6.4. Выбор оптимального шага численного дифференцирования

При численном дифференцировании таблично заданной функции у=f(x) возникают погрешности двух типов:

1. погрешности усечения, которые вызываются заменой функции f(x) интерполяционным многочленом Р_п(x);

2. погрешности округления, которые вызываются неточным заданием исходных значений у_i.

Общая погрешность вычисления производной может рассматриваться как сумма погрешности усечения и погрешности округления. Так как с уменьшением шага h погрешность усечения убывает, а погрешность округления возрастает, то существует оптимальный шаг расчета. Например, для формулы (6.8) погрешность усечения не превосходит , [x_i-h, x_i+h], М=max|| а погрешность округления оценивается величиной , где  - абсолютная погрешность исходных значений функции у_i. Суммарная погрешность оценивается величиной . Эта величина достигант наименьшее значение при условии

, (6.14)

т.е. при , что и определяет оптимальный шаг расчета для формулы (6.8), или в виде

(6.15)

Аналогично выбирается оптимальный шаг и для других формул численного дифференцирования.