Konspekt

Лекция 16

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Остроградского – Гаусса

Определенное в предыдущей лекции поле Е обладает, двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогает глубже проникнуть в суть понятия поля и сформулировать его законы, а также открыло возможность решить ряд вопросов весьма просто и изящно. Эти свойства связаны с потоком вектора Е и его циркуляцией. Поток и циркуляция являются двумя важнейшими характеристиками всех векторных полей. Пользуясь только этими понятиями, можно описать все законы не только электричества, но и магнетизма.

Из принципа построения линий напряженности следует, что густота линий Е равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол α с вектором Е, определяется как EdScosα. Эта величина и есть поток dФ вектора Е сквозь площадку dS. В более компактной форме

где Еn – проекция вектора Е на нормаль n к площади dS; dS – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением n нормали к площадке. Выбор направления вектора n условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону. Если имеется некоторая произвольная поверхность S то поток вектора Е сквозь нее

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутой поверхности, нормаль принято брать направленной наружу области, области охватываемой этой поверхностью.

Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность обладает специфическим свойством: его величина пропорциональна электрическому заряду, расположенному внутри этой поверхности. Это утверждение составляет физический смысл теоремы Гаусса. Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля Е в вакууме является следствием закона Кулона. Теорема Гаусса имеет большое значение в теории электромагнетизма. Доказательство ее справедливости включает три этапа.

Первый этап. Допустим, что в начале координат помещен точечный электрический заряд q. Напряженность электрического поля, созданного этим зарядом, описывается соотношением:

где r - радиус-вектор точки наблюдения, r - его модуль. Окружим заряд q сферой радиуса r, центр которой совпадает с началом координат. Известно, что внешняя нормаль n к элементу поверхности dS сферы направлена по радиусу

.

Поток вектора E через поверхность сферы равен:

Второй этап. Пусть поверхность S является произвольной достаточно гладкой замкнутой поверхностью, причем начало координат - место расположения заряда q - лежит внутри поверхности S. Заметим, что

,

 где α - угол между внешней нормалью n и радусом-вектором r точки, в окрестности которой расположен элемент поверхности dS;  dΩ - элемент телесного угла, под которым виден элемент поверхности dS из начала координат. В этом случае прямое вычисление потока вектора E через замкнутую поверхность S приводит к результату

Здесь следует иметь ввиду, что для выпуклой замкнутой поверхности S величина d Ω>0 и суммарное значение интеграла в данном выражении равно 4π. Если поверхность S не является строго выпуклой, то для части поверхности cosα>0, а для части поверхности cosα>0, в этом случае d Ω является алгебраической величиной, но в результате все равно получается 4π. Для случая, когда начало координат (т.е. точка расположения заряда q) лежит вне замкнутой поверхности суммарное значение Ω=0, поскольку видимая часть поверхности и невидимая из начала координат часть поверхности приводят к одному и тому же абсолютному значению телесного угла, но противоположных знаков.

Третий этап. Реальное электростатическое поле обусловлено совокупностью точечных зарядов (принцип суперпозиции), для каждого из которых соотношение

 доказано для произвольной замкнутой поверхности S. Но тем самым доказана справедливость теоремы Гаусса для произвольного электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри поверхности S, деленному на величину ε₀.

То обстоятельство, что замкнутая поверхность S в формулировке теоремы Гаусса может быть произвольной, позволяет выбрать ее форму при решении конкретной задачи удобным для исследователя способом. Использование теоремы Гаусса в интегральной форме в отдельных случаях, отличающихся высокой степенью симметрии расположения электрических зарядов в пространстве, позволяет эффективно рассчитывать характеристики электростатического поля. В общем случае теорема Гаусса в интегральной форме может служить для получения оценок характерных величин электростатического поля.

Используем теорему Гаусса для нахождения напряженностей создаваемых объектами, обладающими некоторой степенью симметрии.

