 см

15см

=5см

6 см

Определяем

площадь

поперечного

сечения

А = 5 171+

(7+

6) 10

= 855 + 65 =

920

см2 . Момент инерции потребует опреде-

2

y = S

ления центра тяжести сечения

A

. Статический момент инерции сече-

(7 + 6)

2

ния S =

10+

5 171 12,5 =

3

2

10 3

433,33+ 10687,5 = 11120,83 см . Центр тя-

жести сечения

y = 11120,83 920 = 12,09 см .

Тогда момент инерции

171 53

2

6 103

2

1 103

2

J =

+ 171 5 2,91 +

12

+ 6 10

7,09

+

+

0,5 10 (12,09 −

6,67)

=

12

36

= 1781,25 +

7240,23 +

500 + 3016,09 + 27,78 + 146,88 =

12712,23 см4 .

Фиктивная

толщина δ ф =

12 12712,23 920 = 12,86 см . Фиктивный модуль упругости бе-

тона

Еф.в = Ев А в δ ф =

27 103 920 171 12,8 =

11,30 103 МПа . При этом вели-

чина

критической

нагрузки

будет

равна

qkp =

0,2 11,30 103 (100) (12,86 1400)2 =

19,0518 Н см2 = 190,518 кН / м2 ,

что

значительно больше фактической суммарной нагрузки 4,496 кН м2 . Устойчивость обеспечена.

13

II РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ КРУГОВОЙ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ ОБОЛОЧКИ НА КВАДРАТНОМ ПЛАНЕ

Конструктивные и геометрические характеристики оболочки.

Y

в=9 м

X

18 м

Стрела подъема оболочки в

в=9 м

0

точке 0

f = 3,08 м .

Радиус

оболочки

d=25,46

м

Rc = 27 м , δ = 5 см с

ребрами.

1,54 м

а=9 м а=9 м

м

1,54

18 м

Рис.7. Геометрические размеры оболочки

Трансляционная круговая оболочка имеет ребра в двух направлениях с шагом в 3 м. Оболочка опирается в четырех точках, по всем сторонам окантована краевыми элементами в виде арок с затяжками. Главными кривыми являются дуги окружности, радиус которых 27 м. Расчет определения усилий будем производить по одной четверти оболочки ввиду ее симметричности. Нам потребуется определить все угловые координаты точек, где будут определяться усилия, см. рис.8.

ϕ

1 =

0

ϕ

1 =

0

ϕ

2 =

arcsin 3 27 =

6020/

ϕ

8

=

arcsin 4,24

/27 =

9000/

ϕ

3 =

arcsin 6 27 =

12050

/

ϕ

9

=

arcsin 8,48

/27 =

18020/

ϕ

4 =

arcsin 9/27 =

41042

/

ϕ

10 =

arcsin 12,73 /27 = 28008/

ϕ 11 =

arcsin

32 +

92

27 =

20035/

ϕ 12 =

arcsin

62 +

92

27 =

23036/

14

Y
7	11 12		10
6		9	12
5	8		11	X
1	2	3	4
				2,73	м
				1
9 м	9 м
ϕ 2			1,54 м			1	8
							9	3,08 м
			1,54 м			ϕ 10
								10
ϕ 3						ϕ 9
ϕ 4						ϕ 8

Рис.8. Схема определения углов

Определение расчетных нагрузок. Необходимо определить суммар-

ную нагрузку, которая будет равна q = qс.в + ρ sn cosϕ i . Определим нагрузку в табличной форме.

№	ϕ i	cosϕ i	ρ sn cosϕ i			q	№	ϕ i		cosϕ i	ρ sn cosϕ i	q
то-							то-
чек							чек
1	2	3	4			5	1	2		3	4	5
1	0	1	1,957			4,434	7	41042/		0,7460	1,460	3,937
2	6020/	0,9936	1,944			4,421	8	9000/		0,9877	1,933	4,410
3	12050/	0,9750	1,908			4,305	9	18020/		0,9492	1,858	4,335
4	41042/	0,7460	1,460			3,937	10	28008/		0,8821	1,726	4,203
5	6020/	0,9936	1,944			4,421	11	20035/		0,9360	1,832	4,309
6	12050/	0,9750	1,908			4,305	12	23036/		0,9166	1,794	4,271
			здесь ρ	sn		= 1,957	кН	, q	=	2,477 кН
							м2	с.в.		м2

15

Определение усилий Nx, Ny ,Nxy и Nm. Применяем метод коллокаций при определении параметров функции напряжений.

Функция напряжений ϕ (x, y) имеет вид степенного многочлена

ϕ (x,y) = A (x2 − a2 ) (y2 − в2 )+ B (x4 − a2 x2 ) (y2 − в2 )+ C (x2 − a2 ) (y4 − в2 y2 ),

где значения

A =

− 0,3

q R

и B =

C =

−

0,047

q R

. Приняв

α = X a и

a2

∂2ϕ

a4

= N x ,

∂2ϕ

∂2ϕ

β = Y в и зная, что

=

N y

и

= − N xy , получим

∂y2

∂x2

∂x∂y

∂2ϕ

=

N x =

q R (α 2

− 1) [−

0,6 −

0,094α

2 − 0,094 (6 β 2 − 1) ]

2

∂y

− 1) [−

0,094 (6 α 2 − 1)− 0,094 β 2 ]

∂2ϕ

=

N y =

q R (β 2

0,6−

2

∂x

= (− 1){q

R α β [− 1,2 − 0,188 (2 α 2 − 1)− 0,188 (2 β 2 − 1) }]

∂2ϕ

= N

xy

∂x∂y

В нашем случае qi

из таблицы нагрузок и R=27 м. Расчет ведем в таб-

личной форме. Координаты точек и нагрузки, действующие в них, приведены ниже в таблице.

	№	Координаты		Нагрузка	q R	α β
	точек	α	β	кН м2	кН м
	1	0	0	4,434	119,718	0
	2	0,333	0	4,421	119,367	0
	3	0,666	0	4,305	116,235	0
	4	1	0	3,937	106,299	0
	5	0	0,333	4,421	119,367	0
	6	0	0,666	4,305	116,235	0
	7	0	1	3,937	106,299	0
	8	0,333	0,333	4,410	119,070	0,1109
	9	0,666	0,666	4,335	117,045	0,4436
	10	1	1	4,203	113,481	1
	11	1	0,333	4,309	116,343	0,333
	12	1	0,666	4,271	115,317	0,666

16

1. Определяем усилие Nx

размерность кН	м
№

то-	α 2	β 2	α 2 − 1		6β 2 − 1	А	А (α 2 − 1)	N x
чек
1	2	3	4		5	6	7	8
1	0	0	-1		-1	-0,506	0,506	60,577
2	0,111	0	-0,889		-1	-0,516	0,459	54,789
3	0,444	0	-0,556		-1	-0,548	0,305	35,452
4	1	0	0		-1	-0,600	0	0
5	0	0,111	-1		-0,334	-0,569	0,569	67,920
6	0	0,444	-1		1,664	-0,756	0,756	87,874
7	0	1	-1		5	-1,070	1,070	113,740
8	0,111	0,111	-0,889		-0,334	-0,579	0,515	61,321
9	0,444	0,444	-0,556		1,664	-0,798	0,444	51,967
10	1	1	0		5	-1,164	0	0
11	1	0,111	0		-0,334	-0,725	0	0
12	1	0,444	0		1,664	-0,538	0	0
Примечания: А = [−			0,6− 0,094α		2 − 0,094 (6 β 2 − 1)], N x = q R A (α 2 − 1)

