1. Определение матрицы. Перечислите основные виды матриц:

Матрицей называется прямоугольная таблица размерностью m на n, где m – число строк, n – число столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Обозначается матрица всегда заглавными (прописными) латинскими буквами. Элементы матрицы заключаются в круглые и квадратные скобки, обозначаются они строчными буквами с индексом ij, где i – строка, j – столбец. Элемент матрицы находится на пересечении i-строки и j-столбца.

Основные виды матриц:

Прямоугольная – состоит из m строк и n столбцов.

Строчная (матрица строка, вектор строка) – матрица, состоящая из одной строки.

Столбцовая (матрица столбец, вектор столбец) – матрица, состоящая из одного столбца.

Квадратная – матрица, у которой число строк и столбцов одинаковое.

Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю (главную диагональ образую элементы, у которых i=j).

Единичная – диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали равны единице.

Симметричная – матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.

Нулевая – матрица любой размерности, все элементы которой равны нулю.

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная - левой треугольной.

Если матрица прямоугольная, то мы можем преобразовать её в квази-треугольную, ступенчатую или трапециевидную матрицу

2. Операции над матрицами:

Произведением матрицы А на число λ называется матрица B, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ.

Делить матрицы нельзя.

Суммой двух матриц А и В, с одинаковым количеством строк и столбцов, называется матрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.

Умножение матриц определяется только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрица А и В квадратные, то они всегда взаимно-согласованы.

Произведением матрицы Аmxk на матрицу Вkxn, называется матрица Сmxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В.

Свойства умножения матриц:

1.(А*В)*λ = (А*λ)*В = А*(В*λ), где λ – любое число

2.(А + В)*С = А*С + В*С

3.(А*В*С) = (В*С*А) – если матрицы согласованы между собой.

4.А*Е = Е*А = А, где Е – единичная матрица

5.А*О = О*А = О, где О – нулевая матрица.

Транспонирование матрицы осуществляется путём замены каждой её строки столбцом с тем же номером.

Свойства транспонирования матриц:

1.(А^т)^т = А

2.(А + В)^т = А^т + В^т

3.( λ*А)^т = λ*А^т

4.(А*В)^т = А^т*В^т, если матрицы согласованы между собой.

3. Расчёт определителей второго и третьего порядка:

Определителем второго порядка называется число:

Определителем третьего порядка называется число, полученное при расчёте определителя по формуле Сарруса:

4. Свойства определителей:

1.Определитель не изменится, при замене всех его строк соответствующими столбцами (при транспонировании).

2.При перестановке двух столбцов (строк) местами определитель меняет знак на противоположный.

3.Определители с двумя одинаковыми столбцами (строками) всегда равен нулю.

4.Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки) можно выносить за знак определителя. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) любой матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.

5.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.

6.Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) всегда равен нулю.

7.Если в определителе все элементы некоторого столбца (строки) равны суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух соответствующих определителей.

8.Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же коэффициент.

9.Минором М_ij элемента а_ij матрицы n-ного порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы n-ного порядка путём вычёркивания i-строки и j-столбца.

Каждая матрица n-ного порядка имеет n² миноров n-первого порядка.

10.Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется минор элемента a_ij умноженный на (-1)^i+j

Дополнение всегда обозначают той же буквой, что и матрица, но всегда с индексами.

11.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

12. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

13. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) всегда равна нулю.

5. Обратная матрица. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса.

Обратной для квадратной матрицы А называется матрица А^-1, для которой выполняется: А^-1*А=А*А^-1=Е

Из определения следует, что обратную матрицу можно построить только для квадратной, обе матрицы прямая и обратная имеют один и тот же порядок.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы:

Определитель прямой матрицы должен быть отличен от нуля. Тогда матрица А называется не вырожденной или не особенной. В противном случае, если определитель равен нулю, матрица называется вырожденной или особенной.

Теорема:

Обратная матрица А^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица не вырождена.

Необходимость.

Пусть для матрицы А существует обратная А^-1, т.е. А* А^-1 = А^-1*А = Е. Тогда, |А* А^-1|=|А|*|А^-1|=|Е|=1,т.е.|А| ≠ 0 и |А^-1| ≠ 0; А – невырожденная.

Достаточность.

Пусть