10. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке. Фальшивое разложение.

Минор Mij – определитель матрицы, которая получается из исходной матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическим дополнением элемента  матрицы А называется число.

Разложение по i-ой строке |A|=a(i1)A(i1)+…+a(in)A(in).

Фальшивое разложение - сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

a(i1)A(j1)+ a(i2)A(j2)+….+a(in)A(jn)=0

11. Обратная матрица и способы ее вычисления.

Пусть А – квадратная матрица. Матрица В( того же размера) называется обратной для матрицы А, если их произведение дает единичную матрицу.

1способ. Приписываем матрице А справа единичную матрицу. С помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы приводим матрицу А(левую половину сдвоенной матрицы) к единичной. Тогда на место первоначально приписанной единичной матрицы окажется обратная матрица А. 2способ. Есть у нас матрица А. Составляем новую матрицу А* с помощью алгебраических дополнений. Находим определитель матрицы А. И тогда обратная матрица равна транспонированной матрице А* деленной на определитель матрицы А, т.е. А^-1=(А*)^Т/|А|.

12. Теорема Крамера и формулы Крамера.

Т. Если в системе линейных уравнений число уравнений и число неизвестных совпадает и , то система совместна и имеет единственное решение. x(j)=|A(j)|/|A| , где матрица А(j) получается из матрицы А заменой j-ого столбца столбцом свободных членов, т.е. b (столбец который после знака равно в исходной системе).

13. Линейная зависимость векторов. Связь с линейными комбинациями.

Набор векторов а(1),….,а(n) (одной высоты) линейно зависим, если существует ненулевой набор чисел j(1),…,j(n), что j(1)a(1)+…+j(n)a(n) =0. Вектор b является линейной комбинацией векторов а(1),….,а(n), если b=h(1)a(1)+…+h(k)a(k) для некоторых чисел h(1)…h(k). Система векторов а(1),….,а(n) называется линейно зависимой  один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.

14. Критерий равенства нулю определителя.

Определитель квадратной матрицы А равен нулю  столбцы (строки) линейно зависимы. Определитель матрицы А, содержащий нулевой столбец (строку), равен нулю. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю. Определитель, в котором одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, равен нулю.

15. Основная лемма о линейной зависимости. Подпространства. Размерность подпространства. Определение базиса.

Пусть а(1),…,а(k) и b(1),…,b(m) две системы векторов каждый вектор а(i) является линейной комбинацией векторов b(1),…,b(m). Если k>m, то системы а(1),…,а(k) линейно зависима. Подпространство U в Rⁿ – это подмножество со следующими свойствами: 1)если u, v є U=› u+v є V; 2)если u є V и µ - число, то µu є V.

Размерность подпространства – это число векторов в базисе. Базисом называется система векторов, если эти векторы линейно независимы и любой вектор этого пространства (из R^n) является линейной комбинацией векторов данной системы.