Римановы окружности и евклидовы окружности.

Рассмотрим случай, когда три окружности А, В, С – римановы, т.е. одна из окружностей разделяет точки пересечения двух других.

Рисунок 6.

(Три римановы окружности А, В, С, точки пересечения А и В – Q1, Q2, точки пересечения В и С – Т1 и Т2, А и С – Р1 и Р2. Окружность S1, проходящая через точки Р1, Q2, Т1 и окружность S2, проходящая через точки Р2, Q1, T2).

Если в этом случае мы построим окружности на точках пересечения А с В, В с С, А с С аналогично тому, как это сделано на рис. 5 и разобьем, как и в предыдущем случае на пары, то ни одна окружность не пересечется с парной ей.. Это прямо следует из того, что инверсия I, коммутирующая с А. В, С и меняющая местами точки пересечения: I(P1)=P2, I(Q1)=Q2, I(T1)=T2 – мнимая (см. ст. 2 или ст. 3) и приведенной ранее леммы о том, что окружности, сопряженные относительно мнимой инверсии – не могут пересекаться.

Мы можем найти центр и радиус этой мнимой инверсии I. Центр – как точку пересечения прямых (Р1, Р2) и (Q1, Q2) и (T1, T2), радиус – исходя из определения инверсии через длины. (см. ст. 2).

Если же три окружности А, В, С – евклидовы, т.е. все проходят через одну точку, то не существует инверсии (действительной или мнимой) коммутирующей с А, В и С. Это можно доказать, например, осуществив инверсию с центром в этой общей точке. Тогда три окружности перейдут в прямые. Предлагаю доказать самостоятельно, что для трех прямых в общем случае не существует окружности, ортогональной им всем. Заметим одно исключение: если все три окружности имеют не одну, а целых две общие точки – то, разумеется есть бесчисленное количество ортогональных им окружностей.

Обратим внимание на следующее: случай евклидового расположения окружностей можно воспринимать как результат предельного перехода из Риманова или Лобачевского случая. Или, как пограничный между этими двумя случай.

Новые свойства трех окружностей.

Если мы проведем окружность D через общую точку пересечения трех евклидовых окружностей А, В, С, то она, очевидно, вместе с любыми двумя окружностями из А, В, С – снова образует «Евклидов трехокружник». Если же мы проведем окружность D через пару точек пересечения двух римановых окружностей (например, через пересечение А и В), то трехокружники В, С, D и А, D, С – снова будут римановыми (например, потому, что D ортогональна мнимой инверсии I, ортогональной А, В, С, т.к. D проходит через пару сопряженных этой инверсией точек). Мы можем провести новую окружность D1 через пару точек пересечения каких-либо двух из уже четырех имеющихся окружностей, она, в совокупности с двумя другими – снова образует трехокружник Римана (или эти три окружности образуют один пучок). Так мы получаем семейство окружностей любые три из которого (не лежащие в одном пучке) – образуют трехокружник Римана. И все окружности семейства – ортогональны одной и той же мнимой инверсии I.

Если называть «трехокружником Лобачевского» и тройки окружностей, где могут быть и две касающиеся друг друга или вовсе не пересекающиеся (это логично, т.к. в этом случае третья окружность никак не может разделить «точки пересечения двух других») – то аналогичное свойство обнаруживается и у трех окружностей Лобачевского. Если провести окружности D, D1, D2, D3… через пары точек пересечения окружностей Лобачевского, то получаем семейство окружностей, любые три из которого образуют трехокружник Лобачевского. И, разумеется, все они ортогональны действительной инверсии I.

Заметим еще, что если А, В, С – ортогональны некоторой окружности I (действительной или мнимой), то А(В), А(С), В(С) и все дальнейшие окружности, получаемые инверсиями из трех данных – снова будут ортогональны относительно I. Также, если воспользоваться терминами статьи 5, можно сформулировать: преобразования, полученные композициями инверсий коммутирующих с данной I –образуют подгруппу в группе всех преобразований плоской геометрии окружности.