Из генеральной совокупности , распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:

1. Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению выборки:

2. Построить полигон относительных частот;

3. Построить график эмпирической функции распределения;

4. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

1.0.

5,6	5,8	5,0	5,4	5,2	5,8	5,2	5,6
5,6	5,6	5,4	5,0	5,4	5,8	5,4	5,6
5,4	5,2	5,4	5,4	5,6	5,0	6,0	5,8
5,2	5,8	5,6	5,8	6,0	5,2	5,8	6,0
6,2	5,4	6,2	5,6	6,0	5,6	5,2	5,6

Составим вариационный ряд. Напомним, что вариационным рядом называется последовательность наблюдаемых значений признака , расположенных в неубывающем порядке ,,…,, где …. Следовательно, в нашей задаче вариационный ряд запишется так:

5,0	5,0	5,0	5,2	5,2	5,2	5,2	5,2
5,2	5,4	5,4	5,4	5,4	5,4	5,4	5,4
5,4	5,6	5,6	5,6	5,6	5,6	5,6	5,6
5,6	5,6	5,6	5,8	5,8	5,8	5,8	5,8
5,8	5,8	6,0	6,0	6,0	6,0	6,2	6,2

Составим статистический ряд распределения данной нам выборки

	5,0	5,2	5,4	5,6	5,8	6,0	6,2
	3	6	8	10	7	4	2

- варианты, - частоты.

Найдем объем выборки

.

Относительная частота вычисляется по формуле .

Запишем выборочный ряд распределения

	5,0	5,2	5,4	5,6	5,8	6,0	6,2

.

Размах выборки , т.е. в нашем случае.

Построим полигон относительных частот

Вычислим выборочную среднюю

= =()==5,56.

Построим график эмпирической функции распределениягде( число вариант, меньших, чем значение аргумента ).

Вычислим выборочную дисперсию, где в нашем случае=()==31,012

.

Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение

Вычислим "исправленную" дисперсию , которая выражается формулой

(в нашем случае )

и "исправленное" среднее квадратическое отклонение .

Модой называется варианта с наибольшей частотой, т.е. в нашей задаче. Медиана- варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. в нашей задаче.

Найдем с надежностью =0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Так как по условию задачи генеральная совокупность x распределена по нормальному закону и объем выборки равен n=40, то искомый доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид

,

где - среднее квадратическое отклонение, а величинаt определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

Следовательно, в нашем случае последнее равенство принимает вид . Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласанаходим значениеt=1,96. Величина была найдена ранее:и.

Вычислим ..

Учитывая, что , доверительный интервал для оценки математического ожидания запишетсяили, окончательно,.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины находится по формуле , гдеs - "исправленное" среднее квадратическое отклонение, а  находится по формуле , где величинаq определяется по специальной таблице значений функции .

Найдем для нашей конкретной задачи:

q=q(0,95;40)=0,24; =sq=0,3210,24=0,077. Следовательно, или окончательно.

На этом решение задачи 1 закончено.

Задача 2.

Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности и представленной интервальным рядом (в первой строке указаны интервалы значений исследуемого количественного признакаX генеральной совокупности; во второй – частоты , т.е. количество элементов выборки, значенияпризнака которых принадлежат указанному интервалу), требуется:

1) Построить полигон относительных накопленных частот (кумулятивную кривую);

2) Построить гистограмму частот и гистограмму относительных частот;

3) Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, моду и медиану;

4) Проверить на уровне значимости гипотезу о нормальном распределении признакагенеральной совокупности по критерию согласия Пирсона;

5) В случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признакагенеральной совокупности.

2.0.

	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17
	10	70	450	970	860	330	60

.

В нашем случае n=2750.Тогда на основе данной таблицы построим интервальный статистический и интервальный выборочный ряды распределения, сведенные в одну таблицу.

i	1	2	3	4	5	6	7
	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17
	4	6	8	10	12	14	16
	10	70	450	970	860	330	60
	0,0036	0,0255	0,1636	0,3527	0,3127	0,12	0,0218
	0,0036	0,0291	0,1927	0,5454	0,8581	0,9781	1

Построим полигон относительных накопленных частот (кумулятивную кривую);

Построим гистограмму частот.

В нашем случае исследуемый признак X может принимать значения на отрезке [3;17]. Интервальная группировка выполнена таким образом, что длина каждого интервала равна h=2. Площадь прямоугольника, построенного на i-ом интервале, должна равняться . Это значит, что высотаi-го прямоугольника будет .

На остальных интервалах прямоугольники строятся аналогично.

Если высотуi-го прямоугольника определим как , то получим гистограмму относительных частот, которую можно рассматривать как аналог дифференциальной функции распределения в теории вероятностей.

Для того, чтобы найти выборочную среднюю, воспользуемся формулой

, где k - количество интервалов, n - объем выборки.

.

Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой . В случае интервальной группировкинаходится по формуле

=.

Теперь можно окончательно вычислить выборочную дисперсию

.

Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Отыщем выборочный коэффициент вариации

.

Найденное значение выборочного коэффициента вариации дает наглядное представление о степени относительного рассеяния исследуемого признака.

Отыщем значения "исправленной" дисперсии и "исправленного" среднего квадратического отклонения , .

