- •2. Матрицы. Основные определения – прямоугольная, квадратная, диагональная, треугольная, нулевая и единичная матрицы. Сложение матриц и его свойства.
- •3. Умножение матрицы на скаляр, транспонирование матриц, умножение матриц и их основные свойства.
- •4. Перестановки n-й степени. Теорема о четности перестановки. Определители n-го порядка. Определители второго и третьего порядков.
- •5. Разложение определителя по ряду. Минор и алгебраическое дополнение к элементу определителя. Связь алгебраических дополнений с минорами.
- •6. Свойства определителей.
4. Перестановки n-й степени. Теорема о четности перестановки. Определители n-го порядка. Определители второго и третьего порядков.
Определение 1. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его элементов, и обозначается I=(i1i2…in), где i1,i2,..,in – попарно различные элементы из М.
Пример 1. Пусть М={1,2,3}. Тогда перестановки на М имеют вид: I1=(132), I2=(231), I3=(123) и т.д.
Определение 2. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара символов перестановки I, в которой символ, стоящий левее, больше символа, стоящего правее.
Пример 2. В перестановке I2=(231) две инверсии: 31 и 21.
Через (I) будем обозначать число всех инверсий перестановки I.
Определение 3. Перестановка I называется чётной, если (I) – чётное число, в противном случае перестановка I называется нечётной.
В примере 2 перестановка I – чётная.
Через Sn обозначается множество всех перестановок n-ой степени. Можно доказать, что количество всех перестановок из n элементов равно n!=123…n. Например, из 3 элементов можно составить перестановок. Это будут 123, 132, 231, 321, 312, 231.
Определение 4. Транспозицией называется перемена местами 2-х элементов перестановки, когда остальные элементы остаются на месте.
Теорема 1. Транспозиция меняет четность перестановки. Другими словами, четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два произвольных символа.
Пусть А=- матрицаn-го порядка над полем Р.
Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных строках и разных столбцах. Таким, например, является произведение элементов, стоящих на главной диагонали: a11a22…ann. Все такие произведения можно получить по следующему правилу: выберем для произведения из первой строки матрицы А некоторый элемент , затем вычеркнем первую строку иj1-й столбец, и в полученной подматрице из первой строки выбираем некоторый элемент и т.д. Через конечное число шагов получим произведение вида:….
Так как j1,j2,…,jn – попарно различные элементы из множества М={1,2,…,n}, то вторые индексы в записанном произведении образуют перестановку I=(j1j2…jn).
Рассмотрим выражение вида: (-1) (I) (1), гдеI=(j1j2…jn).
Выражений вида (1) можно образовать столько, сколько существует перестановок, составленных из вторых индексов, т.е. их будет n!.
Определение 5. Пусть А=- матрицаn-го порядка над полем Р. Определителем матрицы А (или, коротко, определителем n-го порядка) называется элемент поляР, равный .
Используются следующие обозначения: =,=|A|, =|aij|, i=,j=,
=det A.
1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е. Δ ==.
Так как I1 = (12) и = 0, то получим Δ = =.
Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка: Δ = =.
I1 = (123) = 0 ;I2 = (213) = 1 ;
I3 = (312) = 2 ;I4 = (321) = 3 ;
I5 = (132) = 1 ;
I6 = (231) = 2 .
Следовательно,
Δ==.
Таким образом, определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых, три из которых со знаком +.