FA Арсеньев Функ.Ан

Åñëè ff g -произвольное семейство отображений множества X в топологические пространства Y ( ), то система множеств

B = fO j O = f 1(A) ; A 2 TY ( )g

определяет на множестве X базу топологии, в которой все отображения

f непрерывны. Эта топология называется инициальной топологией äëÿ

семейства отображений ff g.

В частности, определяемая по (2.30) база топологии в произведении

Q

X пространств является инициальной топологией относительно ко-

2I

нечных систем отображений проектирования

P ( (j)) :	X 7!X (j) ; 1 j n	(2.40)
2I
Y
P ( (j))(	x ) = x (j):	(2.41)
2I
Y

Если ff g -семейство произвольных отображений топологических пространств X( ) в множество Y , то система множеств

B = fB j f 1(B) 2 TX( )g

определяет на множестве Y предбазу топологии, в которой все отображения ff g непрерывны. Эта топология называется финальной топологией в Y .

Åñëè T1 ; T2 -две топологии на множестве X, то говорят, что топология T1 сильнее (обозначение :T1 T2) топологии T2 (или топология T2 слабее топологии T1), если T2 T1, т.е. если каждое множество, откры-

тое в топологии T2, открыто и в топологии T1. Если включения строгие, то говорят, что соответствующая топология строго сильнее (слабее).

Для того чтобы топология T1 была бы сильнее топологии T2, необхо- димо и достаточно, чтобы было непрерывным тождественое отображение пространства (X ; T1) в пространство (X ; T2).

Åñëè A X произвольное подмножество топологического простран-

ñòâà (X ; TX ), то на множестве A можно ввести топологию TA, положив по определению TA = f; ; A ; A TOg; ãäå O 2 TX . Топология TA íà- зывается индуцированной топологией. Вообще говоря, открытые и или замкнутые подмножества топологии TA не являются открытыми или замкнутыми подмножествами топологии TX . Приведем пример. Пусть X = R1 с обычной топологией и A = [0 ; 1). В этом случае множество A

в топологии TX ни открыто, ни замкнуто, а в топологии TA множество A и открыто, и замкнуто.

119

Лемма 2.2.6.

Если A -открытое подмножество топологического пространства (X ; TX ), то подмножество B A открыто в топологии TA в том и только том случае, если множество B открыто в топологии TX . Если A -замкнутое подмножество топологического пространства TX , то подмножество B A замкнуто в топологии TA в том и только том случае, если множество B замкнуто в топологии TX .

Доказательство.Если A è B A открыты в топологии TX , òî ìíî-

жество B = A				B открыто в топологии TA, поэтому любое множество,
открытое в			топологии		TX	, открыто и в топологии	TA	. Åñëè	A	открыто
			T
è B открыто в топологии TA, òî B = A O, ãäå O открыто в тополо-
ãèè	T	X , поэтому B открыто в топологии TX . Åñëè A è B A замкнуты
						T

в топологии TX , то множество CX (B) открыто в топологии TX , поэто- му множество CA(B) = A CX (B) открыто в тополгии TA, а множе-

ñòâî B замкнуто в

топологии

TA

. Åñëè

A

замкнуто в топологии

TX , à

T

B A замкнуто в топологии

TA, то A n B открыто в топологии TA,

поэтому A n B = A

O, где O открыто в топологии TX и множество

CX (

B

A

O

C (A)) открыто в топологии

TX

, т. е. B замкнуто в

) = (

) ( TX

тополгии

TX .T S

Лемма доказана.

2.2.4Аксиомы отделимости.

Взаимоотношения точки и окрестности в топологическом пространстве регулируются аксиомами отделимости. Вот список часто используемых аксиом отделимости.

1. Аксиома T0. По крайней мере одна из любых двух точек пространства имеет окрестность, которая не содержит другую точку.

Пример пространства, которое удовлетворяет аксиоме T0 (è íå óäî- влетворяет ниже следующим аксиомам) приведен в примере 2.2.1

2. АксиомаT1. Каждая из двух любых точек пространства имеет окрестность, которая не содержит другую точку.

