- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие.
- •Оглавление
- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Статья 1.Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. Краткое содержание статьи.
- •Сколько искомых окружностей?
- •Фундаментальные понятия:
- •Определение и основные свойства инверсии:
- •Перпендикуляр, опущенный на окружность.
- •Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)
- •Вопросы.
- •Статья 2.Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. Краткое содержание.
- •Формулировка теоремы.
- •Стандартное или школьное доказательство.
- •Второе доказательство.
- •Третье доказательство.
- •Снова про инверсии.
- •Уточнение и мнимая инверсия.
- •Пучки окружностей
- •Дополнение о прямых и точках на плоскости.
- •Связь пучков окружностей и пучков прямых.
- •Статья 3.Разные теоремы про окружности. Краткое содержание статьи.
- •Три взаимнокасающиеся окружности.
- •Биссектриса и система касающихся окружностей.
- •Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.
- •Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.
- •Тройственные симметрии.
- •Четыре касающиеся друг друга окружности.
- •Четыре касающиеся друг друга сферы.
- •Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.
- •Статья 4.Моделирование проективной геометрии с помощью геометрии окружности и сферы. Краткое содержание статьи.
- •Моделирование проективной плоскости. А-отображения.
- •Алгебраические свойства а-отображений и их геометрическое истолкование.
- •Моделирование проективного пространства.
- •Приложение. Основные свойства пучков окружностей.
- •Ортогональность и пучки.
- •Статья 5.Исчисление симметрий. Краткое содержание статьи.
- •Сопряженные движения.
- •Композиция симметрий на плоскости.
- •Композиция симметрий относительно четырех прямых.
- •Композиция симметрий относительно трех прямых.
- •Определение абстрактной группы движений.
- •Композиция пяти инверсий.
- •Немного о симметриях в пространстве.
- •Биплетная симметрия, или симметрия относительно пары точек.
- •Статья 6.Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). Краткое содержание статьи.
- •Окружность, ортогональная трем данным.
- •Три окружности Лобачевского.
- •Римановы окружности и евклидовы окружности.
- •Новые свойства трех окружностей.
- •Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского.
- •Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского.
- •Теорема о трех неподвижных точках.
- •Биссектрисы или серединные окружности.
- •Снова задача Аполлония.
- •Статья 7.Моделирование геометрий Лобачевского, Евклида и Римана в геометрии окружности. Краткое содержание статьи.
- •Объемная модель различных геометрий.
- •Окружности в разных геометриях.
- •Плоская модель различных геометрий.
- •Связь плоской и пространственной моделей.
- •Плодотворность плоской модели.
- •Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике».
- •Изогональные окружности.
- •Ориентация и расположение углов.
- •Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.
- •Статья 8.Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. Краткое содержание статьи.
- •Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6)
- •Однотипные задачи на построение.
- •Построение изогональных окружностей к трем данным а, в, с и завершение задачи Аполлония.
- •Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению.
- •Алгоритм для задачи Аполлония.
- •Теорема о композиции инверсий одного пучка.
- •Геометрические выводы.
- •Статья 9.Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями. Краткое содержание статьи.
- •Теорема об отображении трех точек.
- •Шесть замечательных точек.
- •Подсчет углов в трехокружнике.
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие.
Ниже я вкратце очерчу содержание статей. Но в начале я постараюсь объяснить, почему вообще стоит заниматься геометрией окружности. Для меня она интересна и бесценна сама по себе. Но я думаю, что из нее можно получить и пользу, как и для других разделов математики, так и методическую, для преподавания. Трудно назвать в какой-либо другой части геометрии теоремы, которые проще всего доказать используя методы и идеи теории групп, а геометрия окружности почти начинается с них. Она объединяет в себе геометрии Евклида, Римана и Лобачевского. Также в нее вплетены темы анализа и топологии.
Хотя исторически геометрия окружности очевидно изучалась: она присутствует в религиозном искусстве почти всех народов – сегодня она на положении пасынка в математики. Что-то из теорем о прямых или треугольниках помнят почти все: «пифагоровы штаны на все стороны равны» или «биссектриса это крыса…», но не только дилетанты могут не знать ни одной теоремы геометрии окружности. Я стараюсь восполнить этот пробел. К сожалению очень интересные темы, показывающие связь геометрии окружности с фракталами и законами эстетики – не уместились в мои скромные статьи. Но можно посмотреть мои опыты на сайте http://revolt33.narod.ru или скачать программу, пройдя по этой ссылке. http://revoltp.livejournal.com Я надеюсь в следующей серией статей объяснить эти темы.
В изложении большую роль играют рисунки. Я надеюсь в дальнейшем вывесить необходимое в интернете. Некоторые можно найти по указанной ссылке. А пока – довольно подробно описываю их словесно. Самостоятельное (пусть и не очень точное) построение этих рисунков – будет неплохим упражнением для читателя.
Укажу три замечательные книги, в которых содержатся подробные доказательства тех теорем, на которые я просто ссылаюсь без доказательств или которые просто полезно прочитать в связи с излагаемым мною. Коксетер «Геометрия», Гильберт «наглядная геометрия», Бахман «Построение геометрии на основании понятия симметрии». Впрочем, я стараюсь писать так, чтобы предварительное знакомство с литературой не требовалось.
В 19-ом веке геометрией окружности занимались швед Магнус, немец Мебиус, норвежец Софус Ли и знаменитый Пуанкаре. В отличие от них (насколько мне известно по источникам) – я стараюсь рассматривать геометрию окружностей методами ее самой.
Я называю разделы «Статьями» а не «Главами», поскольку я старался сделать их максимально независимыми друг от друга. Тем не менее, незнакомым с основными свойствами инверсии – надо прочитать ее определение в ст. 1, иначе все остальное будет непонятным. Также не обойтись и без ст. 2 – ее идеи витают повсюду в тексте. Впрочем, сам я прочитал очень мало книг по математики «от корки до корки, страница за страницей». Я находил в них самое интересное, и когда окончательно переставал понимать – искал объяснения и определения в начале, в пропущенном. Пожалуй, именно такого читателя я представлял себе.
В статье 1. я излагаю новый метод решения знаменитой задачи Аполлония об окружности, касающейся трех данных и даю необходимые для этого определения инверсии, указываю ее основные свойства и определяю что такое ортогональные окружности. Те, кто уже знаком с этими определениями могут очень бегло их пролистать. В статье 2 я доказываю разными способами давно известную теорему о пересекающихся окружностях. Я даю разные доказательства не только потому, что они изящны, но и, главным образом, потому, что они позволяют обобщить эту теорему. Эта теорема дает возможность определить инверсию через три пересекающиеся окружности или через четыре точки лежащие на одной окружности и занимает одно из важнейших мест в геометрии окружности. Также в статье определяется фундаментальное понятие пучка окружностей.
В статье 3 доказываются различные теоремы про окружности, причем доказательства используют методы теории групп (перестановки четырех или трех элементов), не требуя предварительного знакомства с этой теорией. В статье 4 моделируется проективное пространство на основе понятия ортогональных окружностей и суммируются основные свойства пучков окружностей. Те, кто заинтересован исключительно геометрией окружности, могут пропустить все связанное с проективным пространством.
В статье 5 систематически изучаются композиции инверсий – для прояснения идей статья начинается с изучения композиций симметрий относительно прямых на плоскости. По ходу дела в статье даются некоторые определения теории групп. Также в статье рассматриваются симметрии в трехмерном пространстве и указывается на их родственность с симметриями геометрии окружности. Вводится очень важное понятие «биплетной симметрии».
В статье 6 излагаются разные задачи геометрии окружности, в том числе изучаются различные свойства трех окружностей. Три окружности играют в геометрии окружностей такую же фундаментальную роль, как треугольник в геометрии Евклида. Более того, как показано в статье 7 – изучение «трехокружников» позволяет удобно моделировать евклидовы и неевклидовы геометрии и доказывать теоремы всех эти геометрий одновременно. В статье вводится понятие изогональных окружностей и используя его доказывается теорема о пересечении биссектрис между окружностями.
В статье 8 завершается разбор задачи Аполлония и решаются однотипные задачи на построение касательных или ортогональных окружностей в разных ситуациях. В статье 9 завершается начатый в статье 3 разбор свойств четырех взаимнокасающихся окружностей, доказывается теорема о задании композиции инверсий ее значениями на трех точках и изучаются свойства углов между окружностями.
Конечно, многие теоремы излагаемые мною известны специалистам, но, я полагаю метод и идеи, предлагаемые мною – новы и более просты, чем известные ранее.
Револьт Пименов. С-Петербург-Берегово. 2006-2007
Ранее на тему геометрии окружности мною написана статья «Математическое просвещение» (№3, 1999 год), проведено несколько занятий в Герценовском Педагогическом университете с магистрантами проф. Н. С. Подходовой, выступление на международной конференции в этом университете и проведен кружок в математической школе №239 С-Петербурга. Также компьютерные программы, основанные на геометрии окружности демонстрировались ученикам школы г. Петрозаводска.