Поле равномерно заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда равна σ. Из симметрии задачи, очевидно, что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскости. Кроме того, ясно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр с основаниями параллельными плоскости. Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра будет 2EΔS, где ΔS – площадь каждого торца цилиндра. Внутри цилиндра заключен заряд σΔS. Согласно теореме Гаусса 2EΔS= σΔS откуда получаем:

.

Полученный результат справедлив только для бесконечной плоской поверхности, так как только в этом случае могут быть использованы приведенные соображение симметрии.

Поле бесконечного круглого цилиндра, заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд λ. Из соображений симметрии следует, что вектор Е в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль вектора Е зависит только от расстояния r до оси цилиндра. Это подсказывает, что замкнутую поверхность надо взять в форме коаксиального прямого цилиндра. Тогда поток вектора Е сквозь торцы этого цилиндра равен нулю, а через боковую поверхность ЕΔS, где ΔS – площадь боковой поверхности цилиндра ΔS=2πrh. r – радиус боковой поверхности цилиндра, h – его высота. По теореме Гаусса для случая r>R (R – радиус бесконечного круглого цилиндра) имеем Е2πrh= λh/ε₀, откуда:

Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области Е=0 независимо от r.

Поле сферической поверхности, заряженной равномерно зарядом q. Это поле центрально-симметрично – направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а модуль зависит только от расстояния до центра сферы. При такой конфигурации поля в качестве замкнутой поверхности надо взять концентрическую сферу. Пусть ее радиус r>R, тогда по теореме Гаусса откуда

Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области всюду Е=0, т.е. внутри равномерно заряженной сферической поверхности электрическое поле отсутствует. Вне этой поверхности поле убывает с расстоянием по такому же закону, как у точечного заряда.

Поле сферы заряженной объемной плотностью заряда ρ. Поле такой сферы тоже обладает центральной симметрией. Для поля вне сферы получается тот же результат, что и в случае поверхностно заряженной сферы. Однако для точек внутри результат будет другой. Сферическая поверхность радиуса r (r<R) заключает в себя заряд равный . Следовательно, теорема Гаусса для такой поверхности запишется в виде:

,

Откуда, заменяя ρ через , получаем

Внутри заряженного шара напряженность поля растет линейно с расстоянием r от центра. Вне напряженность убывает по такому же закону, как и у точечного заряда.

Лекция 17

Работа сил электростатического поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом.

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Оказывается, что работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда. Из механики известно, что такое поле называется консервативным. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 в точку 2 поля Е, взять единичный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl равна Edl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как

Этот интеграл берется по некоторому пути (линии), поэтому его называют линейным. Интеграл данного вида, взятый по замкнутому пути, называется циркуляцией вектора Е и обозначается . Теорема о циркуляции вектора Е гласит: циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю т.е.

.

Поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Теорема о циркуляции вектора Е позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Например, линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. Действительно, если это не так то, взяв циркуляцию вдоль какой-либо замкнутой линии, придем к противоречию с теоремой о циркуляции.

Тело находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, работа сил электростатического поля может быть представлена как разность значений потенциальной энергии, которыми обладал заряд в точках 1 и 2 поля Е. Можно утверждать, что в электростатическом поле существует некоторая скалярная функция координат φ(r), убыль которой

Где φ₁ и φ₂ – значения функции φ в точках 1 и 2. Так определенная величина φ(r) называется потенциалом поля. Из сопоставления данного выражения с выражением для работы сил потенциального поля ( которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Потенциал какой-либо произвольной точки поля определяется с точностью до произвольной аддитивной константы. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля, последняя же определяется разностью потенциалов в соседних точках поля. Единицей измерения потенциала в СИ является вольт (В).

Для нахождения потенциала поля точечного заряда достаточно вычислить интеграл по любому пути между двумя точками и представить полученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и будет φ(r). Можно поступить и другим образом: так как формула справедлива и для dl (не только для конечных перемещений), то элементарная убыль потенциала на dl есть

Другими словами, если известно поле E(r), то для нахождения φ надо представить как убыль некоторой функции. Найдем таким способом потенциал поля неподвижного точечного заряда:

Где учтено, что . Величина, стоящая в скобках под знаком дифференциала и есть φ(r). Присутствующая здесь аддитивная константа никакой физической роли не играет, и ее обычно опускают. Таким образом, потенциал поля точечного заряда

.

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы означает, что потенциал точечного заряда на бесконечности принимается равным нулю.

Если имеется система из N неподвижных точечных зарядов q₁, q₂, …. Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е=Е₁+Е₂+…, где Е_i – напряженность поля создаваемого отдельно зарядом q₁ и т.д. Тогда можно записать

,

где , т.е. принцип суперпозиции оказывается справедлив и для потенциала. Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядов

,

где r_i – расстояние от точечного заряда q_i до точки, где определяется потенциал поля.

Если заряды, образующие системы, распределены непрерывно, то, каждый элементарный объем dV содержит точечный заряд ρdV, где ρ – объемная плотность заряда в месте нахождения объема dV. Тогда при вычислении потенциала можно перейти от суммирования дискретно распределенных в пространстве зарядов к интегрированию по заряженному объему:

,

Если заряды расположены только по поверхности S то получаем следующее соотношение:

,

Аналогичное выражение будет и для линейно распределенных зарядов.

Получили, что электрическое поле можно описывать как с помощью напряженности, так и с помощью потенциала. Следовательно, раз эти две величины описывают одно и то же физическое явление, то между ними должна существовать однозначная связь.

Связь между φ и Е можно установить с помощью соотношения . Пусть перемещение dl параллельно оси Х, тогда dl=e_xdx, где e_x – орт оси Х; dx – приращение координаты х. В этом случае

,

где Е_х – проекция вектора Е на орт е_х. Сопоставив последнее выражение с , получим

,

Где символ частной производной подчеркивает, что функцию φ(x,y,z) надо дифференцировать только по х, считая y и z постоянными. Аналогичные рассуждение, позволяют определить E_y, E_z, а зная их легко найти и вектора напряженности электрического поля Е:

Величина, стоящая в скобках есть градиент потенциала φ (grad φ илиφ). Окончательно связь вектора Е и потенциала φ выглядит следующим образом:

т.е. напряженность Е поля равна со знаком минус градиенту потенциала.

Напряженность электрического поля наглядно изображают с помощью линий напряженности. Распределение потенциала в пространстве наглядно изображают с помощью эквипотенциальных поверхностей – поверхностей во всех точках, которых потенциал имеет одно и то же значение. Вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала. Эквипотенциальные поверхности проводятся так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках поля. Там где эти поверхности расположены гуще, там напряженность поля больше. Так как вектор Е всюду нормален к эквипотенциальным поверхностям, то линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Возникает вопрос – зачем же описывать электростатическое поле потенциалом? Ведь уже существует исчерпывающее описание с использованием вектора напряженности Е. Какая же польза от введения потенциала? Существует несколько весомых причин свидетельствующие о том, что потенциал – понятие весьма полезное.

1. зная потенциал φ(r), можно предельно просто вычислить работу сил поля при

перемещении точечного заряда из точки 1 в точку 2

2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е

электрического поля легче сначала подсчитать потенциал и затем взять градиент от него, чем непосредственно вычислять Е. Действительно, для вычисления φ нужно взять один интеграл, а для вычисления Е – три (так как Е вектор).

Лекция 18

Поле В. Сила Лоренца. Закон Био – Савара. Циркуляция и поток вектора В.

Магнитные явления были известны еще в древнем мире. Компас был изобретен более 4500 лет тому назад. Он появился в Европе приблизительно в XII веке новой эры. Однако только в XIX веке была обнаружена связь между электричеством и магнетизмом и возникло представление о магнитном поле. Первыми экспериментами, показавшими, что между электрическими и магнитными явлениями имеется глубокая связь, были опыты датского физика Х. Эрстеда (1820 г.). Эти опыты показали, что на магнитную стрелку, расположенную вблизи проводника с током, действуют силы, которые стремятся повернуть стрелку. В том же году французский физик А. Ампер наблюдал силовое взаимодействие двух проводников с токами и установил закон взаимодействия токов. По современным представлениям, проводники с током оказывают силовое действие друг на друга не непосредственно, а через окружающие их магнитные поля. Все свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Это поле характеризуется магнитной индукцией В. Магнитное поле действует на движущейся электрический заряд с силой

.

Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:

ее называют силой Лоренца. Она состоит из электрической и магнитной составляющих. В дальнейшем в рамках магнетизма под силой Лоренца будем подразумевать только магнитную составляющую. Необходимо подчеркнуть, что на покоящийся заряд магнитное поле не действует. При движении заряженной частицы в магнитном поле сила Лоренца работы не совершает. Поэтому модуль вектора скорости при движении частицы не изменяется. Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость v лежит в плоскости, перпендикулярной вектору B то частица будет двигаться по окружности радиуса

Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы. Период обращения частицы в однородном магнитном поле равен

Это выражение показывает, что для заряженных частиц заданной массы m период обращения не зависит от скорости v и радиуса траектории R. Угловая скорость движения заряженной частицы по круговой траектории:

Называется циклотронной частотой. Циклотронная частота не зависит от скорости частицы. Это обстоятельство используется в циклотронах – ускорителях тяжелых частиц.

Источниками магнитного поля являются движущиеся электрические заряды (токи). Магнитное поле возникает в пространстве, окружающем проводники с током, подобно тому, как в пространстве, окружающем неподвижные электрические заряды, возникает электрическое поле. Магнитное поле постоянных магнитов также создается электрическими микротоками, циркулирующими внутри молекул вещества (гипотеза Ампера). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле В точечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде:

Где μ₀ – магнитная постоянная; коэффициент

r – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения. Конец радиус-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v, поэтому вектор В в данной системе отсчета зависит не только от положения наблюдателя, но и от времени. Вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора В образует с направлением v правовинтовую систему. Из сказанного следует, что В – аксиальный вектор.

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности.

Пусть магнитное поле создается постоянным электрическим током, тогда выделив в этом токе точечный движущейся заряд а затем просуммировав все эти элементарные заряды, можно найти магнитное поле В, создаваемое данным током. Элементарный заряд q равен ρdV, где dV – элементарный объем, ρ – объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, учтем также, что ρv=j плотность тока. Тогда магнитное поле, создаваемое таким зарядом равно:

Если ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения dS, то

,

Где dl – элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I, получим:

Векторы называют соответственно объемным и линейным элементами тока. Магнитное поле создаваемое линейным элементом тока выглядит следующим образом:

Соотношения для вычисления магнитных полей объемного и линейного элементов тока представляют собой закон Био-Савара. Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции находим интегрированием этих выражений по всем элементам тока.

, .

В общем случае расчет магнитных полей по этим формулам сложен. Однако он значительно упрощается, если распределение токов в пространстве обладает определенной симметрией. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью лини вектора В. Их проводят обычным способом – так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.

Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами – поток и циркуляция вектора В.

Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Данная теорема является в действительности обобщением экспериментальных фактов, которые свидетельствуют о том, что линии магнитной индукции не имеют ни конца, ни начала. Линии магнитной индукции замкнуты или начинаются и кончаются, а бесконечности. Из сказанного следует, что число линий входящих в любую замкнутую поверхность всегда равно числу линий выходящих из этой поверхности, а так как входящие и выходящие линии учитываются с разными знаками то следовательно суммарный поток будет равен нулю. Равенство потока вектора В нулю также является следствием того, что в природе не существует магнитных зарядов на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции В.

Расчеты магнитного поля токов часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае расчеты можно выполнять с помощью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора В. Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление обхода контура. На каждом отдельном малом участке dl этого контура можно определить касательную составляющую B_l вектора B в данном месте, то есть определить проекцию вектора B на направление касательной к данному участку контура. Циркуляцией вектора В называют сумму произведений B_ldl, взятую по всему контуру L.

Теорема о циркуляция вектора В: циркуляция вектора В по произвольному контуру равна произведению μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром: