КЛАСС ТОЧНОСТИ ПРИБОРА ОСНОВНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – погрешность средства измерения в нормальных условиях

(температура, влажность, давление, частота и напряжение питающей сети, положение прибора) его применения. Н.У. оговариваются в паспорте прибора: температура T=(293±5) K; атмосферное давление Р=(100±4) кПа; влажность δ=(65±15)%; напряжение сети питания U=(220±22) B.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – погрешность средства измерения в условиях, отличных от нормальных.

КЛАСС ТОЧНОСТИ (δ) – характеристика средства измерения, выраженная пределами его основной и дополнительной погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на его точность, и указываемая на шкале прибора (6; 4; 2,5; 1,5; 1,0; 0,5; 0,2; 0,1; …).

Особенности вычисления класса точности:

γ – указан в виде числа в кружке – обозначает максимальную относительную погрешность результата измерения в %-х. Тогда класс точности и абсолютная погрешность равны:

	,	x	,
x 100
		шкале прибора.
где х – отсчет физической величины по 100

γ – указан просто числом – обозначает максимальную погрешность прибора в %-х от

максимального Xmax показания шкалы прибора. Тогда класс точности и абсолютная погрешность равны:

			,			xmax	.
xmax		100
						100

11

Если прибор имеет нулевую отметку не в начале, а в другой точке шкалы, то предел измерений равен всей протяженности шкалы.

Пример: для амперметра со шкалой от -30 А до +60 А, Xmax=60-(-30)=90 A.

Если нулевая отметка находится на краю шкалы или выходит за ее пределы, Xmax принимается равным верхнему пределу диапазона измерений.

Пример: амперметр имеет шкалу от 0 до 60 А или от 30 А до 60 А, тогда Xmax=60 А.

класс точности задан в виде отношения

k

í ,

что означает: γк и γн – приведенные погрешности прибора в начале и в конце шкалы в %-х. Тогда класс точности определяется:

;	100	í ( ê í ) õ
x		õmax

и абсолютная погрешность равна:

õ .

100

класс точности вообще не указан, тогда его максимальная погрешность определяется как

половина цены деления шкалы прибора:

2ñ .

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

РЕЗУЛЬТАТОМ ИЗМЕРЕНИЯ считают среднее арифметическое – выборочное среднее
результатов наблюдений:				n
		x		xi
				i 1
где x - выборочное среднее, xi				n		,
		- текущее значение измеряемой ф.в., n – число измерений.
ДИСПЕРСИЯ величины Х – характеризует разброс случайной величины относительно
среднего значения:	D 2		n		(x x) P
	x	x				i	i ,
				i 1

где Рi – доверительная вероятность – вероятность того, что истинное значение ф.в. лежит в некотором интервале – доверительном интервале.

СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ (СКО) – характеристика разброса, равная корню квадратному из дисперсии и имеющая размерность самой ф.в.:

					D .
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ (СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ВЫБОРКИ)
результатов наблюдений вокруг среднего x определяется:										2
								n
								x
					n			i 1	i
			2		x
		n						n
						i
		x	x		i 1
2		i 1 i									.
x		n 1				n 1

Для нахождения погрешности результата измерения представляет интерес не СКО

отдельного результата измерения, а СКО среднего значения :

x nx . x

Определенное из опытных данных среднее значениеx является случайной величиной, для которого можно записать x1 x x2 с доверительной вероятностью Р.

Границы интервала задают относительно истинного значения x0измеряемой ф.в.
x x0 x1 и x2	x0 x2 и неравенство x	x xс доверительной вероятностью Р:
1	1	2
Интервал x x	x0 x1 x x0 x2.
	, в который попадает истинное значение x0 с заданной вероятностью Р,

называется доверительным интервалом, а вероятность Р – доверительной вероятностью.

Величина x называется доверительной случайной погрешностью результата измерения.

Доверительную случайную погрешность определяют через дисперсию или СКО:

xp tp;n x,

где tp;n - коэффициент Стьюдента.

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Результат измерения – среднее значение и доверительный интервал. Для n-измерений:

1. Вычисление среднего арифметического значения для измеряемой ф.в.:

n

xi x i 1 .

n

2. Вычисление погрешностей n-измерений:

xi x xi .

3. Вычисление квадратов погрешностей всех n-измерений:

( xi)2 xi xi .

4. Проверка экстремальных наблюдений и исключение промахов по критерию:

			xi
Ui						x
		n								2 .
				(x	x)
		i 1		i

n 1

Определенные по данной зависимости значения Ui сравниваются с Umax по специальной

таблице. Если Ui< Umax, то результат измерения промахом не является, если Ui > Umax, то измеренное значение - промах и оно исключается из результатов опыта.

Критерии промахов (Umax)

n	P=0,90	P=0,95	P=0,99
3	1,41	1,41	1,41
4	1,64	1,69	1,72
5	1,79	1,87	1,96
6	1,89	2,00	2,13
7	1,97	2,09	2,26
8	2,04	2,17	2,37

5. Вычисление среднего квадратического отклонения отдельного измерения (СКО):

			n
			( xi)2
			i 1
				n 1 .
6. Вычисление среднего квадратического отклонения среднего арифметического (СКО):
				n
				( xi)2
	x			i 1
				n(n 1) .

7. Вычисление предельной приборной погрешности по классу точности или цене деления шкалы прибора.

8.Определение коэффициентов Стьюдента tP;n и tP;n 100по таблице для Р=0,95.

9.Вычисление общей доверительной погрешности результата измерения:

x (		t		)2 (	t	)2
	x		p;n	3	p;n	.

10.Представление результата измерения в форме: x x x.

11.Оценка относительной погрешности (качества опыта) по формуле:

xx 100%.

Коэффициенты Стьюдента (tp;n)

	P				ЧИСЛО НАБЛЮДЕНИЙ (n)
		2	3	4	5	6	7	8	10	20	30	60	500
	0,70	2	1,3	1,3	1,2	1,2	1,1	1,1	1,1	1,1	1,1	1,0	1,0
	0,90	6,3	2,9	2,4	2,0	2,0	1,9	1,9	1,8	1,8	1,7	1,7	1,6
	0,95	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,1	2,0	2,0	1,9
	0,999	31,8	12,9	8,6	6,9	6,0	5,4	5,4	4,6	3,9	3,7	3,5	3,3

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Задача: измерение ускорения свободного падения методом колебаний математического

маятника через период его колебаний

g 4 2 Tl2.

Непосредственно измеряются l и T – прямые измерения. Для l:

класс точности линейки δ = 0,5 и цена деления с = 1 мм. Если и случайная, и приборная

погрешности одного порядка, то они обе учитываются в формуле:

l ( l tp;n)2 (3l tp;n )2

Среднее арифметическое, среднеквадратическое отклонение среднего и абсолютная

погрешность равны:

5

5

(li

l)2

l

l

i 1 i

1000ì

ì

; l

i 1

0,5ì ì

5 (5

1)

l

5

l

2

2

2

2

c

.

l

(

t

t

1,2

0,6

ì ì

p 0,7

l

p 0,7;n 5

3

p 0,7;n

3 2

Окончательный ответ: l (

lp 0,7) (1000 0,6)ì

ì .

l

АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть результат косвенного измерения в общем виде определяется зависимостью:

Y f (x1;x2;...;xn).

1.Расчёт средних значений xiи доверительных интервалов для всех n-аргументов. 2. Вычисление среднего значения косвенной ф.в. Y для средних значений xi:

YY(x1;x2;...;xn) .

3.Вывод формулы для абсолютной погрешности по формуле:

Yp

n

Y

x

2

(

xi

)

или для относительной погрешности

i 1

ip

Yp

n

lnY

x

2

(

xi

)

Y

i 1

ip

4.Получение численных значений абсолютной погрешности при средних значениях .xi

5.Представление результата измерения по форме:

Y Y Yp.

6.Оценка относительной погрешности (качества косвенного измерения) по формуле:

YYp 100% .