Алгоритм для задачи Аполлония.

Резюмируем проделанную работу. Опишем алгоритм построения окружности, касающейся данных А, В, С. Точнее, алгоритм нахождения касания этой окружности с одной из трех данных, напр. с А.

1. Возьмем произвольную точку Х на А. Проведем через нее окружность, ортогональную А и В. Из двух точек пересечения этой окружности с В выберем любую.

2. Из выбранной точки проведем окружность, ортогональную В и С. Из двух точек ее пересечения с С – выберем любую.

3. Проведем окружность G через Х и две выбранные в п. 1 и 2 точки. Обозначим вторую точку пересечения этой окружности с А – Y. (Если проведенная окружность G касается А, то она касается и В и С).

4. Проведем окружность I, ортогональную А, В, С. Она пересечет окружность а в точках I1 и I2.

5. Проведем окружность W через I1 и I2, ортогональную А и окружность V через Х и Y, также ортогональную А.

6. Если W и V пересекаются, то искомых точек нет (F – задает мнимую инверсию). Надо попробовать иначе выбрать точки из пар пересечения D и C с ортогональными им окружностями (пп. 1. и 2.).

7. Если W и V не имеют общих точек, то центры мнимого пучка, образованного W и V и будут искомыми.

Примечание. Проведение окружности I, ортогональной А, В, С может быть довольно громоздко. Кроме того, она существует только если А, В, С – окружности Лобачевского.. Можно обойтись и без него: взять еще одну точку X1 на А, выполнить построения пп. 1-3. Полученную точку обозначим Y1. Далее строим окружность W не на точках I1, I2, а на точках X1, Y1. Пункты 6 и 7 оставляем без изменений.

Заметим, что в предложенном алгоритме совсем не говорится о биссектрисах, что сильно упрощает построение.

Алгоритм находит точки касания окружности О (касающихся данных А, В, С) с окружностью А. Точнее, он находит две точки касания окружности А с окружностями О1 и О2, каждая из которых касается еще и окружностей В и С. При этом О1 и О2 симметричны относительно окружности, коммутирующей с А, В, С. чтобы построить окружности О1 и О2 надо найти еще их точки касания с окружностями В и С. Проще всего это сделать, инвертировав полученные точки касания относительно использованных биссектрис S и H. Это можно сделать, напр., как и ранее: через построенную точку провести окружность, ортогональную А и В и т.п. Можно найти точки касания с В и С и по-другому, просто выполнив предложенный алгоритм на этих окружностях. но тут важно не ошибиться в биссектрисах, чтобы не получить на В и С точки других окружностей, также касающихся А, В и С.

Заметим еще, что, как было сказано F=T*H*S – инверсия, ортогональная А, и F1=S*T*H – инверсия, ортогональная В, F2=H*S*T – инверсия, ортогональная С. Теперь, пользуясь этими равенствами (достаточно первого F=T*H*S), выясним, когда искомой окружности не существует. Как было показано, ее нет, когда инверсия F – мнимая. Когда же F – мнимая?

Теорема о композиции инверсий одного пучка.

Каковы бы не были инверсии T, H, S, лежащие в одном пучке, их композиция будет мнимой инверсией тогда и только тогда, когда среди этих инверсий одна или три – мнимые. Доказательство.

1. Если композиция T*H*S – мнимая инверсия, то все эти инверсии лежат во мнимом пучке (т. к. в действительном или касающемся пучке не существует мнимых инверсий).

2. Композиция трех действительных инверсий одного пучка – всегда действительная инверсия.

3. Композиция двух мнимых инверсий – всегда действительная инверсия. (В этом можно убедиться на пучке концентрических окружностей, см. ст. 4, когда эта композиция есть подобие).

4. Поэтому если среди Н и S – мнимые инверсии или T и H –мнимые инверсии, а оставшаяся инверсия – действительная, то T*H*S – действительная инверсия, поскольку мы можем заменить композицию двух мнимых инверсий двумя действительными, то вся композиция сведется к композиции трех действительных инверсий, которая всегда действительна.

5. Если T и S – мнимые, а H – действительная, то мы не можем просто переставить из в композиции T*H*S. Но можно воспользоваться понятием о сопряженных элементах группы движений (см. ст. 5) Рассмотрим композицию К=S*T*H. К – действительная инверсия, т.к. S и T – мнимые. подействуем на неподвижную окружность инверсии К инверсией S. Получим инверсию S*(S*T*H)*S^-1= T*H*S (раскрыли скобки и воспользовались инволютивностью S). Т.к. К – действительная инверсия, то и S(K) – действительная инверсия, что и требовалось.

6. Докажем, что если в композиции всего одна мнимая инверсия, напр. Н, то результат – мнимая инверсия. Докажем от противного. Пусть результат – действительная инверсия К. К=T*H*S, следовательно H=T^-1*K*S^-1=T*K*S справа – композиция трех действительных инверсий, значит, H – тоже действительно. Противоречие.

7. Композиция трех мнимых инверсий по п. 3 сводится к композиции, где всего одна мнимая инверсия и две действительных. А эта композиция, по пред. пункту – мнимая. Что и требовалось.

Мы перебрали все случаи и убедились, что T*H*S будет мнимой инверсией, только если среди трех биссектрис одна мнимая или все три мнимые.