Пример пространства, которое удовлетворяет аксиоме T1 (è íå óäî- влетворяет ниже следующим аксиомам) приведен в примере 2.2.2.

В пространстве, которое удовлетворяет аксиоме T1, каждая точка есть замкнутое множество.

3. Аксиома T2. Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.

4. Аксиома T3. У любого замкнутого множества A и точки x 2 C(A) есть непересекающиеся окрестности.

5. Аксиома T4. Любые два замкнутых непересекающихся множества имеют непересекающиеся окрестности.

120

Лемма 2.2.7.

Аксиоме T2 называется аксиомой отделимости Хаусдорфа, а простран-

ства, которые удовлетворяют аксиоме T2, называются хаусдорфовыми

пространаствами. Ясно, что метрическое пространство является хаусдорфовым пространством. Встречающиеся в анализе пространства ча- ще всего являются хаусдорфовами пространствами.

Пространства, которые удовлетворяют аксиомам T1 è T3, называют регулярными пространствами.

Пространства, которые удовлетворяют аксиомам T1 è T4, называют

нормальными пространствами.

Любое нормальное пространство является регулярным пространством, любое регулярное пространство является хаусдорфовым пространством.

Пространство X хаусдорфово в том и только том слу- чае, если в декартовом произведении пространств X X диагональ:

diag X X ; diag := fx y j x 2 X ; y 2 X ; x = yg

есть замкнутое множество.

Пусть пространство X хаусдорфово. Докажем, что диагональ замкнута. Пусть x y 62diag. Тогда x 6= y, и существуют такие открытые окрестности V (x) è V (y) точек x è y, ÷òî

\

V (x) V (y) = ;: (2.42)

Тогда множество V (x) V (y) есть открытая окрестность точки x y в пространстве X Y , которая в силу (2.42) не пересекается с диагональю, поэтому множество C(diag) открыто, а множество diag замкнуто. Если диагональ замкнута, то точка x y ïðè x 6= y имеет непересекающуюся с диагональю открытую в топологии произведения X X окрестность. По определению базы топологии в пространстве X X должны существовать такие открытые окрестности V (x) è V (y) точек x è y, что выполнено

соотношение (2.42). Лемма доказана. Следствием этой леммы является

Лемма 2.2.8. Если f и g -непрерывные отображения пространства X в хаусдорфово пространство Y и

8(x 2 A) : f(x) = g(x);	(2.43)
òî
8(x 2 Cl(A)) : f(x) = g(x):	(2.44)

121

Доказательство. Рассмотрим отображение F пространства X в пространство Y Y :

X 3 x 7!F (x) = f(x) g(x) 2 Y Y:

Отображение F непрерывно, поэтому прообраз F 1(diag) X замкнутого в топологии Y Y множества diag Y Y замкнут в топологии пространства X. Íî A F 1(diag), поэтому Cl(A) F 1(diag). Лемма доказана.

Лемма 2.2.9. Метрическое пространство есть нормальное пространство.

Доказательство. Заметим, что в силу неравенства (2.11) для любого множества A функция

x 7!dist(x ; A)

непрерывна. Пусть множества A è B замкнуты и не пересекаются. Тогда функция

x7!dist(x ; A) + dist(x ; B)

âсилу следствия 2.2.3) не равна нулю ни в одной точке, так как нет таких точек, которые принадлежали бы и множеству A, и множеству B.

Поэтому функция

f(x) =	dist(x ; A)	(2.45)
	dist(x ; A) + dist(x ; B)

непрерывна. Положим

OB = fx j f(x) > 3=4g ; OA = fx j f(x) < 1=4g:

В силу непрерывности функции f(x) множества OA è OB открыты. Оче- видно, что они не пересекаются и выполнены включения A OA ; B OB. Лемма доказана.

Для любых двух непересекающихся замкнутых множеств A è B в метрическом пространстве функция (2.45) непрерывна и удовлетворяет условию: f(A) = 0 ; f(B) = 1: Такая функция существует не только

в метрическом пространстве, но и в любом нормальном топологическом пространстве. Для доказательства этого факта мы сначала докажем лемму, которую называют малой леммой Урысона.

Лемма 2.2.10. Пусть X -нормальное топологическое пространство и A -замкнутое множество в X. Тогда для любой открытой окрест-

ности OA множества A существует такая открытая окрестность VA A, ÷òî

A VA Cl(VA) OA:

(2.46)

122

;. Так как пространство X нормально, то существуют такие		T
Доказательство. Пусть D = C(OA). Множество D замкнуто и A		D =
	открытые

Множество C(VD) замкнуто и содержитTVA. Íî Cl(VA) -наименьшее за-
окрестности VA A è VD D, ÷òî VA	VD = ;. Поэтому C(VD) VA.

мкнутое множество, которое содержит VA, поэтому Cl(VA) C(VD). Òàê

êàê VD D, òî C(VD) C(D) = OA. Следовательно, выполнены вклю- чения

A VA Cl(VA) C(VD) OA:

Лемма доказана.

Теперь докажем большую лемму Урысона.

Лемма 2.2.11. Пусть X -нормальное топологическое прстранство, A и B -замкнутые непересекающиеся множества в пространстве X. Тогда существует такая непрерывная функция f : X 7!R1, ÷òî f(A) = 0 ; f(B) = 1 ; 0 f(x) 1:

Доказательство. Положим V (1) = C(B). Множество V (1) открыто и содержит множество A. Пусть V (0) -такая открытая окрестность множества A, что

A V (0) Cl(V (0)) V (1):

Такая окрестность существует на основе малой леммы Урысона. Докажем, что для любых n = 0; 1; : : : и двоично-рациональных p0 ; p =

2 nm ; 0 m 2n мы можем найти такие открытые множества V (p) ; V (p0), ÷òî

8(p0 > p) : A V (p) ClV (p) V (p0):

(2.47)

Доказательство будем вести по индукции. При n = 0 существование таких окрестностей доказано выше. (n + 1)-й шаг индукции проведем так. Для

p0 = 12(2 nm + 2 n(m + 1)) = 2 (n+1)(2m + 1) ; m < 2 n;

мы, воспользрвавшись малой леммой Урысона для замкнутого множества Cl(V (2 nm)) и его открытой окрестности V (2 n(m + 1)), найдем

такую открытую окрестность V (p0), ÷òî

Cl(V (2 nm)) V (2 (n+1)(2m + 1)) Cl(V (2 (n+1)(2m + 1))) V (2 n(m + 1)):

Существование удовлетворяющих условию (2.47) окрестностей доказано. По построению эти окрестности удовлетворяют условию

8(p0 > p) : A Cl(V (p)) V (p0) V (1) = C(B):

123

открыто и из

Определим функцию

(1 ;fx j			B:
f(x) = inf	p	x 2 V (p)g;
	2

Функция f(x) удовлетворяет условиям:

f(x) = 0 ; x 2 A ; f(x) = 1 ; x 2 B ; 0 f(x) 1 ; x 2 X:

Докажем, что функция f(x) непрерывна. Пусть

[

O( ) = V (p):

p< =2

Множество O( ) открыто и из определения функции f(x) следует, что f(O( )) [0 ; )

Пусть (t =2 ; t + =2) (0 ; 1) è O0( ) = V (t + =2) n Cl(V (t =2)). Множество O0( ) открыто и из определения функции f(x) следует, что f(O0( )) (t =2 ; t + =2).

Пусть O00( ) = C(Cl(V (1 =2))). Множество O00( ) определения функции f(x) следует, что f(O00( )) (1 ; 1].

Непрерывность функции f(x), а вместе с этим и большая лемма Урысона доказаны.

Следствие 2.2.4. Пусть X -нормальное топологическое пространство и Ai ; 1 i n < 1 -попарно непересекающиеся замкнутые множе-

ñòâà â X ; ai -произвольные константы. Тогда существует непрерыв- ная функция f : X 7!R1, которая удовлетворяет условиям:

f(x) = ai ; x 2 Ai ; jf(x)j	X
	jaij ; x 2 X:
	1 i n
S
Доказательство. Для множеств A =	Aj è B = Ai построим функ-

j6=i

öèþ fi(x), которая удовлетворяет условиям большой леммы Урысона. Тогда функция

X

f(x) = aifi(x)

i

есть искомая функция.

Это следствие уточняет теорема Брауэра-Титце-Урысона о продолжении функции.

124

Теорема 2.2.4. Пусть X -нормальное пространство, A -замкнутое

подмножество в X, и :	A 7!R1 -непрерывная в топологии TA ограни-
R1, ÷òî 8(x 2 A) : f(x) =	(x).	f : X 7!
ченная функция. Тогда существует такая непрерывная функция

Доказательство. Пусть M0 = supfj (x)j j x 2 Xg. Определим множества

A00 = fx j (x) M0g ; A01 = fx j (x) M0g:

Множества A00 ; A01 замкнуты в пространстве (A ; TA), а поскольку A замкнуто в X, то эти множества замкнуты и в X. Построим непрерывную

на всем пространстве X функцию f0(x), которая удовлетворяет условиям:

f0(x) = M0=3 ; x 2 A00 ; f0(x) = M0=3 ; x 2 A01 jf0(x)j M0=3 ; x 2 X:

Существование такой функции следует из большой леммы Урысона. Положим

		1(x) = (x) f0(x):
Функция 1(x) непрерывна на A и удовлетворяет оценке
	supfj 1(x)j j x 2 Xg 2=3M0:
К функции	1 мы снова применим наше построение. Так мы получим
функциональные последовательности
0(x) = (x) ;		n+1(x) = n(x) fn(x) ;
sup j	n+1(x)j 2 sup j n(x)j=3 ; x 2 A;
fn(x) = n(x)		n+1(x) ; jfn(x)j sup j n(x)j=3 ; x 2 X:
Функция		0 X1
		f(x) =	fn(x)
		n<
есть искомое продолжение функции			(x).

2.3Компактные пространства.

Определение 2.3.1. Система P = fA j 2 Ig открытых подмножеств топологического пространства называется открытым покрытием множества A, åñëè

[

A A :

2I

125

Определение 2.3.2. Открытое покрытие P0 = fA j 2 Ie Ig ìíî-

жества A называется подпокрытием покрытия P = fA j 2 Ig, åñëè P0 P, т.е. если каждое множество, входящее в покрытие P0, входит и

в покрытие P.

Определение 2.3.3. Топологическое пространство K называется ком-

пактным топологическим пространством (или компактом), если любое открытое покрытие fA j 2 Ig пространства K содержит состоящее из конечного числа множеств подпокрытие, т.е. состоящую из конечного числа множеств подсистему fA (j) j 1 j < N < 1g fA j 2 Ig,

которая есть покрытие K.

Определение 2.3.4. Множество A X в топологическом пространстве (X ; T ) называется компактом в X, если оно есть компактное топологи-

ческое пространство в индуцированной топологии, т.е. если пространство (A ; TA) компактно.

Определение 2.3.5. Множество A X в топологическом пространстве (X ; T ) называется предкомпактным в X, если замыкание ClX (A) есть компактное в X пространство.

Условие (2.3.3) называется условием Бореля-Лебега. В работах Н. Бурбаки и их последователей компактами называются хаусдорфовы пространства, которые удовлетворяют условию Бореля-Лебега. Заметим, что примерно до середины 80-х годов в математической литературе на руском языке компактные пространства назывались бикомпактами, а компактами назывались те пространства, которые теперь называются секвенциально компактыми.

Применение формул де Моргана к (2.3.3) дает следующие эквивалентные определению 2.3.3 условия компактности.

Условие 2.3.1. Топологическое пространство K компактно в том и

только том случае, если в любой его системе замкнутых множеств с пустым пересечением содержится состоящая из конечного числа множеств подсистема с пустым пересечением.