Для отыскания моды в случае интервальной группировки используем формулу, где- левая граница интервала, имеющего наибольшую интервальную частоту,h - шаг (длина интервала группировки), ,R - размах выборки, k - количество интервалов, - наибольшая интервальная частота,- интервальная частота интервала, расположенного слева от интервала с наибольшей интервальной частотой,- интервальная частота интервала, расположенного справа от интервала с наибольшей интервальной частотой.

В нашем случае .

Значение медианы для случая интервальной группировки отыщем по формуле, где- левая граница интервала, содержащего медиану,n - объем выборки, h - шаг, - интервальная частота интервала, содержащего медиану,- интервальные частоты всех интервалов, расположенных слева от интервала, содержащего медиану.

Найдем значение медианы для нашей конкретной задачи .

Далее начнем суммировать интервальные частоты слева направо до тех пор пока сумма интервальных частот не превзойдет .Номер последней прибавленной частоты будет совпадать с номером интервала, содержащего медиану распределения: 10+70+450+970=1500>1375. Следовательно,=9,.

Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о нормальном распределении признакаx генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.

Для нашей задачи все условия применимости метода Пирсона выполняются: , для любого интервала.

Проверка гипотезы нормальности по критерию Пирсона основана на сравнении эмпирического и гипотетического распределений, точнее, на сравнении эмпирических и гипотетических интервальных частот. Мера близости между ними оценивается статистикой Пирсона:

, где - интервальные (эмпирические) частоты,- интервальные теоретические частоты,- теоретические вероятности попадания переменнойx в i-ый интервал группировки, ,- левая границаi-го интервала, - правая границаi-го интервала.

При этом теоретические вероятности рассчитываются в предположении нормальности распределения случайной величиныx по формуле:

, где и функцияесть плотность стандартного нормального распределения, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Вычисление наблюдаемого значения статистики Пирсона организуем в форме расчетной таблицы. Для заполнения таблицы нам понадобятся величины,,.

i
1	(3;5)	4	10	6,785	3,182	0,0025	0,0023	6,325	3,675	13,506	2,135
2	(5;7)	6	70	4,785	2,244	0,0325	0,0305	83,87	-13,87	192,516	2,295
3	(7;9)	8	450	2,785	1,306	0,1691	0,1586	436,15	13,85	191,823	0,440
4	(9;11)	10	970	0,785	0,368	0,3726	0,3495	961,12	8,875	78,766	0,082
5	(11;13)	12	860	1,215	0,570	0,3391	0,3181	874,78	-14,78	218,301	0,250
6	(13;15)	14	330	3,215	1,508	0,1276	0,1197	329,18	0,825	0,681	0,002
7	(15;17)	16	60	5,215	2,446	0,0198	0,0186	51,15	8,85	78,322	1,531
			2750				0,9973				6,735

Следовательно, . Заданный уровень значимости, количество интервалов группировки, и потомуp=1-=0,95 и число степеней свободы k=m-3=4.

Теперь по таблице критических точек распределения отыщем значение.

Сравним значения и. Имеем 6,735<9,5 , следовательно,<. Поэтому гипотезу о нормальном распределении признакаx принимаем. В этом случае необходимо найти с надежностью =0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака x генеральной совокупности. Пример нахождения доверительных интервалов разобран при решении задачи 1 (пятый вопрос).

Таким образом, решение задачи 2 полностью разобрано.

Задача 3.

Проведите сравнительный анализ результатов педагогического эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона.

, где и.

Уровень значимости положите

3.0.

Значение варианты	2	3	4	5
Частота появления в экспериментальной группе	27	25	28	9
Частота появления в контрольной группе	9	5	18	10

Проведем сравнительный анализ результатов педагогического эксперимента в контрольных и экспериментальных группах, используя критерий однородности Пирсона:

, где 2, 3, 4, 5 - вариационный ряд (оценки, выставляемые по результатам проведения контрольных работ), - частота появленияi-ой варианты в экспериментальной группе, - частота появленияi-ой варианты в контрольной группе, - объем выборки в экспериментальной группе,- объем выборки в контрольной группе,m=4 - количество различных значений варианты (количество интервалов группировки), k=m-1=3 - количество степеней свободы.

Найдем и.=27+25+28+9=89,=9+5+18+10=42.

Теперь вычислим .

==8,6.

По таблице критических точек распределения , приведенной в приложении 3, для числа степеней свободыk=3 и уровня значимости =0,05 находим значение =7,81.

Так как >(8,6>7,81), то согласно правилу принятия решения, делаем вывод, что существуют достоверные различия между результатами проведения контрольных работ в экспериментальной и контрольной группах на уровне надежности=1-=1-0,05=0,95.

На этом решение задачи 3 закончено. Приведенный пример с небольшими изменениями взят из работы [7].

Задача 4.

Исследуется зависимость коэффициента усвоения знаний, выраженного в процентах (%) от уровня посещаемости занятий (%) в группе из четырнадцати учащихся (- порядковый номер учащегося). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется:

1) Найти оценки параметров линейной регрессии на. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.

2) На уровне значимости проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.

3) С надежностью найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

4.0.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	53	40	46	39	35	29	75	31	68	66	60	54	55	59
	36	30	32	29	27	23	47	19	44	42	40	39	33	37

Найдем точечные статистические оценки ипараметровилинейной регрессииY на X: .

