1. Промежутки возрастания и убывания дифференцируемой функции. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Функция f(x) называется возрастающей на интервале (a;b)C D(f), если для любых двух точек x₁,x₂ принадлежит (a,b) из неравенства x₁<x₂ следует, чтоf(x₁)<f(x₂); убывающей на интервале (a;b)C D(f) , если из неравенства x₁<x₂ следует, что f(x₁)>f(x₂); невозрастающей на интервале (a;b)C D(f) , если из неравенства x₁<x₂ следует, что f(x₁)≥f(x₂), и неубывающей на интервале (a;b)C D(f), если из неравенства x₁<x₂ следует, что f(x₁)≤f(x₂). Очевидно, что функция f(x) возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция g(x)=-f(x); аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• решить неравенства f’(x)>0 и f’(x)<0 на области определения;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

.

2. Достаточные условия существования максимума или минимума функции.

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точкусмены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

• если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

• если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• решить неравенства f’(x)>0 и f’(x)<0 на области определения;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

3. Наибольшие и наименьшие значения непрерывной функции на отрезке.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a; b].

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].

2. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

3. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

Говорят, что функция y=f(x), определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство f(x)≤f(a) (f(x)≥f(a)).

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.