FA Арсеньев Функ.Ан

Определение 3.3.5. Графиком линейного отображения

T : B1 7!B2

(3.35)

называется множество

Gr(T ) = fx T (x) j x 2 B1g B1 B2:

(3.36)

График линейного отображения есть линейное подмногообразие прямой суммы области определения и области значений.

Обратное отображение -это оператор с графиком

Gr(T 1) = fT x x j x 2 B1g B2 B1:

Если отображение непрерывно, то график отображения есть замкнутое подпространство этой прямой суммы. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение. Следующая теорема называется теоремой о замкнутом графике.

Теорема 3.3.7. Если график линейного отображения (3.35) замкнут, то отображение T непрерывно.

Доказательство. Если подмножество Gr(T ) B1 B2 замкнуто, то пространство Gr(T ) есть банахово подпространство банахова простран- ñòâà B1 B2. Отображение

P r1 : x T (x) 7!x

(3.37)

есть линейное непрерывное отображение банахова пространства Gr(T )

на пространство B1, причем Im(P r1) = B1 ; Ker(P r1) = 0. В силу теоремы Банаха об обратном отображении отображение

B1 7!Gr(T ): x 7!x T (x)

непрерывно. Следовательно, отображение

B1 7!B2 : x 7!x T (x) 7!T (x)

непрерывно как композиция непрерывных отображений. (Мы учли, что сужение непрерывного отображения проектирования x y 7!y íà çà-

мкнутое B1 B2 множество Gr(T ) непрерывно.)

Теорема доказана.

Заметим, что в доказанной нами теореме предполагалось, что отображение задано на всем пространстве.

169

Теорема 3.3.8.

3.3.3Теорема Хана-Банаха.

В теореме Хана-Банаха топологическая структура пространств не рассматривается и в дальнейших рассуждениях она никак не используется.

Определение 3.3.6. Заданная на вещественном линейном пространстве L функция

p: L 7!R1

+ (3.38)

называется калибровочнной функцией, если она удовлетворяет условиям:

8(x ; y 2 L) : p(x + y) p(x) + p(y):	(3.39)
8( > 0 ; x 2 L) : p( x) = p(x):	(3.40)

Определение 3.3.7. Заданная на комплексном линейном пространстве L функция

p: L 7!R1+

называется полунормой, если она удовлетворяет условиям

8(x 2 L ; y 2 L) : p(x + y) p(x) + p(y);	(3.41)
8(x 2 L ; 2 C1) : p( x) = j jp(x):	(3.42)

Всякая полунорма есть калибровочная функция, а отличие полунормы от нормы состоит в том, что для полунормы из условия p(x) = 0 íå

следует, что x = 0.

Следующая теорема называется теоремой Хана-Банаха для вещественнолинейных пространств.

Пусть L -вещественное линейное пространство, L0 L -подпространство пространства L ; p(x) -калибровочная функция

на L и f(x) -заданный на подпространстве L0 вещественно-линейный функционал, который удовлетворяет условию

8(x 2 L0) : f(x) p(x):

(3.43)

Тогда существует заданный на всем пространстве L вещественно-линейный функционал fe, который удовлетворяет условиям:

8(x 2 L0) : fe(x) = f(x) ; 8(x 2 L) : p( x) fe(x) p(x): (3.44)

170

Доказательство. Если L = L0, то доказывать нечего. Пусть x0 2 LnL0.

Из (3.43) и определения калибровочной функции следует, что справедливо неравенство:

8(x 2 L0 ; y 2 L0 ; x0 2 L n L0) : f(x) + f(y) = f(x + y) p(x + y) = p(x x0 + y + x0) p(x x0) + p(y + x0):

Поэтому

8(x 2 L0 ; y 2 L0 ; x0 2 L) : f(x) p(x x0) p(y + x0) f(y): (3.45)

Левая часть неравенства (3.45) не зависит от y, правая часть неравенства (3.45) не зависит от x, поэтому существует такая не зависящая от x è y (но зависящая от x0) константа a, что выполнены неравенства:

