Konspekt

В случае изотропных диэлектриков поляризованность . Подставив это выражение в определение вектора D, получим , или

Где ε – диэлектрическая проницаемость вещества:

Диэлектрическая проницаемость является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ ε>0, для вакуума ε=0. В изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору Е. Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий вектора D, направление и густота которых определяется точно так же как и у линий вектора Е. Однако линии D могут начинаться или заканчиваться только на сторонних заряда или на бесконечности.

Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Предположим, что на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд σ. Условия для E и D получим, используя теорему о циркуляции вектора Е и о потоке D.

.

Применение этих теорем дает следующие граничные условия для векторов E и D

Из этих соотношений видно, что тангенциальная составляющая вектора Е, остается неизменной, а нормальная составляющая вектора D претерпевает скачок, обусловленный наличием на границе поверхностного стороннего заряда. Если на границе раздела нет сторонних зарядов то получаем

В этом случае при переходе границы, составляющие Е_τ и D_n скачок не испытывают. Составляющие же Е_n и D_τ претерпевают скачок. Полученные результаты позволяют построить линии этих векторов при переходе из одного диэлектрика в другой. Видно, что они испытывают излом. Нетрудно определить соотношения между углами по которыми линии направлены относительно границы в различных диэлектриках

.

Отсюда с учетом граничных условий, получим закон преломления линии Е, а следовательно и D:

.

Это значит, что в диэлектрике с большим значением ε линии Е и D будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела. На границе раздела линии Е испытывают преломление и терпят разрыв (из-за наличия связанных зарядов), линии же вектора D испытывают только преломление, без разрыва (в случае если сторонних зарядов нет).

Лекция 22

Намагничение вещества. Намагниченность J. Циркуляция вектора J. Вектор Н. Граничные условия для В и Н.

Экспериментальные исследования показали, что все вещества в большей или меньшей степени обладают магнитными свойствами. Если два витка с токами поместить в какую-либо среду, то сила магнитного взаимодействия между токами изменяется. Этот опыт показывает, что индукция магнитного поля, создаваемого электрическими токами в веществе, отличается от индукции магнитного поля, создаваемого теми же токами в вакууме. Магнитные свойства веществ определяются магнитными свойствами атомов или элементарных частиц (электронов, протонов и нейтронов), входящих в состав атомов. В настоящее время установлено, что магнитные свойства протонов и нейтронов почти в 1000 раз слабее магнитных свойств электронов. Поэтому магнитные свойства веществ в основном определяются электронами, входящими в состав атомов. Вещества крайне разнообразны по своим магнитным свойствам. У большинства веществ эти свойства выражены слабо. Слабо-магнитные вещества делятся на две большие группы – парамагнетики и диамагнетики.

Пара- и диамагнетизм объясняется поведением электронных орбит во внешнем магнитном поле. У атомов диамагнитных веществ в отсутствие внешнего поля собственные магнитные поля электронов и поля, создаваемые их орбитальным движением, полностью скомпенсированы. Возникновение диамагнетизма связано с действием силы Лоренца на электронные орбиты. Под действием этой силы изменяется характер орбитального движения электронов и нарушается компенсация магнитных полей. Возникающее при этом собственное магнитное поле атома оказывается направленным против индукции внешнего поля.

В атомах парамагнитных веществ магнитные поля электронов скомпенсированы не полностью, и атом оказывается подобным маленькому круговому току. В отсутствие внешнего поля эти круговые микротоки ориентированы произвольно, так что суммарная магнитная индукция равна нулю. Внешнее магнитное поле оказывает ориентирующее действие – микротоки стремятся сориентироваться так, чтобы их собственные магнитные поля оказались направленными по индукции внешнего поля.

Вещества, способные сильно намагничиваться в магнитном поле, называются ферромагнетиками. Магнитная проницаемость ферромагнетиков по порядку величины лежит в пределах 10²–10⁵.

