FA Арсеньев Функ.Ан

Доказательство. Если 2 res(A), то существует оператор R( ; A), и из (3.242) следует, что

xn = R( ; a)yn ; 1 = kxnk kR( ; a)k kynk;

что противоречит (3.242). Лемма доказана.

Сформулированный в данной лемме критерий принадлежности точкиспектру оператора A иногда называется критерием (признаком) Вейля,

а удовлетворяющая условию (3.242) последовательность -последовательностью Вейля.

Лемма 3.9.2. 1. Резольвентное множество открыто. Резольвента R( ; A)

аналитична на своем резольвентном множестве как функция параметра со значениями в L(B 7!B) и удовлетворяет тождеству Гиль-

берта:

R( ; A) R( ; A) = ( )R( ; A)R( ; A):

(3.243)

Доказательство. Пусть 2 res(A). Рассмотрим равенство (3.243) как уравнение относительно неизвестного оператора R( ; A) 2 L(B 7!B):

(id ( )R( ; A))R( ; A) = R( ; A):

(3.244)

Ïðè

j j < kR( ; A)k 1

уравнение (3.244) имеет единственное решение

R( ; A) =	n<	(( )R( ; A))n!R( ; A);	(3.245)
	0 X1

и это решение аналитично по в круге

f j j j < kR( ; A)k 1g:

Докажем, что решение уравнения (3.244) есть резольвента оператора A. Из (3.243) следует, что

Im(R( ; A)) Dom(A):

Умножая обе части равенства (3.243) слева на ( id A), мы получаем:

( id A)R( ; A) = id ( )R( ; A);

239

откуда следует, что

( id A)R( ; A) = id:

Аналогично, применяя равенство (3.243) к элементу ( id A)x, мы получаем:

R( ; A)( id A)x = x + ( )R( ; A)x;

а отсюда следует, что

8(x 2 Dom(A)) : R( ; A)( id A)x = x:

Лемма доказана.

Лемма 3.9.3. Åñëè

\

Dom(A1) = Dom(A2) ; 2 res(A1) res(A2) ; (A1 A2) 2 L(B 7!B);

то справедливы равенства

R( ; A1) R( ; A2) = R( ; A1)(A1 A2)R( ; A2);	(3.246)
R( ; A1) R( ; A2) = R( ; A2)(A1 A2)R( ; A1):	(3.247)

Равенства (3.247)-(3.246) есть две формы записи второго резольвентного тождества (уравнения). Первым резольвентным тождеством (уравнением) называют тождество Гильберта.

Доказательство. Имеем:

8(x 2 Dom(A1)) : ( id A2)x ( id A1)x = (A1 A2)x: (3.248)

В (3.248) сделаем замену

x! R( ; A1)x

èумножим слева на R( ; A2). Получим (3.246). Аналогично, сделав замену

x! R( ; A2)x

èумножив слева на R( ; A2), получим (3.247). Лемма доказана.

Лемма 3.9.4. Åñëè

9( 2 C1) : R( ; A1) = R( ; A2);

(3.249)

òî

A1 = A2:

240

Доказательство. Из (3.249) следует, что

8(x 2 Dom(A1)) : x = R( ; A2)( id A1)x:

Следовательно,

Dom(A1) Dom(A2)

è

( id A2)x = ( id A2)R( ; A2)( id A1)x = ( id A1)x:

Определение 3.9.5. Графиком линейного оператора

A : B1 Dom(A) 7!B2

называется множество

Gr(A) = fx Ax j x 2 Dom(A)g;

рассматриваемое как подпространство прямой суммы B1 B2 банаховых пространств B1 è B2.

Множество L B1 B2 есть график линейного оператора в том и только том случае, если, во-первых, L есть линейное многообразие и, во-втрых, из условий

x y 2 L ; x0 y0 2 L ; x = x0

следует, что

y = y0:

Последнее условие для линейного многообразия эквивалентно требованию: \

L (0 B2) = 0 0: (3.250)

Определение 3.9.6. Оператор A называется замкнутым, если его график замкнут как подпространство прямой суммы B1 B2 банаховых пространств B1 Dom(A) è B2 Im(A).

