§24.. Действительное число как бесконечная десятичная дробь.

Лемма 10. Для любого действительного положительного числа существует целое неотрицательное число N такое, что

N

Д о к а з а т е л ь с т в о.

По теореме 2, для чисел 1 и чтоK*1Значит 0. Рассмотрим конечное множествои выделим в нем подмножество, состоящее из всех чисел, больших. Наименьшее число из этого подмножества обозначимN+1 (оно существует по лемме1), Тогда N+1, а Nα, так какN уже не принадлежит указанному подмножеству. Итак NαN+1, где N- неотрицательное целое число. Лемма доказана.

Пусть дано действительное число α>0. Построим 2 последовательности рациональных чисел, сходящихся к числу α.

По лемме10, существует неотрицательное целое число N₀ такое, что . Положимa₀=,b₀=.

Возьмем 10*α. По лемме 10, существует неотрицательное целое число N₁ такое, что N₁ 10*α

Отсюда получаем

Положим

Возьмем число 100*, По лемме 10, существует неотрицательное целое числоN₂ такое, что Отсюда получаемположим

Продолжим этот процесс. На n- м шаге рассматривается число 10ⁿ*α и подбирается целое неотрицательное N_n такое, что _.

Тогда .

Полагаем .

В итоге получаем две последовательности и, причемдля любогоn . Докажем, что .

Возьмем произвольное и подберем натуральное числоN так, чтобы выполнялось неравенство ( это можно сделать, например, следующим образом: подбираем натуральное числоk такое, что , а затемN такое, что . Тогда, а значит). Тогда дляn≥N тем более будет выполняться неравенство .

Пусть n≥N. Имеем . Таким образом, доказано следующее:. Но это означает, что.

Аналогично доказывается, что . Последовательностьназовем последовательностьюдесятичных приближений числа по недостатку, а - последовательностьюдесятичных приближений числа по избытку (аналогичное построение можно осуществить и для ).

Докажем, что - возрастающая последовательность, то есть

Сравним и. По построению, причем. Тогда. Далее, по построению, причем.

- это наибольшее целое число, не превосходящее , а- одно из целых чисел, не превосходящих. Значит,, откуда, то есть. Точно так же доказываются неравенстваи т.д.

Аналогично доказывается, что - убывающая последовательность, то есть

Рассмотрим последовательность несколько подробнее. Это последовательность конечных десятичных дробей, а именно,- целое число,- число с одним десятичным знаком,- число с двумя десятичными знаками и вообще- число сn десятичными знаками. Покажем, что целая часть у всех членов последовательности одна и та же. В самом деле, из возрастания последовательности получаем, то есть. С другой стороны(по построению) и, в свою очередь,. Таким образом,, а это значит, что- целая часть числа.

Покажем теперь, что первый десятичный знак у всех членов последовательности, начиная с , один и тот же. Это следует из того, что у всех членов последовательностиодна и та же целая часть (доказывается так же как это сделано для последовательности).

Аналогично показывается, что второй десятичный знак у всех членов последовательности начиная содин и тот же и вообще, чтоn-й знак у всех членов последовательности начиная с один и то же.

Если , то -в этом случае найдем бесконечную десятичную дробь, соответствующую положительному числу -и поставим перед ней знак «минус». Это и будет бесконечная десятичная дробь, соответствующая числу. Числу 0 поставим в соответствие дробь 0,000…

Итак, каждому действительному числу ставиться в соответствие некоторая единственная десятичная дробь. Верно и обратное: каждая бесконечная десятичная дробь соответствует единственному действительному числу. Бесконечную десятичную дробь, соответствующую числу , естественно отождествить с числом(точнее, с тем символом, который мы приписали классу ФП, определяющему число).