Для уравнения прямой регрессии по статистическим данным таблицы 4.0 найдем оценки иее параметров методом наименьших квадратов. Применим известные формулы

, где ,;

Вычисления организуем в форме следующей расчетной таблицы:

i
1	53	36	1908	2809	1296
2	40	30	1200	1600	900
3	46	32	1472	2116	1024
4	39	29	1131	1521	841
5	35	27	945	1225	729
6	29	23	667	841	529
7	75	47	3525	5625	2209
8	31	19	589	961	361
9	68	44	2992	4624	1936
10	66	42	2772	4356	1764
11	60	40	2400	3600	1600
12	54	39	2106	2916	1521
13	55	33	1815	3025	1089
14	59	37	2183	3481	1369
	710	478	25705	38700	17168
	50,714	34,143	1836,071	2764,286	1226,286

Таким образом, ,,,,.

Далее вычисляем ковариации

;

;

;

и по указанным выше формулам находим

; .

В результате получаем уравнение прямой регрессии

.

Проверим согласованность выбранной линейной регрессии с результатами наблюдений. Для этого решим следующую задачу проверки статистической гипотезы.

На заданном уровне значимости выдвигается гипотезаоб отсутствии линейной статистической связи. Для проверки выдвинутой гипотезы используется коэффициент детерминациии применяется статистика ФишераF.

В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату выборочного коэффициента корреляции Пирсона, т.е..

Статистика F выражается формулой и при условии справедливости гипотезы имеет классическое распределение Фишера систепенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами вычисляем коэффициент детерминации и наблюдаемое значение статистики Фишера:

,

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера, исходя из равенства, гдеp=1- (порядок квантили), и. В данном случае.

Сравниваем между собой наблюдаемое и критическое значения статистики Фишера. Так как , то выдвинутая гипотезарешительно отвергается, что свидетельствует о согласии линейной регрессивной связи с результатами наблюдений.

Так как линейная регрессия согласуется со статистическими данными, найдем (с надежностью=0,95 ) доверительные интервалы для параметров илинейной регрессии. Для нахождения доверительных интервалов применим известные формулы:

,

где ,- квантиль распределения Стьюдента порядкасk=n-2 степенями свободы, ;

, где .

В данном случае =,;

;

=.

Применив приведенные выше формулы для доверительных интервалов, окончательно получим

,

.

Задача 5.

Предположим, что в педагогическом эксперименте участвовали три группы студентов по 10 человек в каждой. В группах применили различные методы обучения: в первой – традиционный , во второй – основанный на компьютерных технологиях, в третьей – метод, широко использующий задания для самостоятельной работы. Знания оценивались по десятибалльной системе.

Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости .

Результаты экзаменов заданы таблицей, – уровень фактора– оценка-го учащегося обучающегося по методике.

5.0.

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Уровень фактора		6	7	9	4	6	7	5	4	6	5
		10	9	10	7	9	8	10	8	5	6
		8	7	9	5	9	7	5	6	7	6

Поместим в таблице экзаменационные оценки (), их отклонения от общей средней () и квадраты этих отклонений. Уровни фактора означают:- традиционный метод,- применение компьютерной технологии,- увеличение доли самостоятельной работы.

Номер испытан.^1	Уровни фактора (различные методы преподавания)
	Оценки			Оценки			Оценки
1	6	-1	1	10	3	9	8	1	1
2	7	0	0	9	2	4	7	0	0
3	9	2	4	10	3	9	9	2	4
4	4	-3	9	7	0	0	5	-2	4
5	6	-1	1	9	2	4	9	2	4
6	7	0	0	8	1	1	7	0	0
7	5	-2	4	10	3	9	5	-2	4
8	4	-3	9	8	1	1	6	-1	1
9	6	-1	1	5	-2	4	7	0	0
10	5	-2	4	6	-1	1	6	-1	1
Груп. сред.^2	5,9			8,2			6,9
			33			42			19

¹ Номер испытания (порядковый номер студента группы).

² Групповая средняя (средний балл группы).

Общая средняя равна

.

; .

.

В нашем примере p=3 (p - количество факторов), q=10 (q - количество студентов), поэтому для степеней свободы получаются следующие значения: pq-1=29, p-1=2, p(q-1)=27.

Находим выборочные дисперсии: ; ; .

Примем в качестве нулевой гипотезу о том, что выявленное различие групповых средних (средних баллов) случайно, т.е. при уровне значимости =0,05 средние баллы совпадают.

Для проверки этой гипотезы следует воспользоваться F-критерием Фишера-Снедекора. Вычисляется .

По таблицам находится критическая точка . Здесь - уровень значимости, - число степеней свободы для дисперсии(в числитель формулы вписывается большая из дисперсий),- число степеней свободы для меньшей дисперсии. В случаенулевая гипотеза принимается, в случаеона отвергается.

В примере .

Таким образом, нулевая гипотеза отвергается, и следует считать, что средние баллы групп различаются "значимо". В частности, повышение качества знаний под воздействием уровня фактораF нельзя считать случайным.

Задача 6.

Группировка статистических данных.