Y

7 113,74

6 87,874

5 67,920

60,577

1

10

9	5	12
	1
	,967
8		11
6
1
,32
1
54,789	35,452	X
2	3	4

Рис.9. Эпюры усилий Nx

17

2. Определяем усилия Ny

размерность кН	м
№

то-	α 2	β 2	β 2 − 1	6α 2 − 1	А	А (β 2 − 1)	N y
чек
1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	0	-1	-1	-0,506	0,506	60,577
2	0,111	0	-1	-0,334	-0,569	0,569	67,920
3	0,444	0	-1	1,664	-0,756	0,756	87,922
4	1	0	-1	5	-1,070	1,070	113,740
5	0	0,111	-0,889	-1	-0,516	0,459	54,789
6	0	0,444	-0,556	-1	-0,548	0,305	35,452
7	0	1	0	-1	-0,600	0	0
8	0,111	0,111	-0,889	-0,334	-0,579	0,514	61,202
9	0,444	0,444	-0,556	1,664	-0,798	0,444	51,968
10	1	1	0	5	-1,164	0	0
11	1	0,111	-0,889	5	-1,080	0,960	111,689
12	1	0,444	-0,556	5	-1,112	0,618	71,266

Примечания: А = [− 0,6−

Y

7

6 35,452

0,094 (6 α 2 − 1)−

9	5
	1
	,968

0,094 β 2 ], N y = q R A (β 2 − 1)

10

12 71,266

5	54,789	8
		6
		1
		,202
60,577		67,920

12

	111,689
	11
87,874	113,74	X
3	4

Рис.10. Эпюры усилий Ny

18

3. Определяем усилия Nxy

размерность кН м

	№		β 2	α β		Значения		А	α β А	N xy
	то-	α 2
					2α	2 − 1	2β 2 − 1
	чек
	1	2	3	4		5	6	7	8	9
	8	0,111	0,111	0,1109	0,778		0,778	-1,492	-0,165	+ 19,646
	9	0,444	0,444	0,4436	0,112		0,112	-1,242	-0,551	+ 64,492
	10	1	1	1		1	1	-1,576	-1,576	+ 178,846
	11	1	0,111	0,3333		1	0,778	-1,534	-0,511	+ 59,451
	12	1	0,444	0,6666		1	0,112	-1,409	-0,939	+ 108,283
		Примечания: 1) А =				[− 1,2 −	0,188 (2 α	2 − 1)− 0,188 (2 β 2 − 1)];

2) N xy = − q R α β A ;

3) в остальных точках Nxy= 0.

Y

7

6

9

10 178,846

		1
	12	78,846
64,492		108,283

5	8		59,451
	1		11
	9,646		X
1	2	3	4

	Рис.11. Эпюры усилий Nxy
В	дальнейшем	потребуется	определить	главные усилия
Nm =	0,5 (N x + N y )±	0,25 (N x − N y )2 +	N xy2 . Определение главных усилий

произведем в точках 8, 9, 10 и по контуру оболочки в точках 4, 11, 12. Вычисления производим в табличной форме.

19

	4. Определение главных усилий Nm					размерность		кН
											м
№		Значения				А	N
то-					2			m		c
	N x	N y	N xy	0,5 (N x + N y ) 0,25 (N x − N y )						t
чек
1	2	3	4	5	6	7		8

	4	0	113,740	0	56,870	3234,197	±	56,870	+56,870
									0
	8	61,321 61,202		19,646	61,262	0,004	±	19,671	+ 81,342
									- 41,591
	9	51,967 51,968		64,492	51,968	0	±	64,492	+116,460
									- 12,524
	10	0	0	178,846	0	0	± 178,846 ± 178,846
	11	0	111,689 59,451		55,844	3118,608	±	81,566	+ 137,410
									- 25,722
	12	0	71,266 108,283		35,633	1269,711	±	113,996	+ 149,629
									- 78,363

+ сжатие N c

- растяжение N t

Примечание: А = 0,25 (N x − N y )2 + N xy2

Y

	78,846
	1
6,46010	178,846
11	растяжение

	,342	9
1
8

841,591 сжатие

12,524

растяжение

X

1 2,524

1
78,846
4,60	м

	4
	1		м
	,59	2,73
60,577	1
		1

Рис.12. Эпюра усилия Nm