Ясно, что это условие эквивалентно следующему.

Условие 2.3.2. Пространство K компактно в том и только том слу- чае, если в нем из условия, что любая конечная подсистема

fF (j) j 1 j < N < 1 ; (j) 2 Ig fF j 2 Ig

системы fF j 2 Ig замкнутых множеств имеет непустое пересече- ния следует, что и вся система fF j 2 Ig имеет непустое пересече- ние.

126

Обратим внимание на то, что во всех случаях множество K рассматривается как топологичесое пространство и речь идет об открытых или замкнутых множествах в топологии пространства K.

Лемма 2.3.1. Если K -замкнутое подмножество компактного топологического пространства (X ; T ), то K -компакт.

Доказательство. Так как множество K замкнуто в X, то в силу леммы 2.2.6 замкнутые в K множества замкнуты и в X, поэтому утверждение

следует из 2.3.2.

Приведем другое доказательство этого факта, которое опирается только на определение компактности с помощью открытых множеств. Пусть

fA j 2		fV j 2 Ig		fC(T) ; A j
	Ig -открытое покрытие множества K. Тогда A = V				K, ãäå
множества			открыты в X, и система множеств		K

2 Ig есть открытое покрытие множества X. Следовательно, некоторая конечная система fC(K) ; V (j) j 1 j < N < 1g есть открытое покрытие множества X, а пересечение множеств этой системы с множеством K есть открытое покрытие множества K. Лемма доказана.

Лемма 2.3.2. Если K -компактное подмножество хаусдорфова пространства X, то K замкнуто в X.

Доказательство.Если K = X, то K замкнуто. Пусть C(K) 6= ;. Докажем, что C(K) открыто. Пусть y 2 C(K) ; x 2 K. Так как пространство X хаусдорфово, то у точек x ; y существуют непрерсекающиеся открытые окрестности

V (x) 3 x ; U(y) 3 y ; V (x) \U(y) = ;:

(2.48)

Система открытых в K множеств fK

V (x) j x 2 Kg есть открытое по-

крытие множества K, поэтому

существует состоящая из конечного числа

T

V (xj) j 1 j < N < 1g, êîòî-

множеств подсистема этой системы fK

рая есть покрытие множества

K

. Пусть U

y

)

-та открытая окрестность

T j(

точки y, которая удовлетворяет условию (2.48) для окрестности

V (xj),

и пусть U0(y) =

1 j<N

Uj(y). Так как индексов j только конечное число,

U0(y)

то окрестность

y

)

открыта и удовлетворяет условию

C(

K

)

.

U0T(

Лемма доказана.

Теорема 2.3.1. Непрерывный образ компактного пространства есть компакт.

Доказательство. Пусть

f : K 7!Y

127

-непрерывное отображение компактного пространства K в топологиче- ское пространство Y è

[

f(K) V ; V 2 T

-открытое покрытие образа компакта K при отображении f. Тогда

[

K f 1(V )

и из открытого покрытия компакта K множествами f 1(V ) можно выбрать конечное подпокрытие:

K	1 [
	f 1(V (j)):
	j<N

Следовательно,

[

f(K) V (j);

1 j<N

что и доказывает компактность множества f(K). Докажем теорему Дини.

Теорема 2.3.2. Пусть fn -последовательность непрерывных функций на компакте K:

fn : K 7!R1:

Предположим, что выполнены условия:

8(x 2 K ; n) : 0 fn+1(x) fn(x);	(2.49)
lim fn(x) = 0:	(2.50)
n!1
Тогда
nlim supffn(x) j x 2 Kg = 0:	(2.51)
!1

Доказательство. Фиксируем произвольно > 0 и рассмотрим множества

Fn = fx j fn(x) g:

В силу непрерывности функций fn(x) множества Fn замкнуты, а так как в силу (2.49) последовательность fn(x) монотонно невозрастает, то

Fn+1 Fn:

(2.52)

128