Терёхина, Фикс - Высшая математика
.pdfТерехина Л. И., Фикс И. И. Высшая математика 3. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Дифференциальные уравнения. Числовые и функциональные ряды. Учеб. пособие /Том. политех. ун-т. – Томск, 2008. – 203 с.
Тема 1. Неопределенный интеграл
Тема 2. Определенный интеграл
Тема 3. Дифференциальные уравнения и системы
Тема 4. Системы линейных уравнений
g L A W A 1. neopredelennyj integral
1.1. pONQTIE. sWOJSTWA
1.1.1. pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDELENNYJ INTEGRAL
nEOPREDELENNOE INTEGRIROWANIE ESTX OPERACIQ OBRATNAQ DIFFE- RENCIROWANI@ I SOSTOIT W NAHOVDENI@ FUNKCII PO IZWESTNOJ EE PRO- IZWODNOJ. pRIWEDEM PONQTIQ PERWOOBRAZNOJ I NEOPREDELENNOGO INTEG- RALA.
o P R E D E L E N I E. fUNKCIQ F (x) NAZYWAETSQ PERWOOBRAZNOJ PO OTNO[ENI@ K FUNKCII f(x) W DANNOM INTERWALE, ESLI WO WSEH TO^KAH INTERWALA WERNO RAWENSTWO F0(x) = f(x):
t E O R E M A (O PERWOOBRAZNYH). wSE PERWOOBRAZNYE DLQ DANNOJ FUNKCII OTLI^A@TSQ NA POSTOQNNOE SLAGAEMOE.
|TO ZNA^IT, ^TO ESLI F(x) ESTX KAKAQ-LIBO PERWOOBRAZNAQ DLQ FUNKCII f(x), TO WSE BESKONE^NOE MNOVESTWO EE PERWOOBRAZNYH MOV- NO ZAPISATX ODNIM WYRAVENIEM F(x) + C:
o P R E D E L E N I E. nEOPREDELENNYM INTEGRALOM OT DANNOJ FUNKCII NAZYWAETSQ SOWOKUPNOSTX WSEH EE PERWOOBRAZNYH.
nEOPREDELENNYJ INTEGRAL OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Z f(x) dx. tA-
KIM OBRAZOM, ESLI ESLI F (x) ESTX KAKAQ-LIBO PERWOOBRAZNAQ DLQ FUNK- CII f(x), TO
Z f(x) dx = F(x) + C
GDE Z ; SIMWOL INTEGRALA, f(x) ; PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ, f(x) dx ; PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE,
x ; PEREMENNAQ INTEGRIROWANIQ.
gEOMETRI^ESKIM PREDSTAWLENIEM NEOPREDELENNOGO INTEGRALA QW- LQETSQ SEMEJSTWO INTEGRALXNYH KRIWYH.
1.1.2. sWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA
1. wYNESENIE POSTOQNNOGO MNOVITELQ
pOSTOQNNYJ MNOVITELX MOVNO WYNOSITX ZA ZNAK INTEGRALA
Z k f(x) dx = k Z |
f(x) dx: |
|
3 |
2. pO^LENNOE INTEGRIROWANIE
iNTEGRAL OT ALGEBRAI^ESKOJ SUMMY FUNKCIJ RAWEN ALGEBRAI^ESKOJ SUMME INTEGRALOW OT SLAGAEMYH
R [f(x) g(x)] dx = R f(x) dx R g(x) dx:
3. dIFFERENCIROWANIE INTEGRALA
pROIZWODNAQ NEOPREDELENNOGO INTEGRALA PO PEREMENNOJ INTEGRIRO- WANIQ RAWNA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII
0
Z f(x) dx x = f(x)
|TO SWOJSTWO QWLQETSQ EDINSTWENNYM KRITERIEM PROWERKI PRAWILX- NOSTI REZULXTATA INTEGRIROWANIQ
4. sIMWOLY NEOPREDELENNOGO INTEGRIROWANIQ I DIFFERENCIALA, STO- Q]IE RQDOM, WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ
d (R f(x) dx) = f(x) dx |
R d F(x) = F(x) + C: |
5. iNWARIANTNOSTX FORMY |
|
fORMA REZULXTATA INTEGRIROWANIQ NE ZAWISIT OT TOGO, ^TO QWLQETSQ PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ { NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ, ILI FUNK- CIQ U(x) (SWOJSTWO INWARIANTNOSTI FORMULY INTEGRIROWANIQ). t.E., ESLI
R f(x) dx = F(x) + C TO R f(U) dU = F (U) + C:
nEOPREDELENNOE INTEGRIROWANIE, ILI, ^TO TO VE SAMOE, NAHOVDE- NIE PERWOOBRAZNOJ, QWLQETSQ OPERACIEJ OBRATNOJ DIFFERENCIROWA- NI@, NO NAMNOGO SLOVNEE EGO. pRI NEOPREDELENNOM INTEGRIROWANII ISPOLXZU@TSQ SWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA, NABOR TABLI^- NYH INTEGRALOW, METODY I PRIEMY INTEGRIROWANIQ NEKOTORYH KLAS- SOW FUNKCIJ.