По промышленным предприятиям города имеются следующие данные за отчетный год:

№	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, млн. руб.
1	478,0	19,1	1415	112,2
2	207,3	9,6	813	30,2
3	194,4	8,9	852	30,4
4	462,3	18,3	1409	97,3
5	207,1	10,1	896	33,2
б	196,5	10,0	900	13,4
7	290,2	13,5	1195	49,3
8	356,6	14,0	1284	62,8
9	422,3	17,4	1359	104,6
10	590,0	22,7	1490	134,6
11	581,0	21,8	1392	138,9
12	297,3	12,8	1202	44,5
13	462,4	19,5	1378	111,6
14	582,3	22,1	1482	143,2

Требуется выполнить группировку предприятий по объему продукции, приняв следующие интервалы:

1)до 200 млн. руб.; 2) от 200 до 400 млн.руб.; 3) от 400 млн.руб. и более. По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить:

• число предприятий;

• среднесписочное число работников;

• среднегодовую стоимость основных средств;

• объем продукции всего; средний объем продукции на одного работника; средний объем продукции на 1 млн. руб. стоимости основных средств;

• прибыль всего; среднюю прибыль на одного работника; среднюю прибыль на 1 млн. руб. стоимости основных средств.

Сделать вывод.

Для удобства вычислений заполняем сначала вспомогательную таблицу.

Группы предприятий по объему продукции млн. руб.	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, млн. руб.
до 200	194,4; 196,5;	8,9; 10,0;	852; 900;	30,4; 13,4;
от 200 до 400	207,3; 207,1; 290,2; 356,6; 297,3;	9,6; 10,1; 13,5; 14,0;12,8;	813;896; 1195; 1284; 1202;	30,2; 33,2; 49,3; 62,8; 44,5;
более 400	478,0; 462,3; 422,3; 590,0; 581,0; 462,4; 582,3;	19,1; 18,3; 17,4; 22,7; 21,8; 19,5; 22,1;	1415; 1409; 1359; 1490; 1392; 1378; 1482;	112,2; 97,3; 104,6; 134,6; 138,9; 111,6; 143,2;

Результаты группировки приведены в следующей аналитической таблице.

Группы предприятий по объему продукции млн. руб.	Число предприятий в группе	Среднесписочное число работников, чел.	Среднегодовая стоимость основных средств млн. руб.	Объем продукции			Прибыль
				Всего млн. руб.	В среднем на 1-го работника тыс. руб.	В среднем на 1 млн. руб. основных средств	Всего млн. руб.	В среднем на 1-го работника тыс. руб.	В среднем на 1 млн. руб. основных средств
до 200	2	1752	18,9	390,9	223,1	20,68	43,8	25,0	2,317
от 200 до 400	5	5390	60,0	1358,5	252,04	22,64	220	40,82	3,67
более 400	7	9925	140,9	3578,3	360,53	25,40	842,4	84,88	5,98
Итого по всем группам	14	17067	219,8	5327,7	312,16	24,24	1106,2	64,82	5,03

Значения показателей объема продукции, прибыли, среднегодовой стоимо­сти основных средств и среднесписочного числа работников по каждой группе и по всем предприятиям получаются суммированием соответствующих значе­ний по каждому предприятию из вспомогательной таблицы.

Средние показатели объема продукции и прибыли на одного работника рассчитаны делением соответствующих суммарных показателей на число ра­ботников по группе (или по всем предприятиям). Аналогично рассчитаны сред­ние показатели объема продукции и прибыли на один млн. руб. основных средств.

По результатам группировки, приведенной в аналитической таблице, можно сделать следующие выводы.

По объему продукции предприятия разделены на мелкие, средние и крупные. Доля мелких предприятий значительно ниже, чем доля средних и крупных.

Значение объема продукции в среднем на одного работника возрастает от мелких предприятий к крупным (I гр. - 223,1 тыс. руб., II гр. - 252,04 тыс. руб., III гр. - 360,53 тыс.руб.).

Еще более значительно растет прибыль на одного работника (I гр. - 25 тыс. руб., II гр. - 40,82 тыс. руб., III гр. - 84,88 тыс. руб.). На крупных предпри­ятиях прибыль на одного работника в 3,4 раза выше, чем на мелких, и в два с лишним раза выше, чем на средних.

Аналогичная картина наблюдается и при сравнении объема продукции и прибыли в среднем на 1 млн. руб. основных средств. Так для крупных предпри­ятий эта прибыль примерно в два с половиной (5,98:2,317ss2,58) раза больше, чем для мелких и в 1,6 раза больше, чем для средних.

Эти данные свидетельствуют о наибольшей эффективности предприятий третьей группы.

Задача 7.

