[ Будылин ] Лекции по математике. 3 семестр

где для векторов s1, s2, s3 были приняты естественные обозначения er, eθ, eϕ, соответственно.

11.3.3. Дивергенция в криволинейных координатах

Рассмотрим непрерывно дифференцируемое векторное поле a : Rn → Rn. Его дивергенция определяется равенством

d(ayΩ) = div a · Ω .

В криволинейных координатах форма объема имеет вид

Ω = σ1 . . . σn = h1 · . . . · hn du1 . . . dun .

Положим

n

a =

aisi ,

=1

тогда

Xi

n

n

(−1)i+1h1 ·. . . hi . . .·hnai du1 . . .

ayΩ =

(−1)i+1ai σ1 . . . σi . . . σn =

i . . . dun

=1

c

=1

c

du

и

Xi

Xi

d(a Ω) =

n

( 1)i+1

n

∂(h1

· . . . hi

. . . · hnai) du

du . . .

. . . du

Xi

X

y

−

c

j

1

du

n

n

=1

j=1

=

Xi

( 1)i+1

∂(h1 · . . . hi . . . · hnai)

du

du

. . .

. . . du

=

c

. . . du .

du

n

n ∂(h1 · . . . hi . . . · hnai) du

=1

−

∂ui

i

1

i

Xi

c

1

n

=1

∂ui

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 171 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Следовательно,						n
div a =			1				∂(h1	· . . . hi . . . · hnai)	.
		·		·		Xi
	h1		. . .		hn			c
						=1		∂ui

Напомним, что шляпка над одним из сомножителей означает его отсутствие в произведении.

В сферических координатах в трехмерном пространстве получим

1

∂(r2 sin θa

r

)

∂(r sin θa

θ

)

∂(ra )

div a =

+

+

ϕ

r2 sin θ

∂r

∂θ

∂ϕ

=

∂ar

+

2ar

+

1 ∂aθ

+

ctg θ · aθ

+

1

∂aϕ

.

(11.3)

∂r

r

∂θ

r sin θ ∂ϕ

r

r

11.3.4. Оператор Лапласа в криволинейных координатах

Как следствие двух предыдущих пунктов находим

1

n

∂

h1

· . . .

h . . .

·

h

∂f

4f = h1

n

· . . . · hn i=1

∂ui

hii

∂ui

X

c

1

n

∂

h1 · . . . · hn

∂f

=

.

h1

· . . . · hn i=1

∂ui

hi2

∂ui

X

Например, в сферических

координатах

в

трехмерном

пространстве,

см. форму-

лы (11.2), (11.3),

∂2f

2

∂f

1

∂2f

ctg θ

∂f

1

∂2f

4f =

+

·

+

·

+

·

+

·

.

∂r2

r

∂r

r2

∂θ2

r2

∂θ

r2 sin2 θ

∂ϕ2

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 172 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

11.3.5. Ротор в криволинейных координатах

Полагая

a = a1s1 + a2s2 + a3s3 ,

находим дуальную форму

α = a1σ1 + a2σ2 + a3σ3 = a1h1 du1 + a2h2 du2 + a3h3 du3 ,

откуда

dα =

∂u1

∂u2

∂u3

.

du2 ∂

du3

du3

∂

du1

du1

∂

du2

a h

1

a h

2

a

3

h

3

1

2

Вместе с тем,

byΩ = b1σ2 σ3 +b2σ3 σ1 +b3σ1 σ2 = b1h2h3 du2 du3 +b2h1h3 du3 du1 +b3h1h2 d1 du2 .

Тогда заключаем, что

1

∂(a3h3)

∂(a2h2)

1

∂(a1h1)

∂(a3h3)

1

∂(a2h2)

∂(a1h1)

rot a =

−

s1+

−

s2+

−

s3 .

h2h3

∂u2

∂u3

h1h3

∂u3

∂u1

h1h2

∂u1

∂u2

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 173 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

12.Понятие о точных и замкнутых формах

12.1.Теорема Пуанкаре

Дифференциальная k-форма ω называется замкнутой, если dω = 0. Она называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма α такая, что ω = dα. Форма α называется первообразной формой для формы ω.

Как было показано ранее, точная форма всегда замкнута (лемма Пуанкаре).

Теорема 12.1 (Пуанкаре). Замкнутая форма на звездной области является точной.

Доказательство. Будем считать, что область является звездной относительно начала координат. Для произвольной k-формы

ω =

i1<X k

fi1...ik dxi1 . . . dxik

...<i

определим (k − 1)-форму Jω, полагая

1

k

Z

X

X

Jωx =

tk−1fi1...ik (tx) dt

(−1)j−1xij dxi1 . . . [dxij . . . dxik .

i1<...<ik 0

j=1

Тогда, если dω = 0,

J(dω)x = J i1

n ∂fi1...ik

(x)

<...<ik i=1

∂xi

dxi dxi1 . . . dxik

X X

n

1

tk

i1

∂xki

dt xi dxi1 . . . dxik

= i1<...<ik i=1 Z

∂f

X X

...i

(tx)

0

n

Xj

1)j−1x

. . . [dx

= 0 ,

−

dx

i

(

−

dx

i1

. . .

dx

ik

=1

ij

ij

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 174 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

т.е.

n

1

n

tk

i1

∂xki

i1<...<ik i=1 Z

dt · dxi j=1(−1)j−1xij dxi1 . . . [dxij . . . dxik

X X

∂f

...i

(tx)

X

0

n

1

= i1

tk

i1

∂xki

dt · xi dxi1 . . . dxik

<...<ik i=1 Z

∂f

X X

...i (tx)

0

= i1<...<ik

1

tk dtfi1...ik (tx) dt · dxi1 . . . dxik .

Z

X

d

0

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 175 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Как следствие,

1

k

d(Jω)x = i1<...<ik d Z tk−1fi1...ik (tx) dt

j=1(−1)j−1xij dxi1 . . . [dxij

. . . dxik

X

0

X

1

k

Z

+ i1

<...<ik

tk−1fi1...ik

(tx) dt j=1(−1)j−1dxij dxi1 . . . [dxij . . . dxik

X

0

X

n

1

∂f

(tx)

k

= i1<...<ik i=1 Z

tk

i1

...i

j=1(−1)j−1xij dxi1 . . . [dxij

. . . dxik

∂xki

dt · dxi

X

X

0

X

1

k

X

Z

X

dxi1 . . . dxik

+

tk−1fi1...ik (tx) dt

i1<...<ik 0

j=1

= i1<...<ik

1

1

tk−1fi1...ik (tx) dt·k dxi1 . . . dxik

Z

tk dtfi1...ik (tx) dt·dxi1 . . . dxik +i1<...<ik Z

X

d

X

0

0

= i1<...<ik

1

tk dtfi1...ik (tx) + ktk−1fi1...ik (tx) dt · dxi1 . . . dxik

Z

X

h

d

i

0

1

dt tkfi1...ik (tx) dt · dxi1 . . . dxik

= i1<...<ik Z

X

d

0

= i1<...<ik tkfi1...ik

t=1

(tx) t=0dxi1 . . . dxik = ωx ,

X

т.е. ω = d(Jω).

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 176 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Заметим, что в ходе доказательства теоремы была получена формула для построения первообразной формы, т.е. формы α = Jω. Оператор J называют оператором гомотопии.

Вкачестве примера, найдем первообразную формы

ω= xy dy dz + y dz dx − (z + yz) dx dy .

Проверим, во-первых, замкнутость формы ω:

dω = (ydx + xdy) dy dz + dy dz dx − (dz + zdy + ydz) dx dy

= ydx dy dz + dy dz dx − dz dx dy − ydz dx dy = 0 .

Тогда

1	1	1
Z	Z	Z

Jω = t(tx)(ty)dt·(ydz−zdy)+ t(ty)dt·(zdx−xdz)− t[(tz)+(ty)(tz)]dt·(xdy−ydx)

0

0

0

xy

−

y

z

yz

2

2

= 4 (ydz

zdy) +

4

3 (zdx − xdz) − 3 +

(xdy − ydx)

=

2yz

+

y z

dx −

xyz

+

xz

dy +

xy

−

xy

dz .

3

4

2

3

4

3

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 177 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

12.2.Уравнения Максвелла

В качестве еще одного приложения теоремы Пуанкаре, рассмотрим с позиций исчисления дифференциальных форм уравнения Максвелла:

div E = ρ					(закон Гаусса) ,	(12.1)
div H = 0					(отсутствие магнитных зарядов) ,	(12.2)
rot E +	∂H			= 0	(закон Фарадея) ,	(12.3)
		∂t
rot H −	∂E			= j	(закон Ампера) .	(12.4)
		∂t

Здесь E = (Ex, Ey, Ez) — электрическое поле, H = (Hx, Hy, Hz) — магнитное поле, ρ — плотность заряда и j = (jx, jy, jz) — плотность тока. Уравнения рассматриваются при фиксированном времени t в трехмерном евклидовом пространстве R3 (т.е. здесь дивергенция и, конечно, ротор относятся к трехмерному случаю).

Удобно ввести четырехмерное пространство с координатами x, y, z, t. В этом пространстве введем формы

E = Exdx + Eydy + Ezdz ,

E = Eydx dy dz = Exdy dz + Eydz dx + Ezdx dy , H = Hydx dy dz = Hxdy dz + Hydz dx + Hzdx dy ,H = Hxdx + Hydy + Hzdz ,

j = jydx dy dz = jxdy dz + jydz dx + jzdx dy .

Тогда уравнения (12.2), (12.3) примут вид

d(E dt + H) = 0 ,

(12.5)

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 178 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

а уравнения (12.1), (12.4)

d( H dt − E) = j dt − ρ dx dy dz .

(12.6)

Чтобы убедиться в этом, положим Ω = dx dy dz и обозначим дифференциал по пространственным переменным через ∂. Тогда

dE = ∂E + dt ∂E∂tx dx + . . . ,

откуда

d(E dt) = dE dt = ∂E dt = (rot EyΩ) dt .

Далее,					∂H
	H
dH = ∂H + dt	∂	yΩ = div H · Ω +						yΩ dt .
	∂t				∂t
Складывая с предыдущим, получаем
				H
d(E dt + H) = div H · Ω + hrot E +			∂			yΩi dt .
			∂t
Аналогично,
d( H dt − E) = −div E · Ω + hrot H −					∂E			yΩi dt .
					∂t

Уравнениями Максвелла теперь приводят к формулам (12.5), (12.6). Заметим, что в силу уравнения (12.6)

d(j dt − ρ · Ω) = 0 ,

или в компонентах

∂j∂xx dx dy dz dt + ∂j∂yy dy dz dx dt + ∂j∂zz dz dx dy dt − ∂ρ∂t dt dx dy dz = 0 ,

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 179 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

что в векторных обозначениях дает (ввиду dt dx dy dz = −dx dy dz dt)

	div j +	∂ρ	= 0 .	(12.7)
		∂t

Это так называемое уравнение неразрывности.

Заметим, теперь, что в силу теоремы Пуанкаре, форма E dt + H является точной, т.е. существует первообразная 1-форма:

E dt + H = dα , α = Axdx + Aydy + Azdz − ϕdt + df ,

где f — произвольная дифференцируемая функция (форма α определена неоднозначно). Вектор A = (Ax, Ay, Az) называется векторным потенциалом, а функция ϕ — скалярным потенциалом. Они определены неоднозначно. Фиксируя f, положим

α = Gxdx + Gydy + Gzdz − gdt .

Разумеется, вектор G = (Gx, Gy, Gz) является векторным потенциалом, а функция g —

скалярным. Тогда

∂G

∂G

∂G

∂g

∂g

∂g

∂g

dα = rot GyΩ+

x

dt dx+

y

dt dy+

z

dt dz −

dx+

dy+

dz+

dt dt

∂t

∂t

∂t

∂x

∂y

∂z

∂t

∂G

∂g

∂G

∂g

∂G

∂g

= rot GyΩ − h

x

+

dx +

y

+

dy +

z

+

dzi dt ,

∂t

∂x

∂t

∂y

∂t

∂z

откуда

E = −∂∂tG − grad g ,

H = rot G .

Прежде чем воспользоваться оставшейся частью уравнений Максвелла (т.е. уравнением (12.6)), удобно фиксировать калибровочную функцию f так, чтобы

div G + ∂g∂t = 0 .

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 180 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход