ЕВКЛИДОВА И НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Выполнил:

Асеев Александр

Группа 4А21 ИФВТ Машиностроение

Евклид

— древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в.

до н. э.

Начала

Важнейший математический труд гениального Эвклида «Начала» имеет весьма почтенный возраст — свыше двух тысячелетий. Шли века, менялись народы, исчезали с лица земли одни государства и возникали другие, рушились города, горели в пламени пожаров книги и библиотеки. А «Начала», написанные впервые на хрупком папирусе, прошли сквозь время. Весь труд состоит из тринадцати книг, в содержание которых входит прежде всего изучение геометрических фигур на плоскости. В древности «Начала» сразу же получили широкую известность и стали быстро распространяться по всему свету, удивляя и покоряя умы.

ПОСТУЛАТЫ

1)Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

2)И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

3)И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

4)И чтобы все прямые углы были равны.

5)И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

V АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ЕВКЛИДА

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

ПОПЫТКИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА V ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема. Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Другие предлагали по-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению, более очевидным предложением. Если пятый постулат действительно вытекает из остальных постулатов и аксиом, то измененная указанным образом система постулатов и аксиом противоречива. Поэтому рано или поздно мы придем к двум взаимно исключающим выводам. Этим и будет доказан пятый постулат. Именно таким путем пытались доказать пятый постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт (1728-1777).

Д. САККЕРИ

Джироламо Саккери — итальянский математик, иезуит, создатель первого наброска неевклидовой геометрии.

Вполне оригинальным мыслителем явился Саккери в своём главном труде, озаглавленном «Евклид, очищенный от всех пятен» («Euclides ab omni naevo vindicatus»), изданном в Милане, 1733 г. В нём автор, опередив на столетие творцов неевклидовой

геометрии, Лобачевского и Бойяи, заменяет пятый постулат Евклида на альтернативный постулат гиперболической геометрии (Лобачевского) и доказывает целый ряд теорем этой геометрии. Он рассматривает четырёхугольник, аналогичный четырёхугольнику Ламберта и правильно отвергает 2 из 3 альтернатив относительно четвёртого угла. Однако дальше, в результате вычислительной ошибки он делает неверный вывод, что эта геометрия содержит в себе противоречие.

Сочинение Саккери было оценено только после создания неевклидовой геометрии

И. Г. ЛАМБЕРТ

Ламберт впервые доказал иррациональность чисел и e (1766); усилить данное утверждение и доказать трансцендентность этих чисел удалось только спустя сто лет.

Ламберт стал одним из основателей неевклидовой геометрии. В посмертно изданной книге «Теория параллельных» (1786) он высказал ряд глубоких мыслей о роли «пятого постулата»в геометрии и привёл ряд теорем геометрии Лобачевского, которую считал непротиворечивой.

Ламберт также составил таблицу простых чисел до 102000 (1770), продвинул тригонометрию, теорию конических

сечений и гиперболических функций. В своём сочинении «Дополнения к применению математики и их приложения» (1765) Ламберт с помощью звёздчатого пятиугольника математически

обосновал мнемоническое правило Непера, используемое в сферической тригонометрии для упрощенного получения всех основных соотношений в прямоугольных сферических треугольниках.

ПОЯВЛЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Николай Иванович Лобачевский

(20 ноября 1792 —

12 февраля 1856)

Русский математик, создатель неевклидовой геомет

рии, деятель университетского образования и народного просвещения.

АКСИОМА ЛОБАЧЕВСКОГО

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.