Методические указания
Рассчитать режим работы электрической цепи, соответствующей заданному индивидуальному варианту задачи ( № 0 ):
№ варианта задачи |
№ рисунка схемы |
№ графика u1(t) |
L, мГн |
C, мкФ |
Т, мс |
Rн, Ом |
Um, В |
0 |
1-3 |
2-2 |
18 |
5,8 |
3 |
69 |
100 |
Решение.
1. С учётом сопротивления нагрузки Rнсхема заданной электрической цепи имеет вид, приведённый на рисунке 3.
Рисунок 3 – Схема заданной электрической цепи
На входных зажимах электрической цепи действует периодическое несинусоидальное напряжение, показанное на рисунке 4.
Рисунок 4 – Напряжение на входе электрической цепи
2. Кривую заданного входного напряжения представим в виде тригонометрического ряда Фурье.
В общем случае ряд Фурье для периодической несинусоидальной функции времени имеет вид: .
Таким образом, ряд Фурье для периодической несинусоидальной функции времени заданного входного напряжения запишется:
.
Постоянную составляющую входного напряжения, амплитуды синусной и косинусной составляющих ряда Фурье, амплитуды и начальные фазы отдельных гармоник несинусоидального входного напряжения при известном законе изменения напряжения на интервалах периода изменения напряжения Т можно найти по формулам:
Здесь: Т – период изменения заданной несинусоидальной функции напряжения; – круговая частота;к– номер гармоники разложения входного напряжения в ряд Фурье;– постоянная составляющая входного напряжения;– амплитуда к - той гармоники напряжения;– начальная фаза к - той гармоники входного напряжения.
После определения составляющих ряда Фурье с учётом численных значений параметров входного напряжения, закон изменения во времени напряжения на входе цепи запишется:
Определение составляющих ряда Фурье входного напряжения можно выполнить не с помощью формул, а воспользовавшись табличными разложениями, приведёнными в учебниках по теоретическим основам электротехники или в справочниках.
Прежде всего, выделяем во входном напряжении u1(t) постоянную составляющую:
.
Проводим новую ось времени на высоте постоянной составляющей напряжения . Для оставшейся части напряжения находим в учебниках и справочниках подобное табличное разложение. Затем определяем соотношения, учитывающие соответствие табличной и заданной кривой напряжения, а также возможное их смещение по оси времени (опережение или запаздывание).
Для заданного входного напряжения подобная табличная кривая 1, приложение 1; 2, таблица 7.1имеет вид, приведённый на рисунке 5.
Рисунок 5 – Табличная кривая
Разложение в ряд Фурье табличной кривой имеет вид:
.
Из сравнения заданного несинусоидального входного напряжения cтабличной кривой имеем:
наличие постоянной составляющей ;
2) ;
3) ;
4) заданное напряжение опережает табличную кривую на время t0:
.
Таким образом, заданная кривая входного напряжения с учётом постоянной составляющей имеет следующее разложение в ряд Фурье:
С учётом заданных численных значений варианта задачи получаем следующий закон изменения напряжения на входе цепи:
График входного напряжения как сумма четырёх первых гармоник разложения имеет вид, представленный на рисунке 6.
Рисунок 6 – График заданного входного напряжения как сумма гармоник
3. Определение мгновенных значений тока в источнике и тока в нагрузке.
На основании метода наложения выполняем расчёт для каждой гармоники разложения в ряд Фурье входного напряжения. Расчёт режима электрической цепи для каждой гармоники выполняем комплексным методом. Расчётная схема для произвольной гармоники “к” имеет вид, представленный на рисунке 7.
Рисунок 7 – Расчётная схема для гармоники “к”
Расчёт нулевой гармоники ( к = 0) – постоянных составляющих токов и напряжений.
Так как при постоянных токах и напряжениях в электрической цепи индуктивность представляет собой “ закоротку ”, а ёмкость представляет собой “ разрыв ветви ”, то для заданной цепи имеем:
Расчёт первой гармоники ( к = 1).
Частота основной (первой) гармоники сигнала определяется периодом его изменения :
Комплексное действующее значение входного напряжения:
.
Реактивные сопротивления индуктивностей и ёмкости при частоте гармоники:
Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Комплексные действующие значения токов ветвей электрической цепи и напряжения на сопротивлении нагрузки:
Мгновенные значения тока в источнике, тока в нагрузке и напряжения на сопротивлении нагрузки по первой гармонике:
Расчёт третьей гармоники ( к = 3).
Комплексное действующее значение входного напряжения:
.
Реактивные сопротивления индуктивностей и ёмкости:
Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Комплексные действующие значения токов ветвей и напряжения на сопротивлении нагрузки:
Мгновенные значения тока в источнике, тока в нагрузке и напряжения на сопротивлении нагрузки по третьей гармонике:
Расчёт пятой гармоники ( к = 5).
Комплексное действующее значение входного напряжения:
Реактивные сопротивления индуктивностей и ёмкости:
Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Комплексные действующие значения токов ветвей и напряжения на сопротивлении нагрузки:
Мгновенные значения тока в источнике, тока в нагрузке и напряжения на сопротивлении нагрузки по пятой гармонике:
Мгновенное значение тока в источнике:
Мгновенное значение тока в нагрузке:
4. Закон изменения во времени напряжения на сопротивлении нагрузки:
5. Действующие значения токов и напряжений на входе цепи и на нагрузке:
6. Активная и полная мощности электрической цепи.