Ответы:

1. 137 кв. ед. 2. 10; 20. 3. 4. , , . 5. и 6. , ,. 7. , , , . 8. , , . 9.1) окружность с центром в полюсе и радиусом 6. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 6. 5) окружность с центром и радиусом 3. 6) окружность с центром и радиусом 1. 10. эллипс , , , , . 11. гипербола . , , . 12. гипербола . 13. парабола: б) в) 14. а) -7, б) -21, в) -139, г) –2. 15. . 16. . 17. , , , . 18. -2. 19. -2. 20. . 21. . 22. , . 23. , . 24. , . 25.. 26. . 27. -29. 28. - правая тройка. 29. куб. ед. 30. - 6.

31. . 32. . 33. . 34. . 35. . 36. . 37. и .. 38. . 39. . 40. . 41. . 42. . 43. . 44. .

45. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

47. , . 48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б). 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. - любое число. 54. да. 55. а) проектирование на плоскость У, б) отражение относительно оси . 56. Оператор линейный;

–его матрица в базисе .

57. , , .

58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , , где ; для , , где ; для , где .

ВАРИАНТ №23

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Даны две смежные вершины квадрата А(2, 1) и В(6, -1). Вычислить его площадь.

2. Даны три вершины А(4, -6), В(6, -6), С(-1, 6) параллелограмма АВСD, четвертая вершина D противоположна В. Определить длину диагоналей этого праллелограмма.

3. Найти координаты точки М₁, сииметричной точке М₂(0, 1) относительно прямой, проходящей через точки А(8, 2), В(5, 0).

4. Даны вершины треугольника А(4, 1), В(1, –1), С(5, 2). Составить уравнение его высот.

5. Отрезок, ограниченный точками А(7, 10) и В(13, 13), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны две вершины А(–5, 2) и В(3, –2) треугольника АВС и точка N(2, 2) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7. Точка А(–2, 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон этого квадрата.

8. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из вершин А(2, 8) и уравнения двух медиан , .

Указание. Убедиться, что точка А и точка А. Пусть и - вершины треугольника, расположеные на медианах и соответственно, а точки и - середины отрезков АВ и АС соответственно. Далее следует найти координаты вершин В и С треугольника. Так как точки М и С лежат на медиане , то . Затем из соотношения найдите ; далее подставив численное значение в уравнение для , найдите . Затем, зная и , найдите по формуле . Далее, подставив численное значение в уравнение для , найдите . Зная и , из соотношения найдите . Наконец, зная координаты всех вершин треугольника, найдите общие уравнения его сторон.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а); б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы и найти координаты ее центра и полуоси, если известно, что левая вершина гиперболы находится в правом фокусе эллипса: , при этом правая вершина гиперболы находится в вершине параболы , эксцентриситет гиперболы равен .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А(1, 2) вдвое дальше, чем от прямой . Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(3, -2, 1); ₂=(0, -1, 3); ₃=(2, 4, 0); =(-9, 4, 3) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(7, -4, 4).

17. Два вектора =(6, 2, -3) и =(-1, –2, 2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Найти проекцию вектора =(2, 4, 3) на направление вектора .

19. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями и углы а с осью тупой угол .

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна 8. Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что , . Найти .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке О так, чтобы ось была направлена по вектору , а ось направить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что - прямоугольный (), а поэтому ;

в) найти координаты вектора , найти координаты векторов и (очевидно ), используя равенство , найти координаты вектора ;

г) зная координаты векторов и , найти , где , и .

21. Векторы (0, -2, -4) и являются сторонами параллелограмма ОАСВ. Точка N – середина стороны ВС. Найти .

22. Дано 2, 3, . Найти и величину угла между векторами и , если .

23. Вычислить координаты векторного произведения и его длину , если =(1, 3, 0), .

24. Даны вершины треугольника АВС: А(1, -1, 2),В(2, 1, 0) и С(6, 3, 4). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А.

25. Вектор , ортогонален к оси и вектору (-3, 4, 1) и образует с осью острый угол. Найти координаты вектора , если 15.

26. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , и .

27. Вычислить смешанное произведение векторов , (1, -2, 0), (-1, 0, 2).

28. В правом базисе заданы векторы: , , . Показать, что эти три вектора не компланарны; установить ориентацию тройки векторов .

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А(1, 2, 1), В(–2, 3, –3), С(1, 3, 3), D(2, 1, -3).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить , если , , 1, 4, а тройка векторов – левая.

4.Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1, 2, -1), параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(3, 4, 0) и прямую .

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀(3, 0, 2) перпендикулярно к двум плоскостям и .

35. Найти расстояние от точки М₀(2, 2, -1) до плоскости .

36. Даны вершины треугольника А(2, 2, -1), В(4, 3, 1), С(2, –3, –2). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

37. На оси найти координаты точек, отстоящих от плоскости на расстоянии =2.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(1, 2, –1), параллельно прямой, , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти проекцию точки Р(3, 3, 0) на прямую , +1, .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(3, 3, 4) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(5, 2, 4) относительно прямой .

43. Вычислить растояние от точки Р(1, -2, –2) до прямой .

44. Найти канонические уравнения прямой , которая проходит через точку М₀(5, 1, 7) параллельно плоскости и пересекает прямую .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости , проходящей через точку М₀, параллельную плоскости ;

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой с плоскостью (см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М_1.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(–1, 3, 3), А₂(4, 2, 4), А₃(2, 0, 1), А₄(3, 3, 5). Найти:

5. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

6. угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

7. уравнение прямой А₁А₂;

8. уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , ().

б) , , .

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А=, В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц второго порядка вида , где ;

б) множество всех вещественных матриц второго порядка вида , где .

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(1, –2, ), =(-1, -1, -1), =(1, 1, 2), =(2, 4, 6).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 2, 0, 1), =(2, 1, -1, -1), =(1, 2, 2, 2), =(3, 3, -1, 0).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в обычном пространстве Охуz, матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве Р₂ всех многочленов степени вида , где оператор действует так: . Доказать, что оператор линеен и найти его матрицу в базисе , , .

57. В обычном пространстве линейный оператор зеркально отражает векторы относительно прямой , а линейный оператор ортогонально проецирует векторы на плоскость . Найти матрицы линейных операторов , , в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .