МЕХАНИКА (1)

Определим полное ускорение точки А, силу инерции и направление силы инерции:

2

2

м

a

an

a

231, 22

0,572

231, 2

;

A

A

A

с2

2

2

F

F n

F n

37, 72

0, 0932

37, 7 H;

ин

ин

ин

Т

tgα

Fин

0, 093

2, 46 10 3 ; α

8 .

У

F n

37, 7

ин

Б

В практических расчетах составляющей

F

τ

,

как малой вели-

ин

чиной, можно пренебречь и считать, что

F

F n

37,7 H.

Срав-

ин

ин Н

ним силу тяжести и силу инерции:

и

Fин

37, 7

23, 6.

р

G

й

1, 6

о

Силой веса по сравнению с силой инерции при практических

расчетах также можно пренебречь.

Момент сил

инерции

M

u

I εт2,64 10 5

285

0,00752 H м.

01

о

Покажем направление всех векторных величин на чертеже.

Определ

5.

зение бщего КПД механизма.

е

2

ηпл .

Р

η = ηк ηц

ηк 0,95

Зд сь

– КПД конической пары с учетом потерь в

подшипниках.

ηц 0,96 – КПД цилиндрической пары (две пары по условию);

ηпл

0,96 – КПД планетарной передачи.

η 0,95 0,962 0,96 0,84.

141

16.1. Метод сечений

РАЗДЕЛ 3 ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

ГЛАВА 16. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ДЕТАЛИ

Под внутренними силами будем подразумевать не их абсолют-

		Н
ные значения, а только те приращения, которые вызваны действуУ-
ющими на тело нагрузками,
Для расчета на прочность необходимо иметь возможностьТопре-
делять внутренние силы по заданным внешним силам.
Основу для решения этой задачи дает метод сечений «Розу»:
	й
Р – разрезаем тело плоскостью на две части;
О – отбрасываем одну часть;	Б

и У – уравновешиваем оставшуюсяпрведенчасть из уравнения равнове-

З – заменяем действие отброшенной части внутренними силами;

сия определяем внутренние силы.

Применяя метод сеченийо, силы, являющиеся внутренними для ченной в результате мысленно ного сечения.

тела в целом, переводят во внешние для одной из его частей, полу-
	т
ной плоскостью, перпендикулярной его продольной оси, и отбро-
Рассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием
произвольной с стемы внешних (активных и реактивных) сил
з

(рис. 16.1). Рассечем его на две части (I и II) некоторой произволь-

сим однупвекторуиз частей (например I) (рис. 16.2). Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена к ее

главномуе и главному моменту, которые статически эквива- л нтны заданной системе сил. Главный вектор системы – три со- Рставляющие по осям выбранной системы координат. Главный мо- м нт – три момента, каждый из которых стремится повернуть тело

вокруг одной из координатных осей.

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил, возникающих в поперечном сечении бруса (рис. 16.3), носят название внутренних силовых факторов (ВСФ) в этом сечении. Nz – продольная (или нормальная) сила; Qx, Qy – поперечные силы; Mz – крутящий момент; Qx, Qy – изгибающие моменты (рис. 16.4).

142

										У
									Т
								Н
							Б
Рис. 16.1. Внешние силы						й
						Рис. 16.2. Внутренние силы
					и
				р
			о
		т
	и
	з
е						Рис. 16.4. Внутренние силы
Рисо. 16.3. Метод сечений						в произвольном сечении бруса
Р
Импют место следующие виды деформаций:
сли Nz	0 – растяжение, Qx				0 или Qy			0 – срез;
если M z	0 – кручение, M x				0 или M y			0 – изгиб.

Для определения каждого из внутренних силовых факторов надо составить соответствующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть бруса (см. рис. 16.4).

143

Z Nz

Fiz 0.

ост.

ост.

части

части

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса

У

численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось

OZ бруса всех внешних сил, приложенных к его оставленной части.

Т

16.2. Напряжение как мера внутренних сил

Н

Для суждения об интенсивности внутренних сил в определенной

Б

точке данного сечения введено понятие о напряжении.

Выделим в окрестности интересующей нас точки сечения малую

площадку площадью A ; допустим, что на этой площадке возника-

й

ет внутренняя сила

R (рис. 16.5). Отношение этой внутренней

силы к площади

выделенной

площадки

называется средним

напряжением pср

в окрестности рассматриваемой точки по про-

ср

веденному сечению (на площадке

A ):

о

R .

p

т

A

и

з

о

п

е

Р

Рис. 16.5. Элементарная сила в точке сечения

144

Истинное напряжение в данной точке рассматриваемого сечения

p lim	R	.
a 0	A

Отношение будет величиной конечной.

Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению есть

Т

величина векторная (вектор R делим на скаляр

A ); направление

этого вектора совпадает с предельным направлением вектора

R .

Единица измерения напряжения – паскаль (Па).

У

Паскаль – это напряжение, при котором на площадке в 1 м2 возни-

Б

кает внутренняя сила, равная 1 H; но эта единица очень мала, поэтому

используется кратная ей единица – мегапаскаль, 1 МПа = 106 Па.

Разложим вектор напряжения р на две составляющиеН: одну –

направленную по нормали к сечению (нормальное напряжение ),

вторую – лежащую в плоскости

сечения

(касательное напряже-

ние

τ ) (рис. 16.6). Между напряжен ями р,

и τ

существует сле-

р

й

дующая очевидная зависимость:

о

2 τ2 .

p

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 16.6. Полное р, нормальное σ

Рис. 16.7. Внутренние напряжения

и касательное τ напряжения в точке

145

В ряде случаев оказывается удобным разложить вектор р не на две, а на три составляющие, направленные параллельно координатным осям (рис. 16.7):

p

2

2

2 .

z

zy

zx

У

Правило индексов: первый индекс указывает, какой оси параллель-

Т

на нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, вто-

рой индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение.

Н

Установим связь между напряжениями и внутренними силовыми фак-

торами в поперечном сечении бруса. Элементарные внутренние силы:

dNz

σdA ;

Б

й

dQx

τzxdA

;

и

dQy

τzydA .

р

о

Выражения составляющих главного вектора внутренних сил:

и

Nz

A

σz dA ;

(16.1)

з

тQ

τ

zx

dA ;

(16.2)

о

x

A

п

Qy

A

τzydA .

(16.3)

Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответ-

ствующ й оси, получаем элементарные моменты внутренних сил:
Р
е	dM z (τzxdA) y (τzydA)x ;
	dM x	(σz dA) y ;
	dM y	(σzdA)x .

146

Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получаем выражения для составляющих главного момента внутренних сил:

				M z	(τzx y τzy x)dA ;					(16.4)
					A
				M x	A	z ydA ;				(16.5)
				M y	A	z xdA .				(16.6)
									У
	Выражения (16.1)–(16.6) не служат для вычисления внутренних
								Т
	силовых факторов. Они выражают их физическую сущность.
							Н
		ГЛАВА 17. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ
	СОСТОЯНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА МАТЕРИАЛА
							Б
			17.1. Напряженное состоян е в точке.
		Закон парности касательныхйнапряжений.
		Главные площадки главные напряжения.
						и
		Классификация нап яженных состояний
					р
	Напряженное сос ояние в данн й точке тела характеризуется со-
	вокупностью нормальныхои касательных напряжений, возникаю-
	щих на бесчисленном					различно ориентированных в про-
				множестве
	странстве площадок, которые можно провести через эту точку.
	Предп л жим, ичто в окрестности исследуемой точки выделен бес-
	конечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного паралле-
			з
	лепи еда, и на ряжения, возникающие на его гранях, известны.
	Девятьовеличин называют компонентами (рис. 17.1) напряженно-
	го остояния в данной точке.
		п
	Из условия равновесия выделенного элемента следует, что со-
	ставляющие касательных напряжений, возникающих на любых двух
	взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему
	ребру этих площадок, равны по абсолютному значению, т. е.
Р

147

		τxy	τ yx ;
		τ yz	τzy ;
		τzx	τxz .
							У
						Т
					Н
					Б
			й
			и
		гранях		элементарного куба
Рис. 17.1. Напряжения на
	о
Это положение называют законом парности касательных
напряжений. Следова	, из девяти компонентов напряженного
тельно
состояния независимы лишь шесть.
если
Первое положение	рии напряженного состояния может быть

сформулировано следующ м образом: напряженное состояние в
з
точке тела задано,	звестны напряжения на любых трех прохо-
о
дящих через нее в а мно перпендикулярных площадках.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провестипчерез исследуемую точку, имеются три взаимно перпендику- лярные л щадки, касательные напряжения на которых отсутствуют. Эти лощадки и возникающие на них нормальные напряжения

Рназывают главными.

Классификацию видов напряженного состояния ведут по главным напряжениям. Если все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное состояние называют объемным, пространственным или трехосным. В случае если одно из главных напряжений равно нулю, напряженное состояние называют плоским, или двухосным, наконец, если лишь одно из главных напряжений отлично от нуля, напряженное состояние линейное, или одноосное:

148

σ1 0,σ2	0,σ3	0 – объемное состояние;
σ1	0,σ2	0,σ3	0 – плоское;
σ1	0,σ2	0,σ3	0 – линейное.

У

Элементы, выделенные главными площадками, для различных

частных случаев напряженного состояния показаны на рис. 17.2: а –

Т

трехосное растяжение; б – трехосное сжатие; в – трехосное сме-

шанное напряженное состояние; г – двухосное растяжение; д –

Н

двухосное сжатие; е – частный случай двухосного смешанного

напряженного состояния – чистый сдвиг; ж – одноосное растяже-

Б

ние; з – одноосное сжатие. Площадки, свободные от напряжений,

так называемые нулевые главные площадки, покрыты точками.

й

а

и

р

б

о

т

в

и

г

з

о

п

е

д

е

Р

ж

з

Рис. 17.2. Различные случаи напряженного состояния

149

17.2.Однородное растяжение бруса как пример реализации одноосного напряженного состояния материала

При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продоль-

ная сила, обозначаемая Nz или N (рис. 17.3, 17.4).

У

а

Т

Н

б

Б

а

й

сжатие

бруса

Рис. 17.3. Однородное

р

о

т

и

б

з

о

п

Рис. 17.4. Однородное растяжение бруса

Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, часто

Рназывают стержнями.

Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными. При растяжении продольная сила направлена от сечения (рис. 17.4, б), а при сжатии – к сечению (рис. 17.3, а).

Модуль и направление (знак) продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной (оставленной после проведения сечения) части бруса:

150