При описании магнитного поля в веществе – магнетите можно, не вдаваясь в природу этих элементарных токов, для простоты считать их все одинаковыми. Пусть каждая молекула вещества характеризуется некоторым магнитным моментом

где I_мол элементарный молекулярный ток, а S_мол – площадь, охваченная его контуром. Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина намагниченность J, равная отношению магнитного момента p_m макроскопически малого объёма DV вещества к этому объему:

,

где p_mi – магнитный момент i- молекулы из общего числа N молекул, содержащихся в объеме DV. Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах магнитное поле можно было считать однородным. В то же время в нем должно содержаться столь большое число молекул (N>>1), чтобы к ним можно было применять статистические методы. Аналогично тому, как это было сделано для поляризованности Р, намагниченность можно выразить как

,

где n – концентрация молекул, - средний магнитный момент одной молекулы. Как уже отмечалось, намагничивание приводит к преимущественной ориентации магнитных моментов молекул. То же самое можно сказать и об элементарных токах. Преимущественная ориентация элементарных токов приводит к возникновению макроскопических токов – токов намагничивания. Обычные токи, связанные с перемещением в веществе носителей тока называются токами проводимости.

Оказывается, что для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов намагничивания I’, охватываемых контуром:

В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В определяется не только токами проводимости, но и токами намагничивания:

Где I и I’ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые контуром. Определение I’ достаточно трудная задача. Однако оказывается можно найти вспомогательный вектор, циркуляция которого определяется только токами проводимости, охватываемыми контуром. Проведем следующие преобразования:

Величину, стоящую под интегралом в скобках обозначают буквой Н – напряженность магнитного поля. В итоге мы нашли некоторый вспомогательный вектор

Циркуляция которого по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром:

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н. Известно, что J зависит от магнитной индукции В. Однако J принято связывать не с В, а с вектором H. В случае многих однородных изотропных веществ, как показывает эксперимент, между намагниченностью и вектором Н есть прямая пропорциональность

Где χ – магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика. Магнитная восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной. Положительной у парамагнетиков, отрицательной у диамагнетиков. У ферромагнетиков зависимость J от Н носит сложный характер. В результате можно получить взаимосвязь векторов В и Н.

Где μ – магнитная восприимчивость среды:

Найдем соотношение между магнитной индукцией B и напряженностью H магнитного поля в некоторой точке А на границе двух сред. Проведем в точке А единичные векторы: t – по касательной вдоль границы раздела сред и n – по нормали к границе, направленной от первой среды ко второй. Построим вблизи точки А небольшой замкнутый прямоугольный контур L, две стороны которого параллельны вектору t и равны Dl, а две - вектору n и равны Dh. Предположим, что по границе раздела внутри контура вблизи точки А не текут макротоки. Из теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля следует, что

Это равенство должно выполняться при любом значении Dh и тогда в пределе при получаем

Здесь H_1t и H_2t - проекции напряженности H на направление касательного орта в точке А. Поскольку последнее равенство в должно выполняться при произвольном Dl, находим

Таким образом, касательная к поверхности раздела двух сред составляющая напряженности магнитного поля не изменяется при переходе из одной среды в другую.

Второе условие получим с помощью теоремы Гаусса для магнитной индукции B. Возьмем охватывающую окрестность точки А небольшую цилиндрическую поверхность S, основания DS которой параллельны границе раздела и лежат по разные стороны от нее, а образующая параллельна вектору нормали n. По теореме Остроградского-Гаусса имеем для потока В через всю поверхность S

Это равенство должно выполняться при любом значении высоты цилиндра Dh и в пределе получим

Поскольку это соотношение должно выполняться при любой площади основания DS, отличной от нуля, получаем

т.е. при переходе через границу раздела двух сред, нормальная составляющая вектора магнитной индукции не изменяется. Используя полученные граничные условия для векторов В и Н и связь между ними, найдем ход линий этих векторов при переходе границы раздела, в случае отсутствия токов проводимости.

Отношение тангенсов углов α₁ и α₂ углов

.

Линии В не терпят разрыва при переходе границы, линии же Н терпят разрыв (из-за поверхностных токов намагничивания).

Лекция 23

Законы геометрической оптики. Принцип Ферма.

Явление полного отражения.

Основные законы геометрической оптики были известны задолго до установления физической природы света. Исторически эти законы были открыты намного раньше, чем была понята электромагнитная природа света. Первые три закона были известны Евклиду, Аристотелю, Птолемею и другим мыслителям древности. Закон преломления был открыт в 17 в. Снеллиусом и Декартом.

Краеугольным приближением геометрической оптики является понятие светового луча. В этом определении подразумевается, что направление потока лучистой энергии (ход светового луча) не зависит от поперечных размеров пучка света. В силу того, что свет представляет собой волновое явление, имеет место дифракция, и в результате узкий пучок света распространяется не в каком-то одном направлении, а имеет конечное угловое распределение. Однако в тех случаях, когда характерные поперечные размеры пучков света достаточно велики по сравнению с длиной волны, можно пренебречь расходимостью пучка света и считать, что он распространяется в одном единственном направлении: вдоль светового луча

Кроме отсутствия волновых эффектов, в геометрической оптике пренебрегают также квантовыми эффектами. Как правило, скорость распространения света считается бесконечной (вследствие чего динамическая физическая задача превращается в геометрическую), однако учёт конечной скорости света в рамках геометрической оптики (например, в астрофизических приложениях) не представляет трудности. Кроме того, как правило, не рассматриваются эффекты, связанные с откликом среды на прохождение лучей света. Эффекты такого рода, даже формально лежащие в рамках геометрической оптики, относят к нелинейной оптике

Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны. Таким образом, геометрическая оптика, опирающаяся на представление о световых лучах, есть предельный случай волновой оптики при λ → 0.

Независимость световых лучей заключается в том, что они при пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешают каждому из них распространяться независимо друг от друга.

На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а частично пройти через границу и распространяться во второй среде.

Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.

Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред равная относительному показателю преломления.

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:

Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл относительного показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ₁ к скорости их распространения во второй среде υ₂:

Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости света c в вакууме к скорости света v в среде:

Ферма принцип, основной принцип геометрической оптики. Простейшая форма принципа Ферма. – утверждение, что луч света всегда распространяется в пространстве между двумя точками по тому пути, по которому время его прохождения меньше, чем по любому из всех других путей, соединяющих эти точки. Время прохождения светом расстояния l, заполненного средой с преломления показателем n, пропорционально оптической длине пути S; S = 1•n для однородной среды, а при переменном n

.

Поэтому можно сказать, что принцип Ферма есть принцип наименьшей оптической длины пути.

Законы преломления и отражения могут быть получен на основе принципа Ферма. Пусть свет падает из точки А в точку В, отказавшись от поверхности MN. Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности его геометрической длины. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна АО’В=А’О’В (вспомогательная точка А’ является зеркальным изображением точки А). Очевидно, что наименьшей длинно обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которого угол отражения равен углу падения.

Рассмотрим теперь преломление лучей. Пусть луч распространяется из точки А в точку В.Эти точки находятся в средах с различными показателями преломления. Тогда произвольная оптическая длина между этими точками равна

Чтобы найти экстремальное значение, продифференцируем L по х и приравняем полученное выражение нулю:

Множители при n₁ n₂ равны соответственно sinα sinβ. Таким образом, мы приходим к соотношению

выражающему закон преломления.

Среду с меньшим абсолютным показателем преломления называют оптически менее плотной. При переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную n₂ < n₁ (например, из стекла в воздух) можно наблюдать явление полного отражения, то есть исчезновение преломленного луча. Это явление наблюдается при углах падения, превышающих некоторый критический угол α_пр, который называется предельным углом полного внутреннего отражения . Для угла падения α = α_пр sin β = 1 значение

sin α_пр = n₂ / n₁ < 1.

Если второй средой является воздух (n₂ ≈ 1), то формулу удобно переписать в виде

где n = n₁ > 1 – абсолютный показатель преломления первой среды.

Для границы раздела стекло–воздух (n = 1,5) критический угол равен α_пр = 42°, для границы вода–воздух (n = 1,33) – α_пр = 48,7°.

Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов, которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей.

Лекция 24

Оптическая система. Кардинальные плоскости. Формула оптической системы.

Прежде чем приступить к изучению оптических систем, необходимо ввести несколько определений.

Совокупность световых лучей образует пучок. Если лучи при своем продолжении пересекаются в одной точке, пучок называется гомоцентрическим. Гомоцентрические пучки бывают сходящимися и расходящимися. Частным случаем гомоцентрического пучка является пучок параллельных световых лучей.

Всякая оптическая система осуществляет преобразование световых пучков. Если система не нарушает гомоцентричности пучков, то лучи вышедшие из точки Р пересекутся в одной точке Р’. Эта точка представляет собой оптическое изображение точки Р.

Изображение называется действительным, если световые лучи в точке Р действительно пересекаются, и мнимым, если пересекаются продолжения световых лучей, проведенные в направлении обратном распространению света. Действительные изображения непосредственно освещают соответственным образом экран. Например, на экране будет наблюдаться светящаяся стрела после прохождения собирающей линзы. Мнимое изображение такого освещения не дает, но при использовании дополнительных оптических приборов мнимые изображения могут быть преобразованы в действительные. Это происходит в человеческом глазе – на сетчатке(экране) возникает действительное изображение.

Вследствие обратимости световых лучей источник света Р и изображение Р’ могут поменяться местами – точечный источник помещенный в точку Р’ будет иметь изображение в точке Р. С помощью оптической системы все бесконечное множество точек Р отображается в виде бесконечного множества точек Р’. Первое бесконечное множество называется пространством предметов, второе – пространством изображений.

Оптическая система представляет собой совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Оптическая система образованная сферическими поверхностями, называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту прямую называют оптической осью системы.

Пусть на центрированную оптическую систему падает параллельный пучок лучей. Этот пучок можно рассматривать, как вышедший из точечного источника, расположенного на бесконечности т.е. гомоцентрический пучок. Так как система не нарушает гомоцентричности, то по выходе из нее пучок должен остаться гомоцентричным. Следовательно, вышедший из системы пучок должен быть либо сходящимся, либо расходящимся. Точка F’, в которой пересекаются вышедшие из системы лучи, называется задним или вторым фокусом системы. Задний фокус представляет собой точку, сопряженную с точкой удаленной на бесконечность в пространстве предметов и лежащей на оптической оси системы. Бесконечно удаленной плоскости в пространстве предметов перпендикулярной оптической оси будет соответствовать в пространстве изображений плоскость, проходящая через задний фокус и тоже перпендикулярная оптической оси. Эта плоскость называется фокальной.

В пространстве предметов существует лежащая на оптической оси точка F, обладающая тем свойством, что вышедшие из нее или сходящиеся в ней лучи после прохождения через систему становятся параллельными оптической оси. Эта точка называется передним или первым фокусом системы, а проходящая через нее плоскость перпендикулярная главной оптической оси называется передней фокальной плоскостью.

Рассмотрим две произвольные сопряженные плоскости перпендикулярные оптической оси. Отрезок величиной длиной у, лежащей в плоскости в пространстве предметов, будет иметь своим изображением отрезок y’, лежащей в сопряженной плоскости. При этом изображение y’ может быть обращено либо в туже сторону, что и предмет либо в обратную. В первом случае изображение называется прямым, во втором обратным. Отрезки, откладываемые от оптической оси вверх, считаются положительными, вниз – отрицательными. Так как размеры предмета действительные то положительные размеры получаются добавлением “–“ для отрицательных величин.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным или поперечным увеличением:

Линейное увеличение – алгебраическая величина. Оно положительное, если изображение прямое, и отрицательное, если изображение обратное.

Оказывается существуют две сопряженные плоскости, которые отображают друг друга с линейным увеличением β=+1. Такая плоскость расположенная в пространстве предметов называется передней или первой главной плоскостью H, расположенная же в пространстве изображений – задней или второй главной плоскостью Н’. Точки пересечения этих плоскостей с главной оптической осью называются главными точками.

Также существуют узловые точки или узлы. Сопряженные лучи, проходящие через узлы, параллельны между собой. Перпендикулярные к оптической оси плоскости, проходящие через узлы, называются узловыми плоскостями.

Фокальные, узловые и главные плоскости называются кардинальными плоскостями оптической системы. Главные точки, фокусы и узлы называются кардинальными точками. Расстояние от передней главной точки до переднего фокуса называется передним фокусным расстоянием f. Аналогично – есть заднее фокусное расстояние f’. Фокусные расстояния – алгебраические величины. Они являются положительными, если фокус находится справа от соответствующей ему главной точки и отрицательными если слева.

Между фокусными расстояниями центрированной оптической системы, образованной сферическими поверхностями существует следующее соотношение

Где n – показатель преломления среды в пространстве предметов, n’ – показатель преломления среды в пространстве изображений. Отсюда следует, что если показатели преломления сред в пространстве предметов и изображений одинаков, то одинаковы по модулю и фокусные расстояния.

Величина

Называется оптической силой системы. Чем больше оптическая сила, тем сильнее система преломляет световые лучи, и следовательно тем меньше фокусное расстояние. Оптическая сила системы Ф измеряется в СИ в диоптрях Дп.

Если оптическая системы превращает параллельный пучок световых лучей в сходящейся, то она называется собирающей. Если параллельный пучок превращеатся в расходящийся, то оптическая система – рассеивающая. Оптическая сила собирающей оптической системы положительна а рассеивающей – отрицательна.