Определение 3.9.7. Оператор Cl(A) называется замыканием оператора A, если график оператора Cl(A) есть замыкание графика оператора

A:

def

Gr(Cl(A)) = Cl(Gr(A)):

241

Замыкание графика оператора A не обязательно удовлетворяет усло-

вию (3.250), поэтому замыкание графика оператора не обязательно есть график какого-нибудь оператора, но очевидна

Лемма 3.9.5. Если выполнено условие

Cl(Gr(A)) \(0 B2) = 0 0;	(3.251)
то оператор A имеет замыкание Cl(A):
Dom(Cl(A)) = Pr1(Cl(Cr(A));
8(x y 2 Cl(Cr(A))) : Cl(A)(x) = y:	(3.252)

Для доказательства заметим, что в силу условия (3.251) соотношение (3.252) однозначно определяет оператор, график которого есть замкну-

тое множество Cl(Gr(A)).

Таким образом, замыкание Cl(A) оператора A -это оператор, который делает коммутативной следующую диаграмму:

Cl(Gr(A)) Cl(Gr(A))

??

??

Pr1	y1	!	Pr2
			y2
B		Cl(A)	B

ãäå Prj -оператор проектирования прямой суммы B1 B2 на слагаемое

Bj.

Òàê êàê

Gr(A) Cl(Gr(A));

òî

Dom(A) Dom(Cl(A)) ; 8(x 2 Dom(A)) : Ax = Cl(A)(x):

Заметим, что область оперделения Dom(A) замкнутого оператора может не быть замкнутым подпространством в банаховом пространстве B1 Dom(A) и область оперделения замыкания оператора может не быть

замыканием области определения исходного оператора.

В дальнейшем оператор и его замыкание, как правило, мы будем обозначать одним и тем же символом.

Рассмотрим примеры. Пусть

B = L2(R1 ; dx);

Dom(A) = ff j f(x) 2 L2(R1 ; dx) ; x2f(x) 2 L2(R1 ; dx)g; A : Dom(A) 7!L2(R1 ; dx) ; Af(x) = x2f(x):

242

Область определения оператора A плотна в L2(R1 ; dx), так как она содержит все функции с компактным носителем. Оператор A неограничен. Действительно, положим

f (x) = ( = )1=4 exp( x2=2):

Тогда

8( > 0) : f 2 Dom(A) ; kf k = 1 ; kAf k > const= ! 1 ; ! 0:

Легко видеть, что

1

R( ; A)f(x) = ( x2)f(x) ; (A) = [0 ; 1):

Оператор A замкнут. Для доказательства этого утверждения рассмотрим последовательность

fn(x) Afn(x) 2 Gr(A);

которая в топологии прямой суммы L2(R1 ; dx) L2(R1 ; dx) сходится к точке f0(x) (x) и докажем, что эта точка принадлежит графику оператора A.

Из определения нормы в прямой сумме пространств следует, что в метрике пространства L2(R1 ; dx)

fn(x) ! f0(x) ; x2fn(x) ! x2f0(x) = (x) ; n ! 1:

Из полноты пространства L2(R1 ; dx) вытекает, что f0(x) 2 L2(R1 ; dx) ; x2f0(x) 2 L2(R1 ; dx);

Следовательно,

f0(x) 2 Dom(A) ; (x) = Af0(x) è f0(x) (x) 2 Gr(A):

Заметим, что в рассмотренном примере область определения оператора A не замкнута в пространстве L2(R1 ; dx).

Рассмотрим другой пример. Положим

B = L2(R1 ; dx);

Dom(A) =

ff j f(x) 2 L2(R1 ; dx) ; f0(x) 2 L2(R1 ; dx) ; f00(x) 2 L2(R1 ; dx)g;

A : Dom(A) ! L2(R1 ; dx) ; Af(x) = d2 f(x): dx2

243

Оператор A неограничен. Действительно, пусть

Тогда

íî

f 2 Dom(A) ; kfk = 1:

p p

nf(nx) 2 Dom(A) ; k nf(n )k = 1;

p

kA nf(n )k > const:n ! 1 ; n ! 1:

Используя преобразование Фурье, можно доказать, что оператор дифференцирования сводится (позже мы уточним, в каком именно смысле) к оператору умножения на независимую переменную, поэтому рассмотренные нами примеры, по-существу, есть разные редакции примера одного и того же оператора.

Пусть

Z

z = x + iy 2 C1 ; B = ff(z) j jf(z)j2 exp( jzj2)dxdy < 1g:

Положим

Dom(A) = ff j f(z) 2 B ; jzjf(z) 2 Bg;

A : Dom(A) ! B ; Af(z) = zf(z):

Легко видеть, что в рассматриваемом случае резольвентное множество оператора A пусто: res(A) = ;, и спектр оператора совпадает со всей

комплексной плоскостью: (A) = C1.

3.10Полугруппы операторов в банаховом пространстве.

Теория полугупп операторов в банаховом пространстве возникла при изучении уравнений вида

du	= Lu ; t > 0 ; u(+0) = u0:	(3.253)
dt

Одна из основных задач теории состоит в ответе на вопрос, при каких условиях на оператор L и начальные данные u0 уравнение (3.253) име-

ет решение и это решение единственно. Оказывается, что ответ на эти вопросы можно дать в терминах некоторых свойств неограниченных операторов, с элементами теории которых мы только что познакомились.

244

Определение 3.10.1. Функция

T (t) : R1+ 3 t 7!T (t) 2 L(B 7!B)

называется полугруппой класса C0, åñëè

1: 8(t1 2 R1+ ; t2 2 R1+) : T (t1)T (t2) = T (t1 + t2): 2: T (0) = id 2 L(B 7!B):

3: (8x 2 B) функция R1+ 3 t 7!T (t)(x) 2 B

непрерывна на [0 ; 1).

Полугруппой называется функция R1 3 t 7!T (t) 2 L(B 7!B), êîòî-

рая удовлетворяет условиям 1 и 2. Термин C0 уточняет условие 3 непре-

рывности этой функции. Иногда условие 3 формулируется в более слабой форме, которую мы здесь не рассматриваем.

Лемма 3.10.1. Если T (t) -полугруппа класса C0, то она ограничена по норме на любом фиксированном интервале:

8(t > 0) : supfkT ( )k j tg < C(t) < 1

(под нормой опрератора T (t) здесь и ниже мы понимаем его норму в пространстве L(B 7!B)).

Доказательство. Из условия 3 определения 3.10.1 следует, что для любого x 2 B функция t 7!Tk(t)xk непрерывна на [0 ; 1), поэтому

8(t > 0 ; x 2 B) : supfkT ( )xk j tg = C(x) < 1:

Отсюда и из теоремы Банаха-Штейнгауза 3.3.2 (см. стр. 160) следует, что

supfkT ( )k j tg C(t) < 1:

Лемма доказана.

Следствием этого утверждения является

Лемма 3.10.2. Если T (t) -полугруппа класа C0, то существуют такие константы M < 1 ; ! < 1, что

8(t > 0) : kT (t)k < M exp(!t):

(3.254)

245

Определение 3.10.2.

Доказательство. Пусть

t = n + ; 0 < 1:

Тогда

kT (t)k = kT (n)T ( )k

kT (1)nk kT ( )k kT (1)kn kT ( )k supfkT ( )k j 1g exp(t ln kT (1)k):

Лемма доказана.

Замечание 3.10.1. О свойствах гладкости функции

t 7!Tk(t)k

мы сейчас ничего сказать не можем: из наших рассуждений не следует даже измеримость этой функции.

Пусть T (t) -полугруппа класса C0 è

1

Ah(x) = h(T (h)x x):

Положим

Dom(

A

) := f

x

lim

A

(x)

;

(3.255)

j 9 h

!

+0

h

g

8(

x

A

)) :

A x

lim

A

(x):

(3.256)

2 Dom(

(

) = h

!

+0

h

Определенный равенством (3.256) оператор называется инфинитезимальным оператором полугруппы T (t).

Åñëè A -инфинитезимальный оператор полугруппы T (t), то говорят, что полугруппа T (t) порождена инфинитезимальным оператором A.

Лемма 3.10.3. Если A -инфинитезимальный оператор полугруппы T (t) и x 2 Dom(A), то функция

(0 ; 1) 3 t 7!T (t)x

дифференцируема и

dT (t)x

dt

= AT (t)x:

246

Доказательство. Справедливо равенство

(x

2

Dom(A) ; t > 0) :

(T (t + t) T (t))x

=

8

t

T ( t) id

T (t)x = T (t)

T ( t) id

x !

t

t

AT (t)x = T (t)Ax ; t ! 0;

t

!

( t)

(T (t

t) T (t))x

= T (t

t)

T ( t)

id

x

= T (t)Ax:

Лемма доказана.

Замечание 3.10.2. Инфинитезимальный оператор есть правая производная полугруппы в нуле. В лемме 3.10.3 утверждается, что существует обычная производная.

Теорема 3.10.1. Если A -инфинитезимальный оператор полугруппы T (t) класса C0, то следующие условия эквивалентны:

1: Dom(A) = B;

2: kT (t) idk ! 0 ; t ! +0;

3: 9(A 2 L(B 7!B)) : T (t) = exp(tA):

Доказательство.

1 ! 2. Если предел (3.255) существует для любого x 2 B, то в силу теоремы Банаха-Штейнгауза

supfk(T (h) id)=hk j 0 < h < h0g = C < 1;

поэтому

kT (h) idk Ch ! 0 ; h ! 0:

2 ! 3. Пусть > 0 выбрано так, что

8(t < ) : kT (t) idk < 1=2:

Тогда

(T (t)) b(1 ; 1=2) C1;

и так как функция ln(z) аналитична в круге b(1 ; 1=2), то определен оператор

8(0 < t < ) : V (t) = ln T (t):

Åñëè 0 < nt < , òî

V (nt) = ln T (nt) = ln(T (t)n) = nV (t):

247

-пространство всех непрерывных на отрезке

Отсюда следует, что

V (t=n) = n1 V (t);

è	m			m		m
8(m ; n ;		t < ) : V			t =		V (t):
	n			n		n

Из непрерывности оператора V (t) как функции t отсюда следует, что

8(0 < t < ) : V (t) = tA ; A 2 L(B 7!B);

è

T (t) = exp(tA) ; 0 < t < :

С помощью полугруппового тождества это равенство распространяется на все t > 0.

3 7!1. Утверждение тривиально.

Рассмотрим примеры. Пусть

B = R1 ; 8(z 2 R1) : T (t)z = exp(at)z:

Это соотношение задает в пространстве R1 полугруппу класса C0 ñ èí- финитезимальным оператором

Az = az:

Область определения инфинитезимального оператора в рассматриваемом случае совпадает со всем пространством и инфинитезимальный оператор ограничен.

Пусть B = C([0 ; 2 ])

[0 ; 2 ] периодичных: f(0) = f(2 ) ; f 2 B функций с обычной нормой. Положим

T (t)f( ) = f( + t):

Это сотношение задает в пространстве C([0 ; 2 ]) полугруппу класса C0 с инфинитезимальным оператором

Af( ) = df( ): d

Область определения инфинитезимального оператора -множество всех непрерывно дифференцируемых функций. Это множество плотно в про-

странстве C([0 ; 2 ]), но не совпадает с ним, а инфинитезимальный оператор неограничен.

248