лабы 4кл

	)			eiϕ0u
Здесь	U0 = U0				–	КОМПЛЕКСНАЯ АМПЛИТУДА
НАПРЯЖЕНИЯ;
)I	= I	0	eiϕoi	– КОМПЛЕКСНАЯ АМПЛИТУДА ТОКА.
0
I0 и U0	–	комплексные			векторы,	которые на комплексной плоскости

неподвижны. Они соответствуют «мгновенной фотографии» реальных комплексных токов и напряжений, сделанной в начальный момент времени (t = 0).

КОМПЛЕКСНАЯ АМПЛИТУДА – сама комплексная величина, взятая в начальный момент времени.

Математически:			I (t)
	U	)
	)0	= Z (импеданс),		Z
	I0

U (t)

ИМПЕДАНС – это отношение комплексной амплитуды напряжения на данном элементе, к комплексной амплитуде тока через данный элемент. Модуль импеданса называется ПОЛНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ цепи.

)

U

U

0

ei(∆ϕ) ;

Z =

)0

=

∆ϕ =ϕu −ϕi

I0

I0

{

сдвиг фаз

между током

и напряжением

а) РЕЗИСТОР:

U

= R ;

U)0

= R ; фазы напряжения и тока одинаковые.

I

I0

Импеданс равен R:

ZR ≡ XR = R

.

б) КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ: Действует закон электромагнитной индукции (самоиндукции):εс.и. = −L dIdt .

Использовав его и закон Ома для комплексных величин, получим:

)

dI

)

i(ωt + ϕi )

dI

ϕi

iωt

U L

= L

;

I

= I0 e

dt

= I0 e

(iω) e

dt

UL = L(iω) 14243I0 e)i(ωt + ϕ0 )

I (t)

UI)L = iωL X)L = iωL – импеданс катушки индуктивности.

Напряжение на катушке ОПЕРЕЖАЕТ по фазе ток через нее на π/2.

в) КОНДЕНСАТОР: UC =

q

dU

C

1 dq

1

dU

1

)

=

=

I,

или

C

=

I .

C

dt

C dt

C

dt

C

20

	Пусть UC =U0C ei(ωt + ϕu ) ; тогда				I) =C			dUC	=C i ω U)C (t) .
								dt
	Найдем отношение	U)C	=	1	= −	i	; отсюда
				iωC		ωC
		I

X)C = −ωiC – комплексное сопротивление (импеданс) конденсатора.

Напряжение на конденсаторе ОТСТАЕТ по фазе от тока через него на π/2. Модуль комплексного сопротивления (катушки или конденсатора)

называется РЕАКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ (индуктивным или емкостным). Обозначается символом без крышечки над ним.

Все элементы в контуре соединены последовательно, поэтому для нахождения импеданса контура надо просуммировать импедансы всех элементов:

ZK = R + X)L + X)C . После подстановки можем получить модуль импеданса, то есть полное сопротивление контура:

		2			1 2
Z =	R		+	ωL −		.
					ωC

РЕЗОНАНСОМ для тока называется явление резкого увеличения амплитуды колебаний тока при приближении частоты ЭДС к некоторому значению, называемому резонансной частотой ωРЕЗ . Нетрудно видеть, что максимум амплитуды тока будет тогда, когда минимально полное

	сопротивление контура, или ZРЕЗ = R и ω0 L =	1	, отсюда ω0 =	1	, что
		ω0C		LC

соответствует частоте свободных колебаний в контуре.

МАКСИМУМ напряжения на конденсаторе соответствует резонансу для напряжения, который наблюдается при несколько меньшей частоте ЭДС:

ωРЕЗ.U =	1	−	R2	= ω02 −2δ2 .
	LC		2
			2L

δ = 2RL – коэффициент затухания для данного контура.

Амплитуда резонансного напряжения на конденсаторе U0C пропорциональна амплитуде ЭДС и добротности контура Q: U0C = Q ε0. При не слишком большом затухании в контуре добротность определяется соотношением

	Q =	ρ	, где ρ =	L	называется характеристическим сопротивлением
		L		C

контура. Чем больше добротность, тем «острее» резонанс. РЕЗОНАНСНОЙ КРИВОЙ называется зависимость амплитуды

напряжения на конденсаторе от частоты ЭДС.

21

МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

Закройте окно теории. Внимательно рассмотрите рисунок для компьютерной модели.

Перерисуйте необходимое в конспект, используя обозначения, принятые в нашей теоретической части (ε0 вместо V, U0C вместо VC , U0L вместо VL и U0R вместо VR).

Подготовьте табл. 1, используя образец. Подготовьте также табл. 3 и 4, аналогичные табл.1.

ТАБЛИЦА

1 –

Результаты

ТАБЛИЦА

2.

Значения

измерений (12 столбцов).

характеристик (не перерисовывать)

L = ____ мГн

C, мкФ =

50

55

...

100

№ звена

R,

L1,

L2,

L3,

Ом

мГн

мГн

мГн

ωРЕЗ, 1/с

1 или 5

1 или 2

1,0

1,7

2,4

ω0, 1/с

2 или 6

2 или 1

1,2

1,9

2,6

U0C/ε0

3 или 7

1 или 2

1,4

2,1

2,8

1/ C

4 или 8

2 или 1

1,6

2,3

3,0

ИЗМЕРЕНИЯ:

1.Закройте окно теории (если вы ее вызывали), нажав кнопку в правом верхнем углу внутреннего окна. Изменяйте величину емкости конденсатора и наблюдайте изменение резонансной кривой.

2.Зацепив мышью, перемещайте движки регуляторов:

a)R – сопротивления резистора,

b)L – индуктивности катушки,

изафиксируйте значения, указанные в табл. 2 для вашего звена.

3.Установите указанное в табл. 1 значение емкости конденсатора. Изменяя величину частоты ЭДС, следите за перемещением отметки на

резонансной кривой и числовым значением добротности (U0C/ε0). Добейтесь максимального значения добротности и соответствующие значения частоты источника ЭДС и собственной частоты контура занесите в табл. 1. Повторите измерения для других значений емкости конденсатора из табл. 1.

4.Повторите измерения для двух других значений индуктивности катушки, выбирая их из табл. 2. Полученные результаты запишите в табл. 3 и 4.

22

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1.Постройте на одном листе графики зависимости резонансной частоты от корня из обратной емкости при трех значениях индуктивности.

2.Для каждой прямой определите котангенс угла наклона по формуле

						1
				∆
						C
			ctgϕ =					≡ AЭКСП.
				∆ωРЕЗ
3.	Вычислите теоретическое значение константы АТЕОР для каждой прямой
4.	по формуле АТЕОР =		L .
	Заполните таблицу результатов измерений.
									АТЕОР, Гн1/2
		Номер измерения	АЭКСП, Гн1/2

5. Сделайте выводы по графикам и результатам измерений.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Дайте определение вынужденным колебаниям.

2.Что такое колебательный контур?

3.Когда возникают вынужденные гармонические колебания?

4.Как графически изображается комплексная величина?

5.Что такое комплексная амплитуда тока или напряжения?

6.Дайте определение импеданса.

7.Что такое полное электрическое сопротивление?

8.Чему равен импеданс резистора?

9.Чему равен импеданс идеальной катушки индуктивности?

10.Как формулируется закон электромагнитной индукции для катушки?

11.Чему равен импеданс конденсатора?

12.Чему равны реактивные сопротивления катушки и конденсатора?

23

Лабораторная работа 4.4 кл «ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ»

Ознакомьтесь с теорией в конспекте и в учебниках 1. Трофимова Т.И.. Курс физики Гл.19, §157, 2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики Гл.29, §29.6

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

•Изучение колебаний в системах с распределёнными параметрами на примере поперечных стоячих волн в упругой горизонтальной струне.