8(x 2 L0 ; y 2 L0) : f(x) p(x x0) a p(y + x0) f(y):	(3.46)
Следовательно,
8(x 2 L0) : f(x) a p(x x0)
8(y 2 L0) : f(y) + a p(y + x0):	(3.47)
Пусть L1 прямая сумма линейного пространства L0 и одномерного про-
странства, которое натянуто на вектор x0:
L1 = L0 ftx0g ; t 2 R1:
На пространстве L1 определим линейный функционал
8(x 2 L0) : f1(x + tx0) = f(x) + ta:	(3.48)
Òàê êàê x0 62L0, то определение (3.48) корректно.
Из (3.47) следует, что

8(t > 0) : f1(x + tx0) = t(f(x=t) + a) tp(x=t + x0) = p(x + tx0); 8(t > 0) : f1(x tx0) = t(f(x=t) a) tp(x=t x0) = p(x tx0):

Åñëè L = L1, то теорема доказана. Если L n L1 6= ;, то повторим наше

построение.

Далее мы проведем расуждения, которые опираются на аксиому выыбора и иногда называются трансфинитной индукцией.

Пусть fL ; f g ; 2 I -множество всех пространств и функциона-

лов, которые можно получить описанным выше способом. Введем в этом множестве частичное упорядочение, положив

fL ; f g fL ; f g

171

åñëè

L L è 8(x 2 L ) : f (x) = f (x):

При таком линейном упорядочении каждая линейная цепь имеет максимальный элемент: им является пара, состоящая из объединения всех вхо-

дящих в цепь пространств L и естественно определенного на этом объединении функционала. В силу аксиомы выбора существует такой максимальный относительно введенного упорядочения элемент fLmax ; fmaxg,

÷òî fLmax ; fmaxg fL0 ; fg. Åñëè Lmax 6= L, то мы снова можем провести описаное выше построение и получить элемент, который будет больше элемента fLmax ; fmaxg и не совпадать с ним, что противоречит опре-

делению максимального элемента. Следовательно, Lmax = L и теорема

доказана.

Простым следствием доказанной теоремы является теорема ХанаБанаха для комплексно-линейных пространств.

Теорема 3.3.9. Пусть L -комплексно- линейное пространство, L0 L

-подпространство пространства L

; p(x) -полунорма на

L è f(x) -

заданный на подпространстве L0 линейный функционал, который удо-

влетворяет условию

8(x 2 L0) : jf(x)j p(x):

(3.49)

Тогда существует заданный на всем пространстве L линейный функ-

ционал

который удовлетворяет условиям:

fe,

8

(x

2

L0) : f(x) = f(x) ;

8

(x

2

L) :

j

f(x)

j

p(x):

(3.50)

e

Доказательство. Сначала будем рассматривать наше пространство как вещественно-линейное и применим предыдущую теорему к вещественно-

линейному функционалу Re f(x) и полунорме p(x), которую будем рас-

сматривать как калибровочную функцию. Пусть Re fe -полученное согласно предыдущей теореме расширение вещественно-линейного функционала Re f(x). Положим по определению

8(x 2 L) : fg(x) = Re fg(x) iRe f](ix)

(3.51)

Ясно, что формула (3.51) задает комплексно-линейное расширение функционала f(x). Проверим, что выполнена оценка (3.50). Пусть

fg(x) = jfg(x)j exp(i ):

Тогда

^

jfg(x)j = Re f(exp( i )x)) p((exp( i )x)) = p(x):

172

Определение 3.4.1.

Теорема доказана.

Теорему Хана-Банаха часто формулируют в упрощенной форме: заданный на линейном подмножестве банахова пространства линейный функционал можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

3.4Сопряженное пространство и элементы теории двойственности.

3.4.1Сопряженное пространство.

Сопряженным к данному банахову пространству B называется банахово пространство

B? = L(B 7!C1)

всех линейных непрерывных отображений банахова пространства B в множество комплексных чисел.

Норма в сопряженном пространстве задается формулой:

8(f 2 B?) : kf j B?k = supfjf(x)j j x 2 B ; kxk 1g:

(3.52)

Рассмотрим пример. Пусть D -ограниченная замкнутая область в про- странстве Rd. Напомним, что в силу теоремы 1.2.10 (см. стр. 83) при 1 < p < 1 между пространствами Lq(D) ; q = p=(p 1); è Lp(D)? можно установить взаимно однозначное соответствие

J : Lq(D) 7!Lp(D)?;

при котором функции g 2 Lq(D) ставится в соответсвие функционал J(g) 2 Lp(D)?, действующий по правилу:

Z

8( 2 Lp(D)) : J(g)( ) = g(x) (x)dx: (3.53)

D

В теореме 1.2.10 доказывается, что любой функционал из Lp(D)? можно задать с помощью этой формулы и

kJ(g) j Lp(D)?k = kg j Lq(D)k;

поэтому пространства Lp(D)? è Lq(D) иногда отождествляются.

173

Теорема 3.4.1. Пусть B0 замкнутое линейное подпространство банахова пространства B ; y0 62B0,

dist(y0 ; B0) = inffky0 xk j x 2 B0g = d > 0:

Тогда существует такой линейный непрерывный функционал f 2 B?, ÷òî

f(B0) = 0 ; f(y0) = 1 ; kf j B?k = 1=d:

(3.54)

Доказательство. Рассмотрим линейное пространство L0, которое есть прямая сумма линейного пространства B0 и пространства, натянутого

на вектор y0:

L0 = B0 f y0g ; 2 C1:

Òàê êàê y0 62B0, то это определение корректно.

На пространстве L0 определим линейный функционал f:

8(x 2 B0) : f(x + y0) = :

(3.55)

Определенный равенством (3.55) функционал удовлетворяет условиям:

f(B0) = 0 ; f(y0) = 1:

Будем рассматривать линейное пространство L0 как банахово подпро- странство банахова пространства B и вычислим норму функционала f

в пространстве L?0. Имеем:

8(x 2 B0) : kx + y0 j L0k = kx + y0 j Bk = j jk(1= )x + y0 j Bk j jd = jf(x + y0)jd:

Отсюда следует, что

	1		1
8(x 2	L0) : jf(x)j		kxk; поэтому kf j L0?k		:	(3.56)
		d		d

Пусть fxng L0 -последовательность, которая удовлетворяет условию:

ky0 xnk ! d ; n ! 1:

Тогда

1 = jf(y0 xn)j kf j L?0kky0 xnk ! kf j L?0kd:

Следовательно,

kf j L?0k d1:

174

Сравнивая это неравенство с неравенством (3.56), мы получаем равен-

ñòâî

kf j L?0k = d1:

Теперь воспользуемся теоремой Хана-Банаха и распространим функционал f на все пространство B.

Теорема доказана.

Теорема 3.4.2. Для любого элемента x банахова пространства B существует такой функционал fx 2 B?, ÷òî

kfx j B?k = 1 ; fx(x) = kxk:

(3.57)

Доказательство. Если x = 0, то доказывать нечего. Пусть x 6= 0. Применим предыдущую теорему к подпространству B0 = 0 и элементу y0 = x. Пусть f -функционал, который удовлетворяет условию

f(x) = 1 ; kfk = 1=kxk:

Тогда функционал

8(y 2 B) : fx(y) = kxkf(y)

-искомый.

Из определения нормы функционала (3.52) и теоремы 3.4.2 вытекает

Следствие 3.4.1. Справедливо равенство

kx j Bk = supfjf(x)j j kf j B?k 1g:	(3.58)
В дальнейшем нам будет удобно использовать обозначение
8(f 2 B? ; x 2 B) : < f j x >= f(x):	(3.59)
Пусть B1 è B2 -банаховы пространства и
: B1 B2 7!C1	(3.60)

-линейная по каждому аргументу функция. Такая функция называется билинейной формой.

Определение 3.4.2. Билинейная форма (3.60) ставит пространства B1 è B2 в отделимую двойственность (или задает отделимую двойственность на пространствах B1 è B2), если из равенства

8(y 2 B2) : (x ; y) = 0

175

следует, что

x = 0;

а из равенства

8(x 2 B1) : (x ; y) = 0

следует, что

y = 0:

Из (3.52) и (3.58) следует, что билинейная форма < f j x > ставит пространства B? è B в отделимую двойственность, причем справедливы равенства

kf j B?k = supfj < f j x > j j kx j Bk 1g;	(3.61)
kx j Bk = supfj < f j x > j j kf j B?k 1g:	(3.62)

Теорема 3.4.3. Пусть

T : B1 7!B2

-линейный непрерывный оператор из банахова пространства B1 â áàíà- хово пространство B2. Тогда

kT j L(B1 7!B2)k =
supfj < f j T (x) > j j kf j B2?k 1 ; kx j B1k 1g:	(3.63)

Доказательство. Следует из равенств

kT (x) j B2k = supfj < f j T (x) > j j kf j B2?k 1g; kT j L(B1 7!B2)k = supfkT (x) j B2k j kx j B1k 1g:

Теорема 3.4.4. Если fx j 2 Ig -такое подмножество в банаховом пространстве B, что

8(f 2 B?) : supfjf(x )j j 2 Ig < 1;

òî

supfkx k j 2 Ig < 1:

Доказательство. Определим отображения

T : B? 7!C1

по формуле

T (f) =< f j x > :

176

Из теоремы Банаха-Штейнгауза (см. стр. 160, теорема 3.3.2) следует, что

supfkT kj 2 Ig < 1:

Но в силу равенства (3.62)

kT k = supfj < f j x > j j kf j B?k 1g = kx k;

что и доказывает нашу теорему.

Теорема 3.4.5. Пусть fT j 2 Ig L(B1 7!B2) -семейство линейных непрерывных отображений банахова пространства B1 в банахово пространство B2. Следующие условия эвивалентны:

1: supfkT j L(B1 7!B2)k j 2 Ig < 1:		(3.64)
2: 8(x 2	B1) : supfkT (x) j B2k j 2 Ig < 1:	(3.65)
3: 8(x 2	B1 ; f 2 B2?) : supfj < f j T (x) > j 2 Ig < 1:	(3.66)

Доказательство. Ясно, что из (3.64) следует (3.65), а из (3.65) следует (3.66). В силу теоремы 3.4.4 из (3.66) следует, что

8(x 2 B1) : supfkT (x)k j 2 Ig < 1;

позтому из (3.66) следует (3.65). Неравенство (3.64) следует из (3.65) в силу теоремы Банаха-Штейнгауза.

Теорема доказана.

Говорят, что последовательность операторов Tn 2 L(B1 7!B2) ñõî-

дится к оператору T0 2 L(B1 7!B2):

в равномерной операторной топологии, если

kTn T0 j L(B1 7!B2)k ! 0 ; n ! 1;

в сильной операторной топологии, если

8(x 2 B1) : kTnx T0x j B2k ! 0 ; n ! 1;

в слабой операторной топологии, если

8(x 2 B1 ; f 2 B2?) : f(Tn(x)) ! f(T0(x)) ; n ! 1:

Из теоремы 3.4.5 следует, что из сходимости последовательности операторов Tn в слабой операторной топологии следует равномерная по n ограниченность норм операторов Tn.

177

B??:

Пусть B -банахово пространство и B? -åãî сопряженное. Фиксируем

x 2 B: Формула
f 7!< f j x >	(3.67)

задает линейный непрерывный функционал на пространстве B?. Обозна- чим этот функционал символом J(x), а множество всех линейных непрерывных функционалов на пространстве B? обозначим символом

J : B 7!B?? ; J(x)(f) =< f j x > :

(3.68)

Из формулы (3.58) следует, что

kJ(x) j B??k = supfj < f j x > j j kf j B?k 1g = kxk:

Мы видим, заданное формулой (3.68) отображение пространства B â ïðî- странство B?? (это пространство называется вторым сопряженным) есть линейное и изометрическое отображение. Следовательно, образ J(B) пространства B в пространстве B?? при отображении J замкнут.

Определение 3.4.3. Пространство B называется рефлексивным, если

J(B) = B??:

(3.69)

Таким образом, пространство B рефлексивно, если оно изометрично сво-

ему второму сопряженному (иногда говорят: совпадает со своим вторым сопряженным) и любой линейный непрерывный функционал на про- странстве B? задается формулой (3.67).

Из теоремы 1.2.10 (см. стр. 83) следует

Теорема 3.4.6. При 1 < p < 1 пространство Lp(D ; (dx)) -рефлексивное пространство.

Доказательство. Из теоремы 1.2.10 следует, что для каждого функционала f 2 (Lp(D ; (dx)))? существует такая функция f 2 Lq(D ; (dx)) ; q =

p=(p 1), ÷òî

Z

8(g 2 Lp(D ; (dx))) : < f j g >= f(x)g(x) (dx): (3.70)

Оперделенное формулой (3.70) отображение

(Lp(D ; (dx)))? 3 f 7!f(x) 2 Lq(D ; (dx))

взаимно однозначно и изометрично. В силу этой же формулы отображе-

íèå

(Lq(D ; (dx))) 3 g 7!g(x) 2 Lp(D ; (dx))

178