«Национально исследовательский томский политехнический университет» ИФВТ 4Е21 Васильев. А. В

Односторонние поверхности, поверхности, не имеющие (в отличие, например, от сферы или квадрата) двух различных сторон. Точнее, предполагая, что поверхность имеет непрерывно зависящую от точки нормаль, можно, взяв в какой- либо точке поверхности нормальный вектор и непрерывно ведя его вдоль замкнутого пути, прийти в исходную точку с вектором, противоположным начальному.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Если разрезаать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганская лента».

Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

Если сложить бумагу гармошкой, а затем скрутить из неё лист Мёбиуса и разрезать наполовину то вы увидите три сцепленных между собой кольца.

Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство , но вкладывается в .

Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.

Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).