[ Будылин ] Лекции по математике. 3 семестр

14.5.2.Потенциальные, соленоидальные и гармонические поля

Наряду с системой (14.4) рассмотрим две вспомогательные задачи:

(

div Y = b ,

(14.5)

rot Y = 0

и

(

div Z = 0 ,

(14.6)

rot Z = B .

Определение 14.10. Поле F называется потенциальным, если rot F = 0.

Примером потенциального поля является поле градиента (ротор градиента равен нулю). В случае звездных областей (или, более общо, стягивающихся в точку) любое потенциальное поле является полем градиента. Действительно, если rot F = 0, и обозначая через F 1-форму, дуальную вектору F, получим

dF = rot FyΩ = 0 ,

откуда по теореме Пуанкаре существует 0-форма (т.е. функция) U такая, что dU = F и, следовательно, F = grad U. Функцию U можно построить оператором гомотопии: U = J(F ). Она называется потенциалом поля F. Разумеется, потенциал определен не однозначно, а с точностью до константы.

p

Пример. Положим r = (x, y, z) и r = |r| = x2 + y2 + z2 и рассмотрим поле вида

F = ϕ(r)r ,

называемое центрально симметричным. Функцию ϕ будем считать непрерывно дифференцируемой. Заметим, что grad r = rr и rot r = 0, следовательно

grad ϕ(r) = rϕ = ϕ0rr = ϕ0(r) rr

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 221 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

и тогда

rot (ϕ(r)r) = r × (ϕr) = rϕ × r + ϕr × r = 0 .

Найдем потенциал этого поля19:

1	1	r
U = J[ϕ(r)(xdx+ydy+zdz)] = Z0	ϕ(tr)(tx·x+ty·y+tz·z) dt = Z0	ϕ(tr)tr2 dt = Z0	ϕ(s)s ds .

Определение 14.11. Поле F называется соленоидальным, если div F = 0.

Примером соленоидального поля является поле ротора (так как дивергенция ротора равна нулю). В условиях теоремы Пуанкаре любое соленоидальное поле является полем ротора. Действительно, пусть div F = 0. Тогда

d(FyΩ) = div F · Ω = 0

и по теореме Пуанкаре существует 1-форма α такая, что dα = FyΩ. По определению ротора вектор F является ротором векторного поля A, дуального форме α : F = rot A. Поле A называется векторным потенциалом поля F. Форма α может быть построена оператором гомотопии: α = J(FyΩ).

Задачи (14.5) и (14.6) можно охарактеризовать как задачу построения потенциального поля с заданной дивергенцией и задачу построения соленоидального поля с заданным ротором, соответственно. Если Y0 и Z0 являются, соответственно, решениями этих задач, то в силу линейности операций дифференцирования заключаем, что поле X0 = Y0 + Z0 является решением исходной задачи (14.4). Нетрудно описать произвол в решении. Если X любое другое решение (14.4), то поле H = X − X0 является решением задачи

(

div H = 0 ,

(14.7)

rot H = 0 .

19то же самое можно получить без привлечения оператора гомотопии, заметив, что rdr = xdx + ydy + zdz

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 222 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Поле H является одновременно потенциальным и соленоидальным и называется гармоническим. Ясно, что H = grad U, где потенциал U удовлетворяет уравнению

4U = 0 .

(14.8)

Решения уравнения (14.8) называются гармоническими функциями.

14.5.3.Поле Ньютона

Найдем в Rn соленоидальные центрально симметрические поля, полагая

r = x = v					x = xiei .
		n	xi2 ,
| |	ui=1				i=1
	uX				X

t

Заметим, что div x = n и как в трехмерном случае

grad (ϕ(r)x) = rϕ == ϕ0(r) xr

и, следовательно,

div (ϕx) = r · (ϕx) = hrϕ|xi + ϕr · x = ϕ0(r)r + ϕn .

Из условия соленоидальности div (ϕx) = 0 находим

rϕ0 + nϕ = 0 ,

откуда при условии ϕ 6= 0

(ln ϕ)0 = −nr ,

т.е.

C ϕ = rn .

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 223 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Поскольку полученный результат не зависит от выбора начала координат, заключаем,

	что при x 6= x0		x − x0
	div				= 0 .		(14.9)
		|x − x0|n
	Определение 14.12. Поле F вида
	F(x) =		(x − y)			f(y) dy ,
			|x − y|n
	DZ

где D — замкнутая (жорданова) область в Rn, называется полем Ньютона.

В силу (14.9)

x / D div F(x) = 0 .

Пусть теперь y D2 D1 и D = D1 r D2. Тогда ∂D = ∂D1 ∂D1 и по теореме Остроградского–Гаусса

0 = Z

divz

(zz −y n dz =

Z

h

z−

y|

nzi dSz −

Z

h

z−

y|

nzi dSz ,

y)

z

y N

z

y N

D

| − |

∂D1

|

− |

∂D2

|

− |

здесь индекс z указывает на то, в отношении каких переменных ведется дифференцирование или интегрирование, а вектор Nz считается вектором внешней нормали по отношению к областям D1 или D2. Выберем в качестве D2 шар радиуса ε с центром в

точке y, в этом случае hz − y|Nzi = |z − y| = ε и тогда

Z hzz− yy|

nzi dSz = εn−1

Z

dS = εn−1 · εn−1S1 = S1 ,

N

1

1

∂D1

| −

|

∂D2

здесь S1 — площадь поверхности единичного шара в Rn. Таким образом,

Z h

z−

y|

nzi dSz = (

1 ,

y D1 r ∂D1 .

(14.10)

z

y N

0 ,

y / D1 ,

∂D1

|

− |

S

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 224 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Nz

∂D1

∂D2

D y

Nz

Рис. 34: К интегралу Гаусса

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 225 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Эта формула называется интегралом Гаусса. Воспользуемся теперь формулой (14.2), считая, что x D. Тогда

div F(x) = D1→x V (D1)

Z

dSz Z

h

z−

y|

n i f(y) dy

lim

1

z

y Nz

∂D1

D

|

−

|

= D1→x V (D1) Z

h

S1 D1→x V (D1) Z

S1

·

Z

z−

y|

n i

z

lim

1

dy f(y)

z

y Nz

dS

=

lim

1

f(y) dy =

f(x) .

D

|

− |

D1

∂D1

Изменение порядков интегрирования оправдывается теоремой Фубини и равномерной сходимостью несобственных интегралов.

Остается заметить, что поле Ньютона является потенциальным. Действительно, если

ϕ0 =	1	, то при n > 2
	rn−1
		ϕ = −	1	и	grad ϕ =	r	,
			(n − 2)rn−2			rn

откуда

1Z f(y) dy

U(x) = −n − 2 |x − y|n−2

D

является (в силу теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру) потенциалом поля Ньютона F. В случае n = 2 получим ϕ = ln r и потенциал равен

Z

U(x) = ln |x − y| f(y) dy .

D

Таким образом, поле Ньютона вне области D является гармоническим полем. В области D оно дает частное решение задачи о построении потенциального поля с заданной

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 226 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

дивергенцией. Именно, потенциальное поле Y, с дивергенцией div Y = b с точностью до гармонического слагаемого имеет вид

	S1	DZ	|x − y|n
Y(x) =	1		x − y	b(y) dy ,	x		D .

Потенциал этого поля

U(x) =

− 1(n1					2) Z				x	b(y n−2 dy ,
										y)
	1	S		−		D		|		− |
				ln x y b(y) dy ,
			Z
S1				|	−		|

(n > 2)

(n = 2)

D

при x D дает частное решение уравнения Пуассона

4U = b .

Вне области D функция U является гармонической.

В трехмерном случае полученный результат доказывает теорему Гельмгольца о возможности разложения произвольного гладкого векторного поля на потенциальную и соленоидальную составляющие: если F — гладкое поле, то решая задачи

(

div Y = div F , rot Y = 0

и

(

div Z = 0 , rot Z = rot F

(сводя их к уравнениям Пуассона, как это было описано выше), получим требуемое разложение

F = Y + Z + ГАРМОНИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ .

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 227 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Приложения

A.Элементы топологии пространства Rn

B.Метод сжимающих отображений

C.Теорема о неявной функции

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 228 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

A.Элементы топологии пространства Rn

Определение A.1. Множество A Rn называется открытым , если любая точка множества A содержится в A вместе с некоторой окрестностью, т.е.

P A Br(P ) A ,

где Br(P ) = {Q Rn : |P Q| < r} — шар радиуса r с центром в точке P .

P

A

Рис. 35: К определению открытого множества

Определение A.2. A — замкнуто Rn r A — открыто.

Определение A.3. Точка P называется предельной точкой множества A, если она является пределом последовательности точек множества A:

Pn A :

Pn → P (т.е. |PnP | → 0) .

Теорема A.4. A — замкнуто A содержит все свои предельные точки.

Кратные интегралы

Интегралы на многообразиях

Приложения

Предметный указатель Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 229 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Доказательство.

Пусть Pn A, Pn → P , но P / A. Тогда P лежит в открытом дополнении к A и, следовательно, Br(P ) Rn r A. В шаре Br(P ) нет точек из A, что противоречит

условию Pn A, Pn → P .

Пусть P Rn rA. Тогда существует окрестность (шар) Br(P ), в которой нет точек из A (иначе точка P была бы предельной для множества A и, следовательно, принадлежала бы A). Как следствие, Rn r A — открыто.

Пусть A — произвольное множество в Rn. Для точек из Rn имеется три возможности:

1.Br(P ) A.

2.Br(P ) Rn r A

3.Br(P ) Q A ∩ Br(P ) и R (Rn r A) ∩ Br(P ).

Точки первого типа называются внутренними точками множества A и составляют от-

◦

крытое множество IntA = A A, называемое внутренностью множества A. Точки второго типа — внутренние точки дополнения к A — составляют внешность A. Точки третьего типа называются граничными и составляют границу ∂A множества A. В силу

◦

∂A = Rn r [A Int(Rn r A)] ,

граница множества — замкнута. Объединение множества A с его границей называют

замыканием множества A:

A = A ∂A .

Очевидно, что

A — замкнуто A = A .

Кратные интегралы Интегралы на многообразиях

Приложения Предметный указатель

Литература

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 230 из 245

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход