Konspekt

Сложив вместе кинетическую и потенциальную энергии, получим формулу для полной энергии:

.

Таким образом, полная энергия гармонических колебаний сохраняется.

Лекция 7

Затухающие колебания. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Энергия гармонических и затухающих колебаний.

До сих поp мы pассматpивали идеализиpованную ситуацию — модель, в котоpой движение тела пpоисходит в пустоте, или ситуацию, в котоpой влиянием среды на движение можно пpенебpечь. На самом деле понятно, что при движении тела в среде последняя всегда оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. При этом энергия движущегося тела, в конце концов, переходит в тепло. В таких случаях говорят, что имеет место диссипация энергии.

В этих условиях процесс движения уже не является чисто механическим процессом. Hаpяду с движением тела требуется учитывать движение и самой среды, а значит и изменение теплового состояния как среды, так и тела. В такой ситуации уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение тела является лишь функцией его координат и скорости в данный момент времени. Таким образом, в этой ситуации в общем случае не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике: произведение массы на ускорение равно действующей силе. Может, например, иметь место реакция запаздывания отклика среды на возмущение, вносимое телом. Таким образом, задача о движении тела в среде (или задача об упругих деформациях самого тела, например колебания грузика на пружине), вообще говоря, не является задачей чистой механики.

Однако если движение тела в среде достаточно медленное по сравнению со скоростью внутренних диссипативных процессов, то реакция среды на движение тела в некоторых случаях может быть приближенно описана введением так называемой силы трения, действующей на тело и зависящей лишь от скорости последнего. Такая ситуация возникает, например, при движении тела в вязкой среде, жидкости или газе. Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы. Поэтому первый неисчезающий член пpопоpционален скорости тела.

В ряде случаев можно считать, что сила сопротивления пропорциональна величине скорости, где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак – обусловлен тем, что сила сопротивления и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника в присутствие сил сопротивления имеет вид:

.

Перепишем его следующим образом:

,

Где применены следующие обозначения:. Заметим, что ω₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r=0. Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому в зависимости смещения от времени амплитуда колебаний должна изменяться: . При небольшой силе трения полученное выше дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

.

В соответствии с видом функции движение системы можно рассматривать как гармонические колебания частоты ω с амплитудой, изменяющейся во времени по закону:. Причем А₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х₀ зависит, кроме А₀, также от начальной фазы φ₀: . Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. По определению , откуда βτ=1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз. Период затухающих колебаний равен:

.

Видно, что период затухающих колебаний больше, чем период незатухающих колебаний с теми же параметрами колебательной системы. При незначительном сопротивлении среды , период колебаний практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При приближении коэффициента затухания(сопротивления среды) к величине равной ω₀ период колебаний становится равным бесконечности и колебания становятся апериодическими – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия полностью расходуется на преодоление трения.

Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например А’, А”, А”’ и т.д.) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если то и т.д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

.

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

.

Последнюю величину обычно используют для характеристики затухания колебаний. Выразив β через λ и Т, закон убывания амплитуды можно записать в виде:

.

За время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N_e=τ/T колебаний. Из условия получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина:

,

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

Найдем импульс системы, совершающей затухающие колебания. Продифференцировав зависимость, смещение в затухающих колебаниях по времени и умножив полученный результат на массу m, получим:

Это выражение может быть преобразовано к виду

,

где , а ψ удовлетворяет условию:

.

Если бы не множитель , то, исключив t из этих уравнений, мы получили бы в координатах x и p уравнение эллипса, повернутого по отношению к координатным осям. Наличие экспоненциального множителя приводит к тому, что эллипс превращается в скручивающуюся спираль. Эта спираль и представляет собой фазовую траекторию затухающего колебания. Она будет наклонена по отношению к координатным осям тем сильнее, чем больше коэффициент затухания β.

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, иначе они могут уменьшить колебания системы и даже прекратить их совсем.

Можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания – автоколебаниями.

Примером простейшей автоколебательной системы может служить гибкая упругая линейка, зажатая одним концом неподвижно. Если оттянуть свободный конец линейки вниз и затем отпустить, линейка начнет совершать затухающие колебания. Колебания можно сделать незатухающими, направив на конец линейки струйку воды так, чтобы струйка задевала линейку в тот момент, когда она находится в верхнем крайнем положении. Удары струйки о конец линейки восполняют убыль энергии колебаний, обусловленную трением.

Лекция 8

Вынужденные колебания. Резонанс

Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер. Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие порции энергии из некоторого резервуара энергии. Тем самым поддерживаются собственные колебания, которые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает. В случае вынужденных колебаний система подталкивается посторонней силой. Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω₀. Если свободные колебания происходят на частоте ω₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, т.е. квазиупругую силу и силу сопротивления среды. В предположении, что колебания достаточно малы, будем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости. Тогда уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника, на который действует периодически изменяющаяся сила, будет иметь вид:

.

Разделив это уравнение на m, и перенеся члены с x и в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

,

где - коэффициент затухания, - собственная частота колебаний системы. Решение данного уравнения имеет следующий вид:

Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет свободные колебания; их частота ω определяется внутренними свойствами системы, а амплитуда А₀ и фаза φ’ — начальными условиями и внешними воздействиями. Второе слагаемое, называемое вынужденными колебаниями, обусловлено наличием внешней (вынуждающей) силы. Их частота полностью определяется частотой внешней силы, а амплитуда — соотношением собственной и вынуждающей частот ω₀ и ω и амплитудой вынуждающей силы f₀. Первое слагаемое в этом выражении играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль первого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое.

.

Таким образом, данная функция описывает установившиеся вынужденные колебания. Для данной колебательной системы амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту ω_рез, нужно найти максимум функции определяющей зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Продифференцировав выражение

по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ω_рез:

.

Данное уравнение имеет три решения: ω=0 и . Решение равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не подходит, как не имеющее физического смысла. В результате, для резонансной частоты получается значение:

.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что ) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает. При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному т.е. . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F₀. При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия. Так же надо подчеркнуть, что чем меньше β, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем острее получается максимум.

Подставив значение резонансной частоты в зависимость амплитуды от частоты, получим выражение для амплитуды при резонансе:

.

При резонансе амплитуда А_рез колебания может во много раз превосходить амплитуду А колебаний свободного конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Как правило, резонанс в механических системах - явление нежелательное, и его    стараются избежать: механические сооружения, подверженные колебаниям и вибрациям, стараются сконструировать таким образом, чтобы собственная частота колебаний была далека от возможных значений частот внешних воздействий. Но в ряде устройств резонанс используется как явление позитивное. Например, резонанс электромагнитных колебаний широко используется в радиосвязи, акустике

Оказывается, существует иной вид воздействия извне, с помощью которого можно сильно раскачать систему. Этот вид воздействия заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называется параметрическим резонансом.

Простейшим примером системы, в которой возможен параметрический резонанс, является простейший маятник – шарик на нитке. Если периодически изменять длину маятника l, увеличивая ее в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшается в моменты, когда маятник находится в среднем положении, то маятник сильно раскачается. Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить. Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна. Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника. В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля.

Возникновение параметрических колебаний возможно и при отсутствии энергии колебаний в системе, это объясняется следующим образом. В любой колебательной системе следствие воздействия на нее различных случайных факторов всегда существуют малые отклонения различных физических величин от их средних значений (их называют флуктуациями). Спектр частот таких флуктуаций будет непрерывным с малыми амплитудами отдельных гармоник (для напряжения на конденсаторе или индуктивности они составляют значения порядка микровольта). Периодическое изменение параметра системы на частоте, кратной ω₀ , приводит к тому, что амплитуда гармоники с частотой ω₀ будет все время увеличиваться за счет подвода энергии в систему извне и в системе возникают незатухающие колебания с большой амплитудой. Нарастание амплитуды колебаний при параметрическом резонансе ограничивается при достаточно больших амплитудах нелинейными эффектами.

Лекция 9

Основные положения молекулярно-кинетической теории. Масса и размеры молекул. Термодинамическая система и параметры ее состояния.

Метод описания свойств сложных объектов, например термодинамических систем, через свойства элементарных их составляющих, был впервые использован в древней Греции. Этот метод применяется в механике, где в качестве элементарного объекта используется материальная точка. При описании различных веществ в качестве их элементарных составляющих древними греками было введено понятие атома. Это название происходит от греческого слова, означающего неделимый.

В основе молекулярно-кинетической теории лежат три основных положения:

1) Все вещества – жидкие, твердые и газообразные – образованы из мельчайших частиц – молекул, которые сами состоят из атомов («элементарных молекул»). Молекулы химического вещества могут быть простыми и сложными и состоять из одного или нескольких атомов. Молекулы и атомы представляют собой электрически нейтральные частицы.

2) Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.

3) Частицы взаимодействуют друг с другом силами, имеющими электрическую природу. Гравитационное взаимодействие между частицами пренебрежимо мало.

 Первое положение подтверждают испарение жидкостей и твердых тел, получение фотографий отдельных крупных молекул и групп атомов, косвенные измерения масс и размеров молекул. Второе положение МКТ о непрерывном движении частиц подтверждают такие явления, как броуновское движение и диффузия. Подтверждением третьего положения МКТ о взаимодействии частиц является возникновение упругих сил при деформациях тел, существование различных агрегатных состояний (твердого, жидкого, газообразного) одного и того же вещества. С точки зрения этой теории идеальным газом называется газ, молекулы которого являются материальными точками, то есть расстояния между молекулами намного превосходят их размеры, а единственный вид их взаимодействий между собой - упругие механические столкновения. Модель идеального газа достаточно хорошо описывает поведение реальных газов в широком диапазоне давлений и температур.

Массы молекул очень малы, удобно использовать в расчетах не абсолютные значения масс, а относительные. По международному соглашению массы всех атомов и молекул сравнивают с 1/12 массы атома углерода (углеродная шкала атомных масс). Относительной молекулярной (или атомной) массой вещества М_r называют отношение массы молекулы (или атома) m₀ данного вещества к 1/12 массы атома углерода m_0c.

В молекулярно-кинетической теории количество вещества принято считать пропорциональным числу частиц. Единица количества вещества называется молем (моль).

Моль – это количество вещества, содержащее столько же частиц (молекул), сколько содержится атомов в 0,012 кг углерода ¹²C. Таким образом, в одном моле любого вещества содержится одно и то же число частиц (молекул). Это число называется постоянной Авогадро N_A=6.02 10²³ моль^-1.

Количество вещества ν определяется как отношение числа N частиц (молекул) вещества к постоянной Авогадро N_A.

Молярной массой μ вещества называют массу вещества, взятого в количестве 1 моля. Молярная масса равна произведению массы m₀ одной молекулы данного вещества на постоянную Авогадро:

.

Всякая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой, давлением, объемом и т.д. Подобные величины, характеризующие состояние системы, называются параметрами состояний. Не всегда какой-либо параметр имеет определенное значение. Например, если температура в разных точках тела не одинакова, то телу нельзя приписать определенное значение параметра Т. В этом случае состояние называется неравновесным. То же самое может иметь место и для других параметров. Равновесным состоянием системы называется такое состояние, при котором все параметры системы имеют определенные значения, остающиеся при неизменных внешних условиях постоянными сколь угодно долго. Процесс, состоящий из непрерывной последовательности равновесных состояний, называется, равновесны процессом.

Состояние некоторой массы газа определятся значениями трех параметров: давления р, объема V и температуры T. Эти параметры связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение других. Данная связь может быть задана аналитически в виде функции:

.

Это соотношение, дающее связь между параметрами какого-либо тела, называется уравнением состояния этого тела. Оказывается, что для идеального газа уравнение состояния принимает следующий вид:

,

где В – постоянная для данной массы газа величина. В соответствии с законом установленным Авогадро одинаковые количества различных идеальных газов при одинаковых условиях (давление, температура) занимают одинаковый объем. В частности, при нормальных условиях, объем 1 моля любого газа равен 22,4 литра. Следовательно, когда количество газа равно одному молю, величина В будет одинакова для всех газов. Обозначив соответствующую величину через R можно записать:

Это уравнение называют уравнением Клайперона. Оно связывает параметры состояния моля идеального газа и, следовательно, представляет собой уравнение состояния идеального газа. Его обычно пишут в виде

Величина R называется универсальной газовой постоянной. Ее значение можно вычислить, подставив атмосферное давление, объем 22.4 л и температуру 273 К:

.

От уравнения для одного моля легко перейти к уравнению для любой массы газа m, приняв во внимание, что при одинаковых давлении и температуре n молей газа будут занимать в n раз больший объем чем один моль: V=nV. Умножив уравнение Клайперона на и заменив nV через V, получаем:

.

Это и есть уравнение состояния идеального газа, написанное для любой массы газа m. Простая связь между температурой и остальными параметрами идеального газа делает заманчивым использование его в качестве термометрического вещества. Обеспечив постоянство объема, и использовав в качестве температурного признака давление газа, можно получить термометр с идеальной линейной температурной шкалой.

Изотермическим процессом называют равновесный процесс, протекающий при постоянной температуре T. Из уравнения состояния идеального газа следует, что при постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно оставаться постоянным:

На плоскости (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые называются изотермами. Так как коэффициент пропорциональности в этом соотношении увеличивается с ростом температуры, изотермы, соответствующие более высоким значениям температуры, располагаются на графике выше изотерм, соответствующих меньшим значениям температуры. Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским физиком Р. Бойлем (1662 г.) и независимо французским физиком Э. Мариоттом (1676 г.). Поэтому это уравнение называют законом Бойля–Мариотта.