§ 28. Кватернионы

Множество М всех матриц вида , гдеа и b — любые действительные числа, представляет собой поле, изоморфное полю комплексных чисел C. Это поле содержит в себе подполе всех матриц вида , изоморфное полю действительных чиселR.

Таким образом, поле матриц M является одной из интерпретаций поля комплексных чисел C. Поэтому можно было бы к полю комплексных чисел прийти, отправляясь от поля матриц М. Этой возможностью воспользуемся для построения расширения поля комплексных чисел. Для этой цели рассмотрим множество всех матриц вида, где- любые комплексные числа, а числа— сопряженные числам бив.

Сложение и умножение этих матриц производятся по известным правилам действий над матрицами, т. е.

Две матрицы называются равными тогда, и только тогда, когда

Известно, что сложение квадратных матриц коммута­тивно и ассоциативно, умножение этих матриц ассоциативно и связано со сложением правым и левым законами дистрибутивности. Для каждой матрицы существует ей противоположная матрицатакого же вида.

Перечисленные свойства показывают, что множество является кольцом.

Если же эти свойства матриц не считать известными, то легко можно проверить выполнение аксиом кольца в множестве непосредственными вычислениями по вышеуказанным правилам.

В кольце Q закон коммутативности умножения, вообще говоря, не выполняется, например

Определитель матрицы из кольца Q будет равным нулю тогда, и только тогда, когда так как изследуета = b = с = d = 0. Обратное утверждение очевидно. Из этого следует, что для каждой матрицы из ,кроме нулевой, существует обратная матрица.

Таким образом, в множестве матриц выполняются все аксиомы тела

Тело содержит в себе множество всех матриц вида , где- любые действительные числа, т. е. содержит в себе поле, изоморфное полю комплексных чисел C. Поэтому существует тело Q, являющееся расширением поля комплексных чисел C, изоморфное телу матриц .

Чтобы построить тело Q, достаточно в множестве матриц произвести замену элементов подмножества , изоморфного полю действительных чиселD, соответственными действительными числами, т. е. каждую матрицу вида заменить действительным числома. Покажем это.

Каждая матрица

из однозначно определяется четверкой действительных чисел (a, b, с, d), причем единичная матрица определяется четвёркой (1, 0, 0, 0). Рассмотрим ещё матрицы, определяемые четвёрками чисел (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), т. е. матрицы

Каждую матрицу из множества можно представить в виде

Если все элементы поля заменим соответственными им при изоморфизме действительными числами, а для матриц

введем обозначения соответственно через i, j, k, то матрица

заменится выражением

Определение 1. Выражение вида , где а, b, с и d — любые действительные числа, называется кватернионом. Множество всех кватернионов называется телом кватернионов.

Название «кватернион» происходит от латинского слова quaterni — по четыре. Действительные числа a, b, с, d, однозначно определяющие кватернион , называются компонентами или координатами этого кватерниона. Сложение кватернионов сводится к сложе­нию соответственных компонентов. Элементы 1, i, j, k называются единицами тела кватернионов, причем последние три — мнимыми единицами. Чтобы получить правила умножения кватернионов, необходимо и достаточно установить это правило для умножения еди­ниц. Правила умножения единиц тела кватернионов с не­обходимостью вытекают из умножения соответственных матриц. Из равенств:

следуют равенства:

Далее следуют равенства:

Кроме того, имеем:

Из всех перечисленных равенств следует таблица умножения единиц тела кватернионов Q (черт.8)

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	- 1	k	-j
j	j	- k	- 1	i
k	k	j	- i	- 1

Правило умножения кватернионов состоит в том, что их перемножают как обычные многочлены, т. е. каждый член первого кватерниона б умножают на каждый член второго кватерниона в с учетом таблицы умножения единиц (черт. 7) и полученные произведения складывают, применяя при этом соответствующие аксиомы кольца. При умножении кватернионов надо строго соблюдать порядок следования сомножителей, так как умножение в множестве Q, вообще говоря, не коммутативно.

(1)

Произведение вб будет отличаться от произведения бв только тем, что во всех коэффициентах при i, j, k послед­ние два слагаемых изменят знаки на противоположные.

Определение2. Два кватерниона называются сопряженными друг другу. Произведение сопря­женных кватернионов называется нормой каждого из этих кватернионов. Норма кватерниона б обозначается черезN (б).

Если в равенствах (1) положим

то получим, что

Точно так же получается, что

Отсюда следуют равенства:

(2)

Следствие 3. Кватернионтогда, и только тогда, равен нулю, когда его норма равна нулю.

Следствие 4. Если в произведении кватернионов вб оба сомножителя заменить кватернионами, им сопря­женными, то получится кватернион, сопряженный произведению бв, т. е. для кватернионов имеет место равенство

.(3)

Для доказательства достаточно вычислить про­изведение и сравнить его с произведениембв.

Следствие 5. Норма произведения кватернионов равна произведению норм сомножителей.

Доказательство.

(4)

Так как множество кватернионов Q является телом, то для каждого кватерниона существует ему обратный кватернион, потому что

Уравнение прирешается путем умножения обеих его частей слева нат. е

Для уравнения умножаем обе его части справа наи получаем:

Множество всех кватернионов видапредставляет собой поле, изоморфное полю всех действительных чиселD т. е. является под полем тела кватернионов. В множестве Q содержатся еще три подполя, изоморфные полю комплексных чисел К: мно­жество всех кватернионов вида , множество всех кватернионов вида и множество всех кватернионов вида.

Тело кватернионов было построено в середине XIX века английским математиком Гамильтоном в результате поисков расширения поля комплексных чисел. Уже Гамиль­тоном были найдены возможности применения кватернионов в геометрии и физике.

Различные конкретные истолкования (интерпретации) показывают возможность применения кватернионов в ма­тематике, физике, механике. Всякий кватернион можно рассматривать как состоящий из двух частей: число а называют скалярной частью, а выражение — векторной частью кватерниона . Множество v всех векторных частей кватернионов, т. е. множество всех кватернионов вида представляет собой коммутативную группу по сложению, так как сложение в этом множестве является алгебраической операцией, удовлетворяющей всем аксиомам указанной группы (§ 11). Эта группа изоморф­на группе всех обычных векторов трехмерного простран­ства, употребляемых в геометрии, физике, механике. При этом каждому кватерниону ставится в соответствие вектор Поэтому каж­дый вектор можно рассматривать как геометрическую интерпретацию кватерниона

т. е. рассматривать обычные векторы множества и элементы множества v как различные истолкования одного и того же понятия.

Умножение в множестве v не является алгебраической операцией, так как произведение двух элементов из v, вообще говоря, будет кватернион с отличной от нуля скалярной частью и тем самым не будет принадлежать множеству v. Однако и в этом случае обнаруживается тесная связь кватернионов с обычными трехмерными векторами. Перемножим два кватерниона

Первое слагаемое этого произведения представляет собой скалярное произведение векторов и, взятое с противо­положным знаком, а остальная часть этого произведения совпадает с векторным произведением и, т. е. спра­ведливо равенство:

(5)

где в левой части — кватернионы , а в правой части — соответствующие им векторы иРавенство (5) показывает связь умножения кватернионов с двумя различными умножениями, рассматриваемыми в векторном исчислении, которое к настоящему времени широко развито и имеет многочисленные применения в науке. Исторически векторное исчисление возникло из теории кватернионов, когда векторные части кватернио­нов стали рассматривать отдельно от кватернионов.

Кватернионы находят применение и в теории чисел. Например, из равенства (1) и следствия 29,5 сразу же получается важное тождество Эйлера:

Применением кватернионов в теории чисел и алгебре занимались советские математики, например Б. А. Венков, Ю. В. Линник, Д. К. Фаддеев.

Одновременно с отысканием различных применений тео­рии кватернионов продолжались поиски дальнейшего расширения числового множества, что привело к построению новых разделов математики: теории линейных пространств, теории алгебр, или гиперкомплексных систем.

Каждое комплексное число представляет собой сумму двух произведений: действительного числаа на еди­ницу 1 и действительного числа b на мнимую единицу i, т. е. поле комплексных чисел является числовым полем с дву­мя единицами 1 и i Поиски такого поля с тремя единицами к желаемому результату не привели, причина этого будет выяснена в следующем параграфе. Гамильтону удалось построить расширение числового поля с четырьмя единицами 1, i, j, k (тело кватернионов Q), установив соответ­ствующим образом таблицу умножения единиц (черт. 8). Естественно, возникает вопрос о возможности построения расширений с большим числом единиц. Для решения такого вопроса стали рассматривать выражения вида , где коэффициенты действительные числа, а — элементы некоторого множества.