Абсолютные, относительные и средние величины

По каждому из трех предприятий фирмы (г- порядковый номер предпри­ятия), имеются соответствующие данные о фактическом объеме реализованной в 2000 г. продукции (у₀ млн.руб.), о плановом задании по росту реализованной продукции на 2001 г. (8, %), а также о фактическом объеме реализованной в 2001 г. продукции (у_х млн.руб.). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется определить в целом по фирме:

1) размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2001 г;

2) процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г.;

3) показатель динамики реализованной продукции.

i	y0i	δi%	y1i
1	28,5	103,0	31
2	51,5	105,0	55,5
3	62,5	102,5	63,0

При решении задачи используются следующие понятия: Относительный показатель динамики (ОПД) характеризует изменение явления во времени

ОПД= или в процентах ОПД=100%,

где у₀ - базовый уровень исследуемого явления. В нашей задаче это объем реа­лизованной продукции в 2000г; у_i (i - 0,1,2,3,...) - уровень явления за одинаковые последовательные периоды времени (например, выпуск продукции по годам). ОПД иначе называются темпами роста. Они могут быть базовыми или цепными .

Относительный показатель плана ОПВП) - отношение величины показате­ля по плану (у_пл) к его фактической величине в базисном (или предшествую­щем) периоде.

ОПП=или ОПП=100%.

Относительный показатель выполнения плана (ОПВП) - отношение фак­тической (отчетной) величины показателя у₁ к запланированной на тот же пе­риод времени его величине

ОПВП=

ОПД, ОПП и ОПВП связаны соотношением или

опп·опвп=опд.

Решение задачи 7.

1. Найдем размер планового задания в целом по фирме по росту объема реализованной продукции в 2001 г., т.е. ОППф - относительный показатель плана фирмы.

Для этого найдем сначала плановое задание на 2001 г. по каждому пред­приятию и в целом по фирме

28,5·1,03+51,5·1,05+62,5·1,025=

= 29,355 + 54,075 + 64,0625 = 147,4925 (млн.руб.).

Достигнутый в базисном периоде (2000г.) уровень в целом по фирме

составляет 28,5 + 51,5 + 62,5 = 142,5 (млн.руб.)

Теперь можно найти относительный показатель плана в целом по фирме на 2001г.

ОППф=

или в процентах ≈103,5%.

2. Найдем процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001 г. в целом по фирме (ОПВПф). Для этого найдем фактический уровень, достигнутый в 2001 г.

31 + 55,5 + 63,0 = 149,5 млн.руб., тогда

ОПВПф=1,0136108 или 101,36%, т.е. план перевыполнен на 1,36%.

3. Найдем относительный показатель динамики реализованной продукции в целом по фирме (ОПДф)

ОПДф=1,0491228 или ≈104,91%,

т.е. фактический рост составил ≈4,91%.

Проверка: ОПДф=ОППф·ОПВПф=1,035035·1,0136108=1,049123.

Задача 8.

Элементы дисперсионного анализа.

По каждой из трех основных рабочих профессий цеха (i -порядковый номер профессии: 1-токари; 2-фрезеровщики; 3-слесари) имеются соответствую­щие данные о числе рабочих профессии (чел.), о средней заработной плате

(руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы ( руб²). Статистические данные за месяц приведены в таблице.

Требуется:

1. определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха;

2. оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы;

3. определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.

i
1	52	2650	2400
2	26	2780	3100
3	42	2420	730

Предварительные сведения.

Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака стати­стической совокупности используются абсолютные и относительные показате­ли. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО)

,

где - наблюдённые значения признака (варианты),п - общее число вариант (объем выборки). Суммирование в этой формуле производится по всем вариан­там; - среднее значение признака, - среднее значение квадрата признака

.

Изучая только общую дисперсию интересующего исследователя признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количе­ственных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода груп­пировки, когда варианты подразделяются на непересекающиеся группы по признаку-фактору. При этом, кроме общей средней по всей выборке, рас­сматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дис­персии:

1. общая дисперсия

2. межгрупповая дисперсия ,

3. внутригрупповые дисперсии ,

4. средняя внутригрупповая дисперсия . Кратко охарактеризуем эти дисперсии.

1. Общая дисперсия учитывает влияние всех факторов, от которых за­висит величина изучаемого признака X

,

где - общая средняя по всей выборке.

2. Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражаетсистематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

здесь - внутригрупповые средние, - число вариант вi -ой группе; к число групп, суммирование производится по различным группам.

3. Внутригрупповая дисперсия

отражает рассеяние значений признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а дру­гими причинами.

4. Средняя внутригрупповая дисперсия , так же как и , характеризу­ет случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле

.

Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий

Отношение показывает, какую долю общей дисперсии составляет

дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволя­ет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака X.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же сово­купности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации

Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превыша­ет 33% (для распределений, близких к нормальному).

Решение задачи 8.

1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий

1967,17 (руб²).

Определим среднюю зарплату по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю)

2597,67(руб).

Находим межгрупповую дисперсию

=19438(руб²).

Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:

= 19438 +1967 = 21405 (руб²).

2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы с помощью коэффициента вариации

5,63%. Так как V < 33 %, то совокупность считается однородной.

3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена разли­чиями в профессии на

.

Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на

Задача 9.

Элементы корреляционного анализа.

По 14-ти предприятиям городского хозяйства (i-порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (у млн.руб.) и уровне механизации труда (х, %). Статистические данные

приведены в таблице.

Для выявления наличия корреляционной связи между объемом продукции

и уровнем механизации труда требуется:

1) измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента

корреляции рангов Спирмена;

2. проверить его достоверность на уровне значимости α= 0,05;

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	98	89	109	110	91	90	65	99	105	101	91	90	77	90
	94	63	92	63	98	99	95	69	84	89	99	97	94	98

С помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена оценивается теснота связи между двумя качественными переменными X и Y. Этот коэффициент применяется и в случае количественных переменных, ес­ли заранее не гарантируется нормальность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Выборочный коэффициент служит точечной оценкой генерального ко­эффициента ранговой корреляции . Коэффициенты и изменяются от минус единицы до плюс единицы. Чем ближе к 1, тем теснее связь между переменными X и Y.

1. Для того чтобы вычислить коэффициент ранговой корреляции , нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов.

Расположим наблюдаемые пары в порядке невозрастания качества по показателю X:

	99	99	98	98	97	95	94	94	92	89	84	69	63	63
	90	91	91	90	90	65	98	77	109	101	105	99	89	110

Затем пронумеруем объекты (числа) в каждой из строк в порядке неубывания. Рангом объекта называется его номер в ранжировке. Получим следующую таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	9	7	8	10	11	14	6	13	2	4	3	5	12	1

В первой ранжировке обведены группы объектов, имеющих одинаковое качество по переменной X; во второй ранжировке единообразно отмечены объекты, имеющие одинаковое качество по переменной Y.

Далее объектам одинакового качества присваиваем средние ранги (средние арифметические порядковых номеров этих объектов). В результате получим две согласованные последовательности рангов:

	1,5	1,5	3,5	3,5	5	6	7,5	7,5	9	10	11	12	13,5	14,5
	10	7,5	7,5	10	10	14	6	13	2	4	3	5	12	1
	-8,5	-6	-4	-6,5	-5	-8	1,5	-5,5	7	6	8	7	1,5	13,5

В последней строке записаны разности рангов .

Найдем сумму квадратов разностей рангов: =670,5 и по известнойформуле вычислим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

2) Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена на заданном уровне значимости α выдвигается гипотеза Н_о об отсутствии ранговой корреляционной связи:

.

Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента

,

где п - число пар (x_i, y_i) в выборке.

При условии справедливости гипотезы H₀ случайная величина Т имеет известное t -распределение Стьюдента с к=п-2 степенями свободы.

Зная , вычисляем наблюдаемое значение статистики Стьюдента:

и число степеней свободы к = п - 2 = 12.

По таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторон­ней критической области находим критическую точку статистики Стьюдента (см. например [4]),

.

Критерий проверки:

1. Если , то гипотезаH₀ сохраняется (ранговая корреляционная связь практически отсутствует);

2. Если , то гипотеза Н₀ отвергается (существует значимая корреляционная связь между переменными X и Y).

В нашем случае \Т_набл\ = 1,863 <=2,18, поэтому в соответствие с крите­рием проверки заключаем, что незначимо отличается от нуля, т.е. ранговая корреляционная связь практически отсутствует.

Задача 10.

Прогнозирование на основе сглаженного временного ряда

Динамика удельного расхода условного топлива на производство тепло-энергии (y_t, кг/Гкал) на ТЭЦ по годам представлена в таблице. Требуется:

1. произвести сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней;

2. выровнять ряд по прямой - т.е. оценить параметры b_o,b₁ линейного тренда = b₀ + b₁t методом наименьших квадратов;

3. начертить графики первичного и сглаженных рядов;

4. на уровне значимости α = 0,05 проверить согласованность линейной трендовой модели с результатами наблюдений;

5. методом экстраполяции найти точечные и интервальные (с доверитель­ ной вероятностью γ = 0,95) оценки прогноза экономического показателя y_t на 2002 и 2003г.г.

	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
yt	169,2	168,1	168,6	168,4	167,9	167,6	167,8	166,9	167,1

(n=9) Временным рядом называется последовательность значений (уровней) не­которого экономического показателя y_t, расположенных в порядке возрастания времени. Уровни ряда должны отражать значения экономического показателя за одинаковые или через одинаковые промежутки времени.

Одной из важнейших задач исследования временного ряда является задача выявления основной тенденции развития (тренда) изучаемого процесса.

Решение этой задачи необходимо для прогнозирования. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Наиболее простыми и часто применяемыми способами выявления основ­ной тенденции развития являются сглаживание временного ряда методом скользящей средней или выравнивание по прямой методом наименьших квадратов.

1) Метод скользящей средней основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени "скользит" вдоль ряда, получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд.

Для нашего примера скользящие средние находим по формуле

.

Например, при t = 2

(169,2 +168,1 +168,9)168,7,

при t = 3 (168,1 +168,9 +168,4)168,5.

По результатам получим сглаженный ряд:

	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
yt	–	168,6	168,4	168,3	168,0	167,8	167,8	167,3	–

2) По статистическим данным найдем оценки и параметров линейно­го тренда методом наименьших квадратов. Для этого применим из­вестные формулы [1]:

,

где .

Здесь и в дальнейшем t - номер уровня ряда: 1993 г. соответствует номер 1,... 2001 году - номер 9.

Вычисление средних значений организуем в форме расчетнойтаблицы.

		yt
	1	169,2	1	28628,64	169,2
	2	168,1	4	28257,61	336,2
	3	168,6	9	28425,96	505,8
	4	168,4	16	28358,56	673,6
	5	167,9	25	28190,41	839,5
	6	167,6	36	28089,76	1005,6
	7	167,8	49	28156,84	1174,6
	8	166,9	64	27855,61	1335,2
	9	167,1	81	27922,41	1503,9
	45	1511,6	285	253885,8	7543,6
	5	167,955	31,67	28209,53	838,18

.

Таким образом, искомые оценки параметров линейного аренда равны: = 169,1695, = -0,2429. Уравнение линейного тренда имеет вид:

169,1695 - 0,2429·t.

2. Н

   (2)

   169

   а рисунке цифрой (1) отмечен первичный ряд, цифрой (2) - скользящая трехлетняя средняя, цифрой (3) помечен ряд, выровненный по прямой.

(1)

4

(1)

) Проверка согласованности линейной трендовой модели с результатаминаблюдений выполняется как решение задачи проверки статистической гипотезы об отсутствии линейной статистической связи переменных и t на заданном уровне значимости α = 0,05. Для проверки гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера с и к₂=п - 2 степенями свободы.

В рассматриваемом случае 28209,53 - (167,955)² = 0,648, ,.

Критическое значение статистики Фишера равно

.

Так как , то выдвинутая гипотеза H_о отвергается, что свидетельствует о согласии линейной трендовой модели с результатами наблюдений.

5) По полученному уравнению линейного тренда =169,1695- 0,2429t найдем точечные (индивидуальные) прогнозы показателя на 2002 и 2003 г.г.

Для 2002г. t = 10

166,7405.

Для 2003г. t = 11

166,4976.

Дать интервальную оценку тренда - значит указать границы интервала, в который попадет возможное значение переменной с заданной доверитель­ной вероятностью γ (в нашем примере γ = 0,95).

Этот интервал определяется по известным формулам [3]

,

где δ - точность прогноза , здеськ=п-2 - число степеней свободы, α=1-γ, ищется по таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней критической области (см., например [4]); в нашем случае α=1 - 0,95 = 0,05; к = 9-2 =7; 2,36. (Можно воспользоваться так же таблицами [3]). - исправленное среднеквадратическое отклонение (С.К.О.) индивидуальных значений зависимой переменной

_.

Из этой формулы видно, чем больше , тем меньше точность прогноза. S - исправленное С.К.О. ошибок линейной регрессии

.

Вычисление доверительных интервалов прогнозов организуем в виде таблицы

t	yt
1	169,2	168,9266	0,2734	0,07475
2	168,1	168,6837	-0,5837	0,34071
3	168,6	168,4408	0,1592	0,02534
4	168,4	168,1979	0,2021	0,04084
5	167,9	167,9550	-0,055	0,00303
6	167,6	167,7121	-0,1121	0,01257
7	167,8	167,4692	0,3308	0,10943
8	166,9	167,2263	-0,3263	0,10647
9	167,1	166,9834	0,1166	0,01360
	–	–	–	0,72674

.

.

Дальнейшие вычисления проводим отдельно для t =10 (2002 г.) и t =11 (2003 г.)

Для t = 10

.

,

166,74-0,94<<166,74+0,94.

Итак, с вероятностью γ = 0,95, удельный расход условного топлива в 2002 г. будет принадлежать интервалу (кг/Гкал)

165,8 << 167,68.

Аналогично для 2003 г. t = 11, получим

. , ,

166,498-0,995<<166,498+0,995. 165,50<<167,49, γ=0,95.

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа

0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422	0,97	0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486	0,99	0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517	1,00	0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549	1,01	0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611	1,03	0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673	1,05	0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734	1,07	0,3577
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764	1,08	0,3599
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794	1,09	0,3621
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1,10	0,3643
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852	1,11	0,3665
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	1,12	0,3686
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910	1,13	0,3708
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,14	0,3729
0,19	0,0753	0,51	0,1950	0,83	0,2967	1,15	0,3749
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,16	0,3770
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023	1,17	0,3790
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,18	0,3810
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078	1,19	0,3830
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,20	0,3849
0,25	0,0987	0,57	0,2157	0,89	0,3133	1,21	0,3869
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,22	0,3883
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186	1,23	0,3907
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1,24	0,3925
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238	1,25	0,3944
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289

Продолжение приложения 1

1,26	0,3962	1,59	0,4441	1,92	0,4726	2,50	0,4938
1,27	0,3980	1,60	0,4452	1,93	0,4732	2,52	0,4941
1,28	0,3997	1,61	0,4463	1,94	0,4738	2,54	0,4945
1,29	0,4015	1,62	0,4474	1,95	0,4744	2,56	0,4948
1,30	0,4032	1,63	0,4484	1,96	0,4750	2,58	0,4951
1,31	0,4049	1,64	0,4495	1,97	0,4756	2,60	0,4953
1,32	0,4066	1,65	0,4505	1,98	0,4761	2,62	0,4956
1,33	0,4082	1,66	0,4515	1,99	0,4767	2,64	0,4959
1,34	0,4099	1,67	0,4525	2,00	0,4772	2,66	0,4961
1,35	0,4115	1,68	0,4535	2,02	0,4783	2,68	0,4963
1,36	0,4131	1,69	0,4545	2,04	0,4793	2,70	0,4965
1,37	0,4147	1,70	0,4554	2,06	0,4803	2,72	0,4967
1,38	0,4162	1,71	0,4564	2,08	0,4812	2,74	0,4969
1,39	0,4177	1,72	0,4573	2,10	0,4821	2,76	0,4971
1,40	0,4192	1,73	0,4582	2,12	0,4830	2,78	0,4973
1,41	0,4207	1,74	0,4591	2,14	0,4838	2,80	0,4974
1,42	0,4222	1,75	0,4599	2,16	0,4846	2,82	0,4976
1,43	0,4236	1,76	0,4608	2,18	0,4854	2,84	0,4977
1,44	0,4251	1,77	0,4616	2,20	0,4861	2,86	0,4979
1,45	0,4265	1,78	0,4625	2,22	0,4868	2,88	0,4980
1,46	0,4279	1,79	0,4633	2,24	0,4875	2,90	0,4981
1,47	0,4292	1,80	0,4641	2,26	0,4881	2,92	0,4982
1,48	0,4306	1,81	0,4649	2,28	0,4887	2,94	0,4984
1,49	0,4319	1,82	0,4656	2,30	0,4893	2,96	0,4985
1,50	0,4332	1,83	0,4664	2,32	0,4898	2,98	0,4986
1,51	0,4345	1,84	0,4671	2,34	0,4904	3,00	0,49865
1,52	0,4357	1,85	0,4678	2,36	0,4909	3,20	0,49931
1,53	0,4370	1,86	0,4686	2,38	0,4913	3,40	0,49966
1,54	0,4382	1,87	0,4693	2,40	0,4918	3,60	0,49841
1,55	0,4394	1,88	0,4699	2,42	0,4922	3,80	0,499928
1,56	0,4406	1,89	0,4706	2,44	0,4927	4,00	0,499968
1,57	0,4418	1,90	0,4713	2,46	0,4931	4,50	0,499997
1,58	0,4429	1,91	0,4719	2,48	0,4934	5,00	0,499997

Приложение 2

Таблица значений функции

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,399	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3852	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,242	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,054	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0043
3,0	0,004	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Приложение 3

Критические точки распределения

Число степеней свободы	Уровень значимости
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
1	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
2	9,2	7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
16	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
20	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
22	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
23	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
24	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
27	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
30	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0

Приложение 4.

Таблица значений

n	0,95	0,99	0,999	n	0,95	0,99	0,099
5	2,78	4,60	8,61	20	2,093	2,861	3,883
6	2,57	4,03	6,86	25	2,064	2,797	3,745
7	2,45	3,71	5,96	30	2,645	2,756	3,659
8	2,37	3,50	5,41	35	2,032	2,720	3,600
9	2,31	3,36	5,04	40	2,023	2,708	3,558
10	2,26	3,25	4,78	45	2,016	2.692	3,527
11	2,23	3,17	4,59	50	2,009	2,679	3,502
12	2,20	3,11	4,44	60	2,001	2,662	3,464
13	2,18	3,06	4.32	70	1,996	2,649	3,439
14	2,16	3,01	4,22	80	1,991	2,640	3,418
15	2,15	2,98	4,14	90	1,987	2,633	3,403
16	2,13	2,95	4,07	100	1,984	2,627	3,392
17	2,12	2,92	4,02	120	1,980	2,617	3,374
18	2,11	2,90	3,97		1,960	2,576	3,291
19	2,10	2,88	3,92

Приложение 5

Таблица значений

n	0,95	0,99	0,999	n	0,95	0,99	0,999
5	1,37	2,67	5,64	20	0,37	0,58	0,88
6	1,09	2,01	3,88	25	0,32	0,49	0,73
7	0,92	1,62	2,98	30	0,28	0,43	0,63
8	0,80	1,38	2,42	35	0,26	0,38	0,56
9	0,71	1,20	2,06	40	0,24	0,35	0,50
10	0,65	1,08	1,80	45	0,22	0,32	0,46
11	0,59	0,98	1,60	50	0,21	0,30	0,43
12	0,55	0,90	1,45	60	0,188	0,269	0,38
13	0,52	0,83	1,33	70	0,174	0,245	0,34
14	0,48	0,78	1,23	80	0,161	0,226	0,31
15	0,46	0,73	1,15	90	0,151	0,211	0,29
16	0,44	0,70	1,07	100	0,143	0,198	0,27
17	0,42	0,66	1,01	150	0,115	0,160	0,211
18	0,40	0,63	0,96	200	0,099	0,136	0,185
19	0,39	0,60	0,92	250	0,098	0,120	0,162

Приложение 6.

Критические точки распределения Фишера-Снедекора

–число степеней свободы большей дисперсии, – число степеней свободы меньшей дисперсии. Уровень значимости

к1 к2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	4052	4999	5403	5625	5764	5889	5928	5981	6022	6056	6082	6106
2	98,49	99,01	90,17	99,25	99,33	99,30	99,34	99,36	99,36	99,40	99,41	99,42
3	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34	27,23	27,13	27,05
4	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,54	14,45	14,37
5	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89
6	13,74	10.92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72
7	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47
8	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67
9	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
10	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71
11	9,86	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
13	9,07	6,70	5,74	5,20	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96
14	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80
15	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55
17	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,45