•Наблюдение картины распределения амплитуд колебаний точек струны при образовании стоячих волн.

•Количественная проверка формулы скорости распространения колебаний вдоль струны.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ:

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ – это особый случай интерференции, возникающий при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами:

ξ1 = A cos (ωt – kx), ξ2 = A cos (ωt + kx)

(1)

Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2π/λ, получим уравнение стоячей волны:

ξ = ξ1 + ξ2 = 2А cos kx cos ωt = 2A cos (2πx/λ) cos ωt.

(2)

Из уравнения (2) следует, что в каждой точке этой волны происходят колебания с одной и той же частотой ω и амплитудой 2A cos (2πx/λ), зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где 2πx/λ =± mπ (m = 0,1,2,…), амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где 2πx/λ = ±(m +1/2)π, амплитуда колебаний обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю,

называются узлами стоячей волны.

В гибкой однородной струне, натянутой между двумя точками и выведенной из положения равновесия, могут установиться стоячие волны. При этом на длине струны L всегда должно укладываться целое число стоячих волн. При этом струна делится неподвижными точками – узлами – на несколько равных отрезков, длина которых равна половине длины бегущей волны. Следовательно, можно записать

L = n (λ/2), (3)

где n – целое число, определяющее количество полуволн, уложившихся на всей длине струны L.

24

Так, как длина волны λ связана со скоростью распространения волны v

	и частотой ν соотношением v = λν, то, учитывая (3), имеем	ν=	n	v .
			2L
	(4)

Струна, следовательно, может колебаться не с одной частотой, а с целым спектром частот, соответствующим собственным (нормальным) колебаниям струны. В общем случае любые сложные колебания в струне можно представить как суперпозиция нескольких собственных колебаний, отличающихся не только своими частотами, но и своими амплитудами для отдельных точек струны. Распределение амплитуд отдельных точек волны при собственных колебаниях для различных значений n имеет вид, изображённый на рис.1.

Опыт показывает, что скорость распространения импульса деформаций (колебаний) вдоль струны определяется силой натяжения струны F и линейной плотностью µ материала струны:

v =	T .	(5)
	µ

Тогда с учётом формулы (5) формула (4) примет вид:

ν =	n	T .	(6)
	2L	µ

МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ:

1.Установите с помощью движков регуляторов постоянные значения линейной плотности материала и силы натяжения струны, указанных в таблице 1 для вашего звена.

2.Установите начальную частоту колебания струны f = 1,0 Гц и, постепенно увеличивая её значение, получите устойчивые колебания струны при n = 1 (см распределение амплитуд точек струны при n = 1).

25

3.Аналогичным образом получите стоячие волны соответствующие различным значениям n и заполните табл.2.

4.Установите второе значение линейной плотности материала струны из табл.1 для вашего звена и проделайте измерения п.2 и 3 ещё раз и заполните табл.3.

Таблица 1.

№ звена	1	2	3	4	5	6	7	8
Т, Н	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8
µ	5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6	5,7	5,8
, г/м	9,1	9,2	9,3	9,4	9,5	9,6	9,7	9,8

Таблицы 2, 3. Результаты измерений и расчётов

ni 1 2 3 4 5 6 7 8

νi

νi2

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЁТА:

1. Результаты измерений представьте в виде двух графиков, откладывая по оси абсцисс значения νi2 , а по оси ординат – соответствующие им значения ni2 .

26

2. По тангенсу угла наклона	к	оси			абсцисс			каждого	графика
			T		∆n2
определите, используя формулу	µ =						,	значения	линейной
			2		∆ν	2
			4L

плотности материала струны и сравните его значение с установочным.

3. Оцените погрешность измерений и сделайте выводы по графикам и ответу.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что такое волна?

2.Какая волна называется продольной?

3.Какая волна называется поперечной?

4.Что такое волновой фронт и волновая поверхность?

5.Что называется длиной волны, волновым числом?

6.Какая волна является: а) бегущей; б) стоячей; в) плоской; г) сферической?

7.При каких условиях возникают стоячие волны?

8.Запишите уравнение стоячей волны.

9.Запишите волновое уравнение.

10.Чем стоячая волна отличается от бегущей?

11.Что такое пучность и узел стоячей волны?

12.Чему равно расстояние между двумя ближайшими пучностями стоячей волны?

13.Запищите формулы определения координат пучностей и узлов стоячей волны.

14.Объясните механизм образования стоячих волн при отражении бегущей волны от границы раздела двух сред различной плотности.

15.От чего зависит скорость распространения упругой волны в струне?

16.Что такое основная частота струны?

17.Что такое гармоники основной частоты?

18.Запишите соотношение между частотой и волновым числом нормальных мод струны.

19.Какие волны называют диспергирующими?

20.Что такое Фурье-анализ?

27

Лабораторная работа 4.5кл «ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЛН»

Ознакомьтесь с теорией в конспекте и в учебниках: 1. Трофимова Т.И. Курс физики. 2001, Гл.19, §157, 2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. 2000, Гл.29, §§29.1-29.3.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

•Определение фазовой скорости распространения поперечных волн на натянутом жгуте.

•Проверка формулы фазовой скорости распространения волн на поверхности жидкости.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ:

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется механическим ВОЛНОВЫМ ПРОЦЕССОМ ИЛИ ВОЛНОЙ.

Основное свойство всех волн состоит в том, что в волне происходит перенос энергии без переноса вещества.

Каждый тип механических волн может быть возбужден в определенном веществе или среде. При распространении волны частицы среды в зависимости от природы волны испытывают смещения различного рода.

Если частицы среды испытывают смещения в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Примером волны такого рода может служить волна в натянутой струне.

Волны на поверхности воды имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

В каждом типе бегущих волн возмущение распространяется через среду с определенной скоростью, зависящей от типа волны и свойств среды.

Скорость поперечных волн в струне зависит от ее погонной массы µ

(масса единицы длины) и силы натяжения T:	v =	T .
		µ

Скорость распространения продольных волн зависит от модуля сжатия

В и плотности среды:	v =	B .
		ρ

В случае твердого стержня модуль сжатия равен модулю Юнга Y,

поэтому	v =	Y .
		ρ

28

Процесс распространения звуковых волн в газе можно считать адиабатическим, поэтому формула для скорости звука в газе имеет вид:

v = γ ρр ,

где р – давление в газе, γ – показатель адиабаты.

Гидродинамическая теория волн на поверхности жидкости приводит к следующей формуле для фазовой скорости их распространения:

v = 2gπλ ,

где g – ускорение свободного падения, λ – длина волны. Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:

ξ(x, t)= A cos (ωt −kx +ϕ0 ),

где ξ(x,t) – смещение частиц среды от положения равновесия; А – амплитуда волны;

ω – циклическая частота волны (ω = 2π f) k – волновое число (k = 2π/λ = v/ω);

х – координата точки среды; ϕ0 – начальная фаза волны.

Гармонические волны в однородных средах распространяются с некоторой постоянной скоростью v, равной

v = dxdt = ωk = λν = Тλ ,

которая называется фазовой скоростью волны. Если фазовая скорость волн в среде зависит от их длины, то это явление называют ДИСПЕРСИЕЙ ВОЛН.

Выражение, определяющее ω = f (k) называется законом дисперсии или

дисперсионным соотношением.

Уравнение сферической волны имеет вид:

ξ(k, r)= Ar0 cos(ωt − kr +ϕ0 ),

где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ – дифференциальное уравнение в частных

производных, которое описывает процесс распространения волн в однородной изотропной среде:

	∂2ξ	+	∂2ξ		+	∂2ξ		=	1 ∂2ξ		.
	∂x2		∂y	2		∂z	2		v2	∂t 2

29