Konspekt

Задание кардинальных плоскостей или точек полностью определяет свойства оптической системы. В частности, зная положение кардинальных плоскостей, можно построить оптическое изображение, даваемое системой. Таким образом, должно существовать соотношение, связывающее положение предмета, оптические характеристики системы и положение изображения. Расчеты дают следующее соотношение:

Где x – расстояние от предмета до переднего фокуса, x’ – расстояние от заднего фокуса до изображения. Это соотношение называется формулой Ньютона. Если показатели преломления сред с двух сторон от системы одинаковы то формула Ньютона принимает вид:

От формулы, связывающей расстояния x и x’, можно перейти к формуле связывающей расстояния от предмета и изображения до главных точек s s’:

Если показатели преломления сред с двух сторон от системы одинаковы то это соотношение принимает вид:

Последние четыре соотношения представляют собой формулы центрированной оптической системы. Также можно получить выражения для линейного увеличения, даваемого центрированной оптической системы:

Получается, что линейное увеличение не зависит от размера предмета. Также видно, что линейное увеличение зависит от положения предмета, следовательно изображение плоского предмета перпендикулярного оптической оси будет ему подобно. Если же предмет имеет протяженность вдоль оптической оси, то изображение не будет подобно предмету.

Лекция 25

Тонкая линза. Формула линзы. Ход лучей в тонких линзах. Построение изображений в собирающей линзе. Построение изображений в рассеивающей линзе.

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой в противном случае линзу называют толстой.

Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими и рассеивающими. Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше.

В случае тонкой линзы вершины преломляющих поверхностей можно считать находящимися в одной точке, которую называют оптическим центром линзы. В тонкой линзе обе главные плоскости линзы проходят через ее оптический центр. Если показатели преломления сред, находящихся по обе стороны линзы, одинаковы, то узлы совпадают с главными точками, т.е. помещаются также в оптическом центре линзы. Отсюда вытекает, что любой луч, идущий через оптический центр линзы, не изменяет своего направления... Все прямые, проходящие через оптический центр, называются побочными оптическими осями.

Параллельный главной оптической оси пучок лучей, падающий на собирающую линзу, после выхода из линзы собирается в точке фокуса. Если на линзу падает пучок световых лучей который не параллелен главной оптической оси линзы, то для того чтобы построить ход световых лучей по выходу из линзы, необходимо провести побочную световую ось параллельную данному пучку. Точка пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью даст положение побочного фокуса для этого пучка. Следовательно, за линзой световые лучи этого пучка пройдут через побочный фокус.

Если параллельный главной оптической оси пучок световых лучей падает на рассеивающую линзу, то после выхода он становится расходящимся, так что продолжения лучей собираются в переднем фокусе. Если же на линзу падает пучок лучей не параллельный главной оптической оси, то необходимо провести побочную ось параллельную пучку. Точка пересечения побочной оптической оси даст положение побочного фокуса. Пучок расходится таким образом, что продолжения световых лучей, проведенные против направления распространения, должны дать проходить через побочный фокус.

Фокусное расстояние тонкой линзы определяется радиусами сферических поверхностей, образующих линзу, а также показателями преломления линзы и среды в которой находится линза:

Так как главные плоскости проходят через оптический центр тонкой линзы, то f и f’ введенные, как расстояния до главных плоскостей в случае тонких линз в тоже время являются расстояниями от фокуса до тонкой линзы. Как и любая оптическая система, тонкая линза может давать изображения, которые бывают прямыми и обратными, действительными и мнимыми, увеличенными и уменьшенными.

Положение изображения и его характер можно определить с помощью геометрических построений. Для этого используют свойства некоторых стандартных лучей, ход которых известен. Это лучи, проходящие через оптический центр или один из фокусов линзы, а также лучи, параллельные главной или одной из побочных оптических осей.

Можно получить частный случай формулы оптической системы применительно к тонкой линзе. Если расстояние от предмета до линзы обозначить через d, а расстояние от линзы до изображения через f, то формулу тонкой линзы можно записать в виде:

Фокусным расстояниям линз принято приписывать определенные знаки: для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей F < 0.

Величины d и f также подчиняются определенному правилу знаков: d > 0 и f > 0 – для действительных предметов (то есть реальных источников света, а не продолжений лучей, сходящихся за линзой) и изображений; d < 0 и f < 0 – для мнимых источников и изображений.

В зависимости от положения предмета по отношению к линзе изменяются линейные размеры изображения.

