Пример 4

Определить диаметры поперечных сечений участков стержня (вала) (рис. 16, а), если [τ_K] = 100 МПа, G = 80 ГПа, [θ] = 1,5^о/м. Построить эпюру углов поворота сечений φ.

[θ] = 1,5^о/м =рад/м.

Рис.16. Построение эпюр крутящих моментов М_к

и углов поворота сечений φ:

а– расчетная схема;б– эпюра крутящих моментовМ_к;

в – эпюра углов поворота сечений φ

Должно выполняться условие равновесия ∑m_x = 0:

∑m_x = m₁ – m₂ – m₃ + m₄ = 2 – 1 – 4 + 3 = 0.

Для определения крутящих моментов М_к на участках стержня будем рассматривать левую часть его.

Участок I: М_KI = m₁ = 2 кН·м.

Участок II: М_KII = m₁ – m₂ = 2 – 1 = 1 кН·м.

Значение М_КIII определите самостоятельно (М_КIII = – 3 кН·м).

По вычисленным значениям М_к строится эпюра (см. рис. 16, б).

Преобразуем условия прочности и жесткости к виду, удобному для определения диаметра стержня.

Условие прочности:

, .

Условие жесткости:

,

откуда

.

Вычисляем диаметр вала из условий прочности и жесткости.

На первом участке:

– диаметр вала из условия прочности

;

– диаметр вала из условия жесткости

.

Принимаем d₁ = 6 см.

На втором участке:

– диаметр вала из условия прочности

;

– диаметр вала из условия жесткости

.

Принимаем d₂ = 5 см.

Диаметр поперечного сечения на участке III рассчитайте самостоятельно (d₃ = 5,35 см, d^’₃ = 6,18 см, принимаем d₃ = 7 см).

Если стержень имеет постоянное сечение, то диаметр его определяется исходя из максимального значения М_к.

Определим деформации участков стержня:

.

Значения φ на других участках следующие:

.

Углы поворота характерных сечений (границ участков) равны:

;

.

Значение φ_D определите самостоятельно (φ_D = – 0,429^о).

Эпюра углов поворота сечений показана на рис. 16, в.

Вычислим максимальные напряжения на участках стержня:

Вычисленные значения диаметров участков стержня обеспечивают его прочность и жесткость.

Задача 4. Кручение стержней с круглым сечением

Произвести расчет стального вала (рис. 17). Данные к задаче приведены в табл. 4.

План решения задачи:

1. построить эпюры крутящих моментов;

2) определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до нормального размера (считать [τ_К]=100 МПа);

3. определить диаметр вала из расчета на допускаемый угол

закручивания (принять [θ]=2⁰ на один погонный метр);

3. построить эпюру углов закручивания.

Таблица 4

Данные к задаче 4

Номер строки	Номер схемы	Расстояние, м			Момент, кН∙м
		а	в	с	М1	М2	М3
1	I	1,1	1,1	1,1	1,1	1,1	1,1
2	II	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2
3	III	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3	1,3
4	IV	1,4	1,4	1,4	1,4	1,4	1,4
5	V	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5	1,5
6	VI	1,6	1,6	1,6	1,6	0,6	1,6
7	VII	1,7	1,7	1,7	1,7	0,7	1,7
8	VIII	1,8	1,8	1,8	1,8	0,8	1,8
9	IX	1,9	1,9	1,9	1,9	0,9	1,9
0	X	2,0	2,0	2,0	2,0	1,0	2,0
	в	а	б	в	а	б	в

Рис. 17. Схемы к задаче 4