Примеры

Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью (>0).

Исходные данные:

точность epsвещественный тип,

член последовательности а – вещественный тип.

Результат:суммаS– вещественный тип.

Тестовый пример:

при eps=10^-4,S=0.0482.

При вычислении суммы бесконечного ряда, члены ряда с увеличением номера стремятся к нулю. Это происходит потому, что значение знаменателя быстро растет и в конце концов достигает очень большого значения, что приводит к ошибке переполнения. Чем выше точность, тем легче получить такую ошибку. В некоторых ситуациях этого модно избежать, если использовать рекуррентную формулу, т.е. выразить новый член ряда через предыдущий.

Рассмотрим примеры построения рекуррентной формулы.

Даны действительные числа x,(x0,>0). Вычислить с точностью:

Попробуем выразить формулу для a_k+1черезa_k.

Таким образом:

Исходные данные:

x– вещественный тип,

eps– вещественный тип,

член последовательности а – вещественный тип.

Результат:

сумма S– вещественный тип.

Тестовый пример:

при eps=10^-4,x=1,S=1.6488.

Следует обратить внимание, что так как рекуррентная формула составлена для a_k+1, увеличениеkна единицу выполняется после вычисленияa.

Рассмотрит еще пример построения рекуррентной формулы:

В некоторых числовых последовательностях требуется получать элементы до тех пор, пока разность между элементами не достигнет заданной точности: |a_n-a_n-1|<. В этом случае надо сохранять в памяти два элемента последовательности.

25. 

Дано действительное число  (>0). Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону:

Найти первый член a_n(n2), для которого выполняется условие |a_n-a_n-1|<.

Исходные данные:

eps– вещественный тип,

элемент a_n-1а1 – вещественный тип,

элемент a_nа2 вещественный тип

Результат:

элемент a2 - вещественный тип.

Тестовый пример:

при eps=10^-4,a2=0.14.

Задание 3 Написать и отладить программу для примера 23. Контрольные вопросы

1. Почему при вычислении суммы бесконечной последовательности можно ограничить количество членов.

2. Почему в проверке на достижение точности член ряда указан по модулю.

3. В какой ситуации при вычислении с заданной точностью, несмотря на увеличение члена ряда с ростом n, можно завершить вычисления в цикле.

4. Почему рекомендуется получать рекуррентное соотношение для вычисления суммы ряда, который содержит факториал и возведение в целую степень.

5. Можно ли для примера 1 построить рекуррентное соотношение.

6. Если в примере 2 условие выхода из цикла будет не значение элемента меньше , а значение разности меньше. Количество слагаемых будет больше или меньше.

Индивидуальные задания

1. Даны действительные числа х, (х0,>0). Вычислить с точностью.

2. Даны целое число n, действительные числа х, (х0,>0). Вычислить с точностью.

3. Дано действительное число х. Вычислить с точностью 10^-6.

4. Даны действительные числа х, (х0,>0). Вычислить с точностьюбесконечную сумму и указать количество учтенных слагаемых:

5. Дано действительное число х. Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону:

Получить a₁+ …+a_k, где k – наименьшее целое число, удовлетворяющее двум условиям: k>10 и |a_k+1|<10^-5

6. Даны действительные числа x и ε (x≠0, ε > 0). Вычислить сумму с точностью ε и указать количество учтенных слагаемых

7. Дано действительное число (>0). Вычислить , учитывая только те слагаемые, в которых множитель 1/3ⁿимеет величину не меньшую, чем.

8. Дано действительное число (>0). Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону:

Найти сумму до первого члена a_n(n2), для которого выполняется условие |a_n-a_n-1|<.

9. Дано действительное число (>0). Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону:

n-корней

Найти первый член an (n2), для которого выполняется условие |a_n-a_n-1|<.

10. Дано действительное число (>0). Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону:

Найти первый член an (n2), для которого выполняется условие |a_n-a_n-1|<.

11. Даны целое число n, действительные числа х, (х0,>0). Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону: a₁=x; далее, для n=2,3, … выполнено:

Вычислить сумму первых членов a_n(n≥2), для которых выполнено условие:

|a_n–a_n-1|<ε. (ограничиться рассмотрением первых 10⁴членов).

12. Даны действительные числа x и ε (ε > 0). Последовательность a₁, a₂, … образована по следующему закону: a₁= x; далее, для n=2, 3, … выполнено:

Вычислить сумму первых членов a_n(n≥2), для которых выполнено условие: |a_n–a_n-1|<ε. (ограничиться рассмотрением первых 10⁴членов).

53