rAZLI^A@T SLEDU@]IE METODY INTEGRIROWANIQ:
1)nEPOSREDSTWENNOE INTEGRIROWANIE.
2)iNTEGRIROWANIE PODWEDENIEM POD ZNAK DIFFERENCIALA.
3)iNTEGRIROWANIE PO ^ASTQM.
4)mETOD PODSTANOWKI (ZAMENY PEREMENNOJ).
w DANNOM POSOBII KROME METODOW INTEGRIROWANIQ TAKVE RASSMATRIWA@TSQ PRIEMY IN- TEGRIROWANIE OSNOWNYH KLASSOW INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ, TAKIH KAK RACIONALXNYE DRO- BI, PROSTEJ[IE IRRACIONALXNOSTI, DIFFERENCIALXNYE BINOMY I TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.
4
oSNOWNYE NEOPREDEL<NNYE INTEGRALY |
tABLICA 1.1. |
|
|
|
|
k+1 |
|||
1. Z xk dx = |
x |
+ C |
|||||
k + 1 |
|||||||
|
(k |
= 1) |
|||||
|
|
6 ; |
|
||||
2. Z dx = x + C |
|||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= 2px + C |
|||||||
3. Z px |
4. Z |
dxx2 |
= ;x1 + C |
5. Z |
dxx = ln jxj + C |
6. Z ax dx = ax + C ln a
7. Z ex dx = ex + C
8. Z sin x dx= ;cos x+C
9. Z cos x dx= sin x+C
dx
10. Z cos2 x = tg x + C
dx
11. Z sin2 x = ;ctg x+C
12. Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
tg 2 |
+ C |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
! |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
tg |
|
+ 4 |
+ C |
||||||||||||||||
|
cos x |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
14. Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg x dx = ; ln j cos xj + C |
|||||||||||||||||||||||||||
15. Z ctg x dx = ln j sin xj + C |
|||||||||||||||||||||||||||
16. Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= a arctg a + C |
||||||||||||||||||||||
a2 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
17. |
Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
1 |
ln |
|
x ; a |
|
+ C |
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
x + a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
18. Z |
|
p |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arcsin a |
+ C |
|||||||||||||||||
|
a2 |
; |
x2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19.Z p |
|
|
|
|
|
|
= ln jx+px2 a2j+C |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
a2 |
||||||||||||||||||||||||
20. Z |
sh x dx = ch x + C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
21. Z ch x dx = sh x + C |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
22. Z |
|
|
dx |
|
|
|
= th x + C |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ch2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
23. Z |
|
|
dx |
|
|
|
= ;cth x + C |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
sh2 x |
|
|
|
|
|
5
oSNOWNYE NEOPREDEL<NNYE INTEGRALY |
tABLICA 1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|||
1. Z |
uk du = |
u |
+ c |
|||||||
k + 1 |
||||||||||
|
|
(k |
= 1) |
|||||||
2. Z |
|
|
|
6 ; |
|
|||||
du = u + c |
||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Z |
p |
|
|
|
|
|||||
pu = 2 |
u + c |
|||||||||
4. Z |
duu2 = ;u1 + c |
|||||||||
5. Z |
duu = ln juj + c |
|||||||||
6. Z |
au du = |
|
au |
|||||||
|
+ c |
|||||||||
ln a |
||||||||||
7. Z eu du = eu + c |
||||||||||
8. |
sin u du= cos u+c |
|||||||||
9. ZZ cos u du=;sin u+c |
||||||||||
10. Z |
du |
= tg u + c |
||||||||
cos2 u |
|
du
11. Z sin2 u = ;ctg u+c
12. Z
13. Z
14. Z
15. Z
16. Z
17. Z
18. Z
19. Z
2021.. ZZ
22. Z
23. Z
|
du |
|
|
|
= ln |
|
|
tg |
u |
+ c |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
sin u |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= ln tg |
|
2 + |
|
4 ! + c |
||||||||||||||||
|
cos u |
|
|||||||||||||||||||||||
tg u du = |
|
|
ln |
|
cos u + c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ctg u du = ln j sin uj + c |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= a arctg a |
|
+ c |
|
|
||||||||||||||||
a2 + u2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
du |
|
|
= |
|
|
1 |
|
ln |
u ; a |
|
+ c |
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2a |
|
|||||||||||||||||||
|
u ; a |
|
|
|
u + a |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
a + c |
||||||||||||||||
|
a2 |
|
; u2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p |
|
|
|
|
= ln ju+pu2 a2j+c |
||||||||||||||||||||
u2 |
|
a2 |
|||||||||||||||||||||||
sh u du = ch u + c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ch u du = sh u + c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
= th u + c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ch2 u |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
= ;cth u + c |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
sh2 u |
|
|
|
24. |
Z |
ln u du = u ln u ; u + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
p |
|
|
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
p |
|
|
|
|
||
|
|
2 2 |
2 |
2 |
|
|
2 2 |
|
||||||||||||||
25. |
Z |
|
u a du = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
+c |
|||||||
|
|
|
2 |
|
u u a a ln jU + u a j |
|
||||||||||||||||
26. Z |
p |
|
du = |
|
|
|
u p |
|
|
|
|
+ a2 arcsin a! + c |
|
|
||||||||
a2 ; u2 |
2 |
|
a2 |
; u2 |
|
|
||||||||||||||||
27. Z |
e u sin u du = |
|
|
e u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( sin u ; cos u) + c |
|
|
||||||||||||||||||
|
2 + 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
28. |
Z |
arctg u du = u arctg u |
1 ln(1 + u2) + c |
|
|
|||||||||||||||||
|
arcsin u du = u arcsin u;+2p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
29. |
1 |
; |
u2 |
+ c |
|
|
||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
e u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
30. Z |
e u cos u du = |
|
|
( cos u + sin u) + c |
|
|
||||||||||||||||
|
2 + 2 |
|
|
6
1.2. oSNOWNYE METODY INTEGRIROWANIQ
1.2.1. nEPOSREDSTWENNOE INTEGRIROWANIE
|TOT PRIEM INTEGRIROWANIQ PRIMENQETSQ W TOM SLU^AE, ESLI IN- TEGRAL TABLI^NYJ ILI LEGKO MOVET BYTX SWEDEN K TABLI^NOMU PUTEM TAKIH PROSTYH PRIEMOW, KAK WYNESENIE POSTOQNNOGO MNOVITELQ ZA ZNAK INTEGRALA, PRIEM PO^LENNOGO INTEGRIROWANIQ.
oSNOWNYE NEOPREDELENNYE INTEGRALY PRIWEDENY W TABLICAH 1.1 I 1.2 POZWOLQET RAS[IRITX WOZMOVNOSTI ISPOLXZOWANIQ TABLICY NEOPREDELENNYH INTEGRALOW DLQ TEH SLU^AEW, KOGDA PERE-
MENNOJ INTEGRIROWANIQ QWLQETSQ NEKOTORAQ FUNKCIQ, ^TO BUDET PRO- ILL@STRIROWANO DALEE PRI RASSMOTRENII METODA PODWEDENIQ POD ZNAK DIFFERENCIALA. rASSMOTRIM PRIMERY.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||
1: Z (5x ; 3px) dx = 5 Z |
|
x dx ; 3 Z |
px dx = |
|
Z xn dx = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 5 x dx 3 |
x1=4 dx = |
5 x2 |
|
|
3 |
4 x5=4 = |
|
5 |
x2 |
|
12p |
|
|
|
|
|
+ C: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
; Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
; 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
|
; |
|
|
|
|
x2 |
|
Z |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
xn+1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2: |
|
|
|
(1 |
|
|
|
x)(2+3x) dx |
|
= |
|
(2+x |
|
|
|
3x2) dx = |
|
|
xn dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 2 Z dx + Z x dx ; 3 Z x dx = 2x + 2 ; x + C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3: |
Z (2+x3)2 dx |
= Z (4+ 4x3 +x6) dx = |
x4 |
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 4 Z dx + 4 Z |
x3 dx + Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x6 dx = 4x + 4 4 + |
|
7 = 4x+ x4 |
|
+ 7 + C: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4: |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
; x dx |
= |
|
|
ISPOLXZUEM PRIEM PO^LENNOGO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DELENIQ ^ISLITELQ NA ZNAMENATELX |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
14=3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 11=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
=Z |
3 |
|
|
|
dx ; Z |
|
|
|
dx = Z x; |
|
|
dx ; Z x; dx = ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x; |
|
|
|
|
+ |
|
+ C: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x5 |
x5 |
|
|
11 |
|
|
|
|
3x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5: |
Z |
3 |
2x;2 3x |
dx= 3 |
Z |
2 |
|
xdx 2 |
Z |
|
3 xdx= |
|
|
|
ax dx = |
ax |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6! |
|
; |
|
|
|
6! |
|
|
|
Z31!x |
|
|
|
21 |
!x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
; 2 |
|
|
|
|
+C: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
1 |
|
|
ln |
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
6: Z |
|
x |
! dx |
= Z |
1 |
; |
cos x |
1 |
dx ; Z |
cos x |
|
|
sin2 |
2 |
|
2 |
|
dx = Z 2 |
2 |
dx = |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
= |
2 Z |
dx ; 2 Z |
cos x dx = |
2x ; 2 sin x + C: |
|
|
|
7: |
Z |
tg2x dx = |
sin2 x |
dx = |
Z |
1 ; cos2 x |
dx = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z cos2 x |
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
cos2 x |
1 |
|
|
Z |
|
|
1 |
|
|
|
|
! |
|
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
; cos |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
; |
1 |
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
2 |
|
|
|
2 |
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
Z @cos |
|
|
|
xA |
|
|
cos |
|
|
|||||||||||||||||||
|
= Z |
|
dx |
|
|
; |
|
|
Z dx = tgx ; x + C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1+x)2 |
|
|
|
|
|
(1+x2) + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8: |
Z |
|
|
|
dx = Z |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x(1+x2) |
|
|
x(1+x2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= Z |
(1+x2) |
|
dx + Z |
|
2x |
|
dx = Z |
dx |
|
+ 2 Z |
|||||||||||||||||||
|
|
x(1+x2) |
x(1+x2) |
x |
|
= ln jxj + 2arctgx + C:
|
x2 |
|
(x2 + 1) |
1 |
|
|
9: Z |
|
dx = |
Z |
1 + x2; |
|
dx = |
1 + x2 |
|
|||||
|
x2 + 1 |
|
1 |
|
dx |
= Z 1 + x2 dx ; Z 1 + x2 dx = Z dx ; Z 1 + x2
= x ; arctgx + C:
=
dx
1+x2 =
=
1.2.2. iNTEGRIROWANIE PODWEDENIEM POD ZNAK DIFFERENCIALA
dANNYJ METOD, O^ENX PROSTOJ W SWOEJ OSNOWE, POZWOLQET PRIWODITX INTEGRAL K TABLI^NOMU, ISPOLXZUQ SWOJSTWO INWARIANTNOSTI FOR- MUL INTEGRIROWANIQ. tABLICA 1.2 NEOPREDELENNYH INTEGRALOW ZAPI- SANA DLQ SLU^AQ, KOGDA PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ QWLQETSQ FUNK- CIQ
8
rASSMOTRIM NESKOLXKO TABLI^NYH INTEGRALOW.
Un+1
1: Z UndU = n+1 +C :
dU |
= 2pU + C : |
2: Z pU |
dU
3: Z U = ln j U j + C :
4: Z eU dU = eU + C :
|
Z |
|
|
dU |
|
||||
5: |
|
|
|
|
|
= |
|||
|
U |
2 |
; |
a2 |
|||||
= |
1 |
|
ln |
|
U |
; a |
+ C : |
||
|
|
|
|
||||||
|
2a |
|
|
U + a |
|
Z |
cos3 x d(cos x) = |
cos4 x |
+ C |
|
|
||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Z |
(2x + 5)15 |
d(2x + 5) = |
(2x + 5)16 |
+ C |
|||||||||||
|
16 |
|
|||||||||||||
Z |
(ln x+3)1=2d(ln x+3) = |
(ln x+3)3=2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
+C: |
|||||||||||
|
3=2 |
|
|||||||||||||
Z |
d(cos 2x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
pcos 2x + 1 = 2pcos 2x + 1 + C |
|||||||||||||||
|
d(1 |
x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
= 2p1 ; x2 + C |
|
|
||||||||||||
p1 |
; x2 |
|
|
||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(arctgx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
= 2parctgx + C: |
|
|
||||||||||||
parctgx |
|
|
|||||||||||||
Z |
d(arcsin x) |
= ln j arcsin xj + C |
|
|
|||||||||||
arcsin x |
|
|
|
||||||||||||
Z |
d(33 |
;22xx) |
= ln j3 ; 2xj + C |
|
|
||||||||||
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
d(1 + x2) |
= ln j1 + x2j + C: |
|
|
|||||||||||
1 + x2 |
|
|
Zex2 d(x2) = ex2 + C
Zetgxd(tgx) = etgx + C
Ze2;3xd(2 ; 3x) = e2;3x + C:
|
d(5x) |
|
|
|
= |
1 ln |
|
|
5x ; 3 |
|
+ C |
||||||
Z (5x)2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||
; |
|
|
6 |
|
|
|
5x + 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d(ln x) |
|
|
= |
1 |
ln |
|
|
|
ln x ; 1 |
|
+ C |
|||||
Z ln2 x ; 1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ln x + 1 |
|
|
||||||||||
|
3x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|||
|
d(e |
|
= |
|
1 ln |
|
|
e |
; 2 |
|
+ C: |
||||||
Z 4 ; e6x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
;4 |
|
|
e3x |
+ 2 |
|
|
9 |
tAKIH PRIMEROW DLQ KAVDOGO TABLI^NOGO INTEGRALA MOVNO PRIWESTI SKOLXKO UGODNO. wSE IH OB_EDINQET TO, ^TO POD ZNAKOM DIFFERENCI- ALA W PODYNTEGRALXNOM WYRAVENII STOIT NE PROSTO PEREMENNAQ x, A TAKAQ FUNKCIQ U(x) OTNOSITELXNO KOTOROJ DANNYJ INTEGRAL QWLQ- ETSQ TABLI^NYM.
sU]ESTWUET BOLX[OJ KLASS INTEGRALOW, W KOTORYH MOVNO POD ZNA- KOM DIFFERENCIALA SFORMIROWATX NUVNOE WYRAVENIE I SWESTI IN- TEGRAL K TABLI^NOMU.
pODWEDENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA { \TO WNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA LIBO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO, LIBO POSTOQNNOGO MNO- VITELQ, LIBO FUNKCII, LIBO I TOGO I DRUGOGO WMESTE.
nAPOMNIM, ^TO DIFFERENCIAL FUNKCII RAWEN PROIZWEDENI@ PRO- IZWODNOJ FUNKCII NA DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ
d f(x) = f0(x) dx
A TAKVE, ^TO SWOJSTWA DIFFERENCIALOW ANALOGI^NY SWOJSTWAM PRO- IZWODNYH FUNKCIJ.
wNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO
pO SWOJSTWU DIFFERENCIALA FUNKCII IMEEM: d(x+a) = (x+a)0 dx = x0 dx = dx =) dx = d(x+a):
|TO ZNA^IT, ^TO POD ZNAKOM DIFFERENCIALA K PEREMENNOJ INTEGRI- ROWANIQ MOVNO PRIBAWITX L@BOE, NUVNOE W DANNOJ SITUACII, ^IS-
LO a
dx = d(x;1) = d(x+3) = d(x;12 ) = d(x+ a):
tAK, |
NAPRIMER: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3)5 |
|||||||
|
Z |
(x+3)4dx = Z (x+3)4d(x + 3) = |
(x |
|||||||||||||||||
1) |
|
5 |
+ C |
|||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
d(x |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Z |
|
|
|
= Z |
|
|
|
;3 |
|
= ln jx;3j + C |
|
|
||||||||
|
x 3 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
p |
; |
dx = |
;(x+5)1=2d(x+5) = 2 |
(x+5)3=2 + C |
||||||||||||||
3) |
|
x+5 |
||||||||||||||||||
|
Z |
sin(x + 1) dxZ= |
Z |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
4) |
sin(x+1) d(x+1) = ; cos(x+1) + C |
|||||||||||||||||||
5) |
Z |
|
|
dx |
|
= |
|
d(x ; 6) |
= tg(x |
|
6) + C: |
|||||||||
Z |
|
cos2(x |
|
6) |
Z |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
cos2(x |
; |
6) |
|
|
|
||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA POSTOQNNOGO MNOVITELQ
tAK KAK |
d(Cx) = (Cx)0 dx = C dx, |
TO |
dx = |
1 |
d(Cx): |
|
|||||
C |
|TO ZNA^IT, ^TO, PRI WWEDENII POD ZNAK DIFFERENCIALA MNOVITE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
LQ C PERED ZNAKOM INTEGRALA NEOBHODIMO POSTAWITX POPRAWO^NYJ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
KO\FFICIENT |
|
1 |
: |
|
|
iTAK: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dx = 3d(3x) = ;d(;x) = 2d |
2 ! = ; |
4 d ; |
|
|
! = : : : : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nAPRIMER: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin 3x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) |
cos 3x dx = |
|
|
|
|
|
cos 3x d(3x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
;2 e;x=2 + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
e;x=2 dx = ;2Z |
|
|
|
e;x=2 d(;x=2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Z |
|
|
d (3x) |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3) Z |
|
|
|
|
= 3 Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
+ C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 + 9x2 |
22 + (3x)2 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d (p |
|
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4) Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln jp7x + p4 + 7x2j + C: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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p |
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|
= p |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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4 + (p |
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x)2 |
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4 + 7x2 |
7 |
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|
|
|
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
7 |
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|
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q d (p |
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x) |
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p |
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x |
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5) Z |
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dx |
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1 |
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Z |
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2 |
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1 |
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2 |
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p |
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= p |
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= p |
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arcsin |
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+ C: |
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|
p |
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3 |
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9 |
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2x2 |
2 |
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|
2 |
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2 |
|
2 |
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2x) |
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|
; |
|
|
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|
q3p; |
( |
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|
p |
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1 |
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1 |
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|
1 |
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6 2 |
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dx |
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d ( 6x) |
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6) Z |
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|
= p |
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|
Z |
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(p |
|
x)2 ; 22 |
= p |
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ln jp6 +; |
2j + C: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6x2 ; |
4 |
|
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|
2 |
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
6 |
6 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mOVNO OB_EDINITX DWA PREDYDU]IH SLU^AQ W ODIN OB]IJ |
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|
|
|
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d(Cx+a) = C dx =) dx = |
1 |
d(Cx+a) |
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|
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C |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d(6x) |
|
|
1 |
|
|
|
|
d(6x |
|
|
1) |
|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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1) Z |
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|
|
= 6 Z |
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|
|
|
|
|
|
= 6 Z |
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|
6x ;1 |
|
= |
6 ln j6x;1j + C |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6x |
; |
1 |
|
|
|
6x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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2) (3 |
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|
;1 |
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(3 ; 7x)8 |
; |
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|
; 7x)8 dx = ;7 |
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|
d (;7x) = |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= Z |
1 |
Z |
|
(3 |
; |
7x)8 d (3 |
|
Z |
7x) = |
|
|
|
|
|
1 (3 ; 7x)9 |
= |
; |
(3 ; 7x)9 + C: |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
;7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
;7 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
wNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA FUNKCIJ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tAK KAK |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
TO |
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|
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|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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d(x ) = (x )0 dx = 2xdx |
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x dx = 2d(x ): |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
aNALOGI^NO |
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x |
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|
|
x |
|
|
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|
|
|
x |
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|||||||||||||||||||||
: d(e ) = (e )0 dx = e dx |
|
=) |
|
|
|
e dx = d(e ): |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d(cos x) = (cos x)0 |
|
dx = ; sin x dx |
|
|
|
|
|
=) sin xdx = ;d(cos x) |
I T |
. |
D |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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