Для построения изображения плоского предмета, опирающегося одним концом на оптическую ось и перпендикулярного ей, необходимо построить изображение того конца предмета, который не опирается на оптическую ось, а затем опустить перпендикуляр на главную оптическую ось. Чтобы построить изображение этой точки необходимо пустить два произвольных луча на линзу, пересечение этих световых лучей после выхода из линзы даст положение изображения. В принципе можно пустить любые лучи, однако проще всего пустить луч параллельный главной оптической оси и луч, проходящий через центр оптической судьбы. Как уже отмечалось, в зависимости от положения предмета будут изменяться и размеры изображения, а так же изображение может стать мнимым.

В случае построения изображения в собирающей линзе есть три характерных области:

1) от линзы до фокуса;

2) между фокусом и двойным фокусом;

3) за двойным фокусом.

В первой области изображения является увеличенным, прямым и мнимым и они располагаются в пространстве предметов.

Если предмет расположен во второй области то изображение предмета будем обратным, увеличенным и действительным. Располагаться изображения будут за двойным задним фокусом.

Если предметы будут располагаться за двойным передним фокусом, то изображения будут уменьшенными, обратными и действительными. Располагаться они будут между задним фокусом и двойным задним фокусом.

Есть еще две точки на оптической оси которые изображения которых не было описано – двойной фокус и фокус. Изображение предмета расположенного на расстоянии равным двойному фокусному расстоянию будет находиться в двойном заднем фокусе и иметь линейное увеличении -1, т.е. оно будет обратным, действительным его размеры будут такие же, как и предмета. Предмет расположенный в фокальной плоскости будет иметь изображение на бесконечности, так как лучи вышедшие из любой точки в фокальной плоскости после прохождения тонкой линзы превращаются в параллельный пучок.

Во многих оптических приборах свет последовательно проходит через две или несколько линз. Изображение предмета, даваемое первой линзой, служит предметом (действительным или мнимым) для второй линзы, которая строит второе изображение предмета. Это второе изображение также может быть действительным или мнимым. Расчет оптической системы из двух тонких линз сводится к двукратному применению формулы линзы, при этом расстояние d₂ от первого изображения до второй линзы следует положить равным величине l – f₁, где l – расстояние между линзами. Рассчитанная по формуле линзы величина f₂ определяет положение второго изображения и его характер (f₂ > 0 – действительное изображение, f₂ < 0 – мнимое изображение). Общее линейное увеличение β системы из двух линз равно произведению линейных увеличений обеих линз:

Если предмет или его изображение находятся в бесконечности, то линейное увеличение утрачивает смысл. Частным случаем является телескопический ход лучей в системе из двух линз, когда и предмет, и второе изображение находятся на бесконечно больших расстояниях. Телескопический ход лучей реализуется в зрительных трубах – астрономической трубе Кеплера и земной трубе Галилея.

Тонкие линзы обладают рядом недостатков, не позволяющих получать высококачественные изображения. Искажения, возникающие при формировании изображения, называются аберрациями. Главные из них – сферическая и хроматическая аберрации. Сферическая аберрация проявляется в том, что в случае широких световых пучков лучи, далекие от оптической оси, пересекают ее не в фокусе. Формула тонкой линзы справедлива только для лучей, близких к оптической оси. Изображение удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается размытым. Хроматическая аберрация возникает вследствие того, что показатель преломления материала линзы зависит от длины волны света λ. Это свойство прозрачных сред называется дисперсией. Фокусное расстояние линзы оказывается различным для света с разными длинами волн, что приводит к размытию изображения при использовании немонохроматического света.

Поэтому в современных оптических приборах применяются не тонкие линзы, а сложные многолинзовые системы, в которых удается приближенно устранить различные аберрации.

Формирование собирающей линзой действительного изображения предмета используется во многих оптических приборах, таких как фотоаппарат, проектор и т. д.

Лекция 26

Интерференция света. Когерентные источники. Интерференция от двух когерентных источников. Бипризма Френеля. Интерференция при отражении от тонких пленок.

Кольца Ньютона.

Свет представляет из себя сложное явление – в одних случаях он ведет себя как поток частиц (корпускул, фотонов), в других как электромагнитная волна. Корпускулярная природа света проявляется в таких явлениях как фотоэффект, эффект Комптона. Интерференция и дифракция это проявления волновой природы света.

В электромагнитной волне колеблются два вектора – напряженности электрического и напряженности магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора. В соответствии с этим под световым вектором в дальнейшем будет подразумеваться вектора напряженности электрического поля.

Пусть в некоторую точку пространства приходят две световые волны. Эти волны возбуждают в пространстве колебания одинакового направления.

Амплитуда суммарного колебания определяется по правилу сложения двух колебаний одинакового направления. В результате получим:

Если разность фаз δφ=(α₁-α₂) возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени. То волны называются когерентными.

По этой причине амплитуда суммарного колебания двух монохроматических волн будет зависеть от координат точки наблюдения и будет отличаться от суммы амплитуд колебаний первой и второй волн, наблюдаемых по отдельности друг от друга. Отличия обусловлены разностью фаз складываемых колебаний - они минимальны при и максимальны при .

В случае говорят о сложении колебаний в фазе или синфазном сложении, для которого следует, что амплитуда суммарных колебаний равна сумме амплитуд каждого из колебаний

В случае говорят о сложении колебаний с противоположными фазами или противофазном сложении, для которого следует, что амплитуда суммарных колебаний равна модулю разности амплитуд каждого из колебаний:

Таким образом, в зависимости от разности фаз колебаний двух волн в той или иной точке наблюдения амплитуда суммарного их колебания может изменяться между своим максимально возможным значением, равным сумме амплитуд колебаний волн, и минимальным, равным модулю их разности.

Квадрат амплитуды напряженности электрического поля пропорционален интенсивности I электромагнитного поля. С учётом этого следует выражение для интенсивности суммы колебаний электромагнитных волн:

Где I₁, I₂ – интенсивности первой и второй волны по отдельности, I – интенсивность суммарного колебания двух волн. В тех точках пространства, где осуществляется синфазное сложение колебаний двух волн, при равной интенсивности двух электромагнитных колебаний, суммарная интенсивность колебаний в четыре раза выше интенсивности каждой из волн. В тех точках пространства, где осуществляется противофазное сложение колебаний двух волн, интенсивность суммарных колебаний меньше суммы интенсивности колебаний каждой из волн. При равной интенсивности двух электромагнитных колебаний, суммарная интенсивность колебаний равна нулю.

Явление перераспределения в пространстве интенсивности электромагнитного поля, представляющего собой сумму двух монохроматических волн одной частоты, в зависимости от их разности фаз называется интерференцией.

Явление интерференции можно наблюдать, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником, на две части. В результате получим две когерентные волны. Затем необходимо сложить их, предварительно заставив пройти различные оптические пути.

В общем случае полученные таким образом две световые волны пройдут до точки сложения пути s₁ и s_2. Первая волна возбудит в точке сложения колебание

А вторая волна – колебание

Где и - скорость распространения первой и второй волны. Таким образом, разность фаз колебаний, возбуждаемых в точке сложения, будет равна

.

Заменив через (λ₀ – длина волны в вакууме), выражению для разности фаз можно придать вид:

,

Где

- величина равная разности оптических длин проходимых волнами путей и называемая оптической разностью хода.

Таким образом, получаем, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн, то волны в точке сложения колеблются синфазно, так, как разность фаз равна числу кратному 2π. Т.е. получаем условие интерференционного максимума:

Если же оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн в вакууме то волны в точке сложения колеблются в противофазе, так, как разность фаз равна . Т.е. получаем условие интерференционного минимума:

Рассмотрим более подробно основные свойства интерференционной картины, создаваемой двумя источниками электромагнитных волн одинаковой интенсивности и наблюдаемой на плоском экране, расположенным на расстоянии l от плоскости расположения от источников. В качестве таких источников могут быть, например две бесконечно-узкие, параллельные друг - другу щели или два отверстия бесконечно малого диаметра, расстояние между которыми d<<l, прорезанные в плоском непрозрачном экране. Пусть источники электромагнитных волн располагаются в однородной среде с показателем преломления n.

Параметрами интерференционной картины являются положение её максимумов x_max и минимумов x_min, а также связанная с ними ширина полос интерференционной картины Δx.

Для расчёта этих величин надо найти разность фаз излучаемых источниками волн в точке наблюдения, расположенной на экране. Для расчёта надо определить оптическую разность хода Δ волн от первого и второго источников до точки наблюдения, поскольку

Расстояния l₁ и l₂ определяются следующими соотношениями:

где d – расстояние между щелями, а х – координата соответствующей точки на экране, отсчитанная от точки на экране удаленной на одинаковые расстояния от щелей.

Отсюда следует, что

Принимая во внимание, что при условии d<<l, получаем:

.

Использование этого соотношения приводит к следующему выражению для оптической разности хода волнΔ:

Максимум интерференционной картины будет наблюдаться при условии синфазного сложения колебаний волн источников, которое имеет место при . Исходя из связи между разностью фаз колебаний и оптической разностью хода, можно заключить, что синфазное сложение колебаний имеет место при условии кратности оптической разности хода целому числу длин волны в среде. Найдём координату x_max, определяющую положение - ого максимума интерференционной картины:

Порядком интерференционного максимума называют его номер m, отсчитываемый от центрального (m=0), которому соответствует центр интерференционной картины , где складываются волны от источников, проходящие одинаковый путь. Аналогичным образом можно найти положения минимумов интерференционной картины двух источников, определяемые координатами x_min, если положить оптическую разность хода кратной нечётному числу полуволн:

Отсюда следует, что в рассматриваемой интерференционной картине положения соседних интерференционных максимумов и минимумов находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и не зависят от того, насколько эти максимумы удалены от центра интерференционной картины. Это свойство максимумов и минимумов позволяет определить ширину интерференционной полосы.

Ширина интерференционной полосы определяется, как расстояние между соседними интерференционными максимумами или минимумами, интерференционные порядки которых отличаются на единицу. Для рассматриваемой интерференционной картины двух источников волн одинаковой интенсивности ширина полосы Δx оказывается равной:

Существует большое количество способов наблюдения интерференционных картин. Первый эксперимент по наблюдение интерференции света в лабораторных условиях принадлежит И. Ньютону. Он наблюдал интерференционную картину, возникающую при отражении света в тонкой воздушной прослойке между плоской стеклянной пластиной и плосковыпуклой линзой большого радиуса кривизны. Интерференционная картина имела вид концентрических колец, получивших название колец Ньютона.

,

где R – радиус плосковыпуклой линзы. Четным m соответствуют радиусы светлых колец, нечетным радиусы темных колец.

Одним из наиболее часто используемых в лабораториях приборов для получения интерференции является бипризма Френеля - изготовленные из одного куска стекла две призмы с малым преломляющим углом θ имеющие общее основание. При освещении бипризмы Френеля монохроматическим светом от источника, расположенного на расстоянии а на экране будет наблюдаться картина чередующихся светлых и темных полос толщиной Δх:

,

Где b – расстояние от призмы до экрана, n – показатель преломления вещества из которого сделана бипризма.

При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку или пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки π В результате возникают когерентные световые волны, которые могут интерферировать. Результирующая оптическая разность хода определяется следующим соотношением:

,

где b – толщина пластинки, n – показатель преломления пластинки, α – угол падения света на пластинку.

Лекция 27

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. Диаграмма Френеля.

Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина – система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос.

Дифракционные явления были хорошо известны еще во времена Ньютона, но объяснить их на основе корпускулярной теории света оказалось невозможным. Первое качественное объяснение явления дифракции на основе волновых представлений было дано английским ученым Т. Юнгом. Независимо от него французский ученый О. Френель развил количественную теорию дифракционных явлений (1818 г.). В основу теории Френель положил принцип Гюйгенса, дополнив его идеей об интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса в его первоначальном виде позволял находить только положения волновых фронтов в последующие моменты времени, т. е. определять направление распространения волны. По существу, это был принцип геометрической оптики. Гипотезу Гюйгенса об огибающей (Каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени) вторичных волн Френель заменил физически ясным положением, согласно которому вторичные волны, приходя в точку наблюдения, интерферируют друг с другом

Различают два вида явления дифракции в зависимости от расстояния точки наблюдения до препятствия или неоднородности, а также от вида волнового фронта в точке наблюдения. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от препятствия и в точку наблюдения после взаимодействия с неоднородностью приходит плоская волна, то говорят о дифракции Фраунгофера. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля.

Как следует из принципа Гюйгенса- Френеля амплитуда волны в точке наблюдения Р, создаваемая источником монохроматической электромагнитной волны в точке О, может быть найдена как суперпозиция амплитуд сферических волн, испускаемых вторичными источниками на произвольной замкнутой поверхности S, охватывающей точку O. Пусть S сферическая поверхность радиуса a c центром в точке S. Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, зоны Френеля, таким образом, что бы расстояние от краев каждой зоны до точки Р отличались на . Тогда расстояние от внешнего края m-й зоны до точки Р можно представить следующим образом:

,

где b – расстояние от вершины волновой поверхности до точки О. Колебания приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон, находятся в противофазе. Поэтому и результирующее колебания, создаваемые каждой из зон в целом будут для соседних зон различаться по фазе на π. Для определения результирующей амплитуды в точке Р, необходимо знать амплитуду создаваемую каждой из зон. Очевидно, что амплитуда каждой из зон зависит от ее площади. Определим площадь произвольной зоны Френеля. Эта площадь будет являться разностью площадей двух сферических сегментов, границы которых соответствуют m-ой и (m-1)-ой зонам Френеля.

Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле

.

где h_m – высота сегмента. Высота сегмента определяется следующим образом:

.

Таким образом, получаем площадь сферического сегмента: