Ключевые моменты решения задач по теме "дифракция"

Обычно в задаче по теме "дифракция" требуется найти интенсивность дифрагированной волны в некоторой точке или в некотором направлении.

Интенсивность равна квадрату модуля комплексной амплитуды с коэффициентом c/8.

Комплексную амплитуду можно найти как векторную сумму комплексных амплитуд световых волн, пришедших от разных частей щели или другого вторичного источника света. Части удобно брать одинаковой площади.

Сумма амплитуд — это сумма (интеграл) маленьких векторов равной длины (для равных площадей разбиения вторичного источника), но по–разному ориентированных.

Угол поворота каждого вектора относительно оси X на комплексной плоскости равен kr = 2r/, где r = r₁+ r₂.

В качестве примера рассмотрим дифракцию Фраунгофера на одной щели.

Дифракция на одной щели

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны на щели, плоскость которой перпендикулярна направлению распространения волны.

Все вторичные источники в плоскости щели имеют одинаковую фазу. Поэтому при вычислении фазы излучения в точке наблюдения на экране за щелью остается учесть разность фаз, которая "набегает" от щели до экрана. Будем считать, что экран находится далеко от щели, что соответствует дифракции Фраунгофера. Подробнее дифракция Фраунгофера обсуждается ниже.

Рис. 30

Если экран далеко, то можно считать, что точки на пунктирной прямой AB (рис. 30) одинаково удалены от точки наблюдения. Тогда для участка щели с координатой, равной y, расстояние до точки наблюдения равно ysinплюс несущественная константа.

С изменением y—коорди­наты линейно меняется расстояние до экрана, а значит — фаза поля, и угол поворота комплексной амплитуды на комплексной плоскости. Если мы мысленно разобьем щель на тонкие полоски одинаковой ширины dy, то одинаковые по модулю комплексные амплитуды от соседних полосок в точке наблюдения будут развернуты друг относительно друга на равные углы (2/)dysin. Складывая много маленьких векторов, мы получим картину их выстраивания в дугу окружности, так как одинаковы амплитуды векторов и одинаковы углы поворота между соседними векторами (рис. 31).

Рис. 31

Векторная сумма — вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего. Если суммируемые векторы образуют дугу окружности, то результирующий вектор — ее хорда.

Интенсивность равна квадрату длины этой хорды и не изменяется при повороте комплексных амплитуд на комплексной плоскости. Следовательно, интенсивность не зависит от общего поворота векторов на рис. 31. Поэтому ориентацию начального вектора суммы можно выбрать произвольно. Обычно первый вектор направляют вдоль оси X.

Обсудим, что изменится в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении направления регистрации света.

Изменение угла между направлением наблюдения и нормалью к плоскости щели приводит к изменению угла dна комплексной плоскости между векторами комплексных амплитуд волн, пришедших в точку наблюдения от соседних участков щели:

d = dysin .

При сложении векторов на комплексной плоскости это приводит к изменению радиуса дуги окружности при сохранении длины дуги. Дуга несколько сворачивается или разворачивается (рис.32).

Рис. 32

Длина дуги равна сумме модулей комплексных амплитуд волн, пришедших от разных участков щели, поэтому она сохраняется при изменении направления наблюдения.

При условии = 0 дуга окружности разворачивается в прямую линию, что соответствует максимуму дифракционной картины, а квадрат длины дуги определяет интенсивность света в максимуме.

При увеличении угла наступает момент, когда амплитуда и интенсивность дифрагированного света равны нулю. Это происходит тогда, когда дуга (см. рис. 32) сворачивается в окружность, а длина хорды, соответственно, обращается в нуль. При этом фаза последнего суммируемого вектора отличается от фазы первого вектора на 2, а разность хода от двух краев щели до точки наблюдения равна. Следовательно, направлениенулевой интенсивности дифрагированной волны можно найти из равенства dsin=, где d — полная ширина щели. Если<< 1, то/d.

Большая часть энергии при дифракции на одной щели распространяется в угол 2/d. Это угол между двумя направлениями на первый нуль интенсивности дифрагированной волны в обе стороны от центрального максимума. Полезно запомнить, что на щели свет дифрагирует примерно в угол/d, так как для рассуждений "на пальцах" коэффициент 2 не имеет значения.

При дальнейшем увеличении угла дифракции интенсивность после нулевого значения снова возрастает, так как длина дуги становится больше длины окружности, а амплитуда света равна хорде, проведенной из начала в конец дуги. Максимум амплитуды достигается, когда дуга сворачивается примерно в полторы окружности. Далее при увеличении углаамплитуда и интенсивность снова убывают и обращаются в нуль при условии, что дуга сворачивается в две окружности: dsin= 2и т.д.

Количественно решение задачи можно найти, если выразить квадрат длины хорды (интенсивность для текущего угла ) через квадрат длины дуги (интенсивность в максимуме) и угол, под которым дуга видна из центра окружности. Этот угол, как видно из рис. 32, равен разности фаз излучения от краев щели, которая в свою очередь равна (2/)dsin. Оставшаяся часть решения задачи чисто геометрическая. В результате, интенсивность дифрагированного света выражается по формуле

I()=I(0),

где u = (/)dsin .

Решение можно найти и другим путем, складывая комплексные амплитуды аналитически, а не геометрически. При этом надо складывать комплексные числа с одинаковыми амплитудами (пусть E₀) и с разными фазами (2/)ysin, где y — координата на щели текущего вторичного источника. Тогда суммарная амплитуда E’ может быть получена по формуле

E’ = exp{isin }dy.

Интенсивность связана с комплексной амплитудой соотношением I = (c/8)|E’|². В окончательном выражении можно избавиться от параметра E₀, используя вместо него I₀— интенсивность при=0.

Что изменяется в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении других параметров задачи?

Если изменять ширину щели при сохранении направления наблюдения, то изменяется длина дуги окружности при сохранении ее радиуса. Значения амплитуды дифрагированной волны для двух значений ширины щели приведены на рис. 33.

Если изменять интенсивность падающей волны, то картина сложения амплитуд дифрагированных волн будет меняться так, как изображено на рис. 34.

Рис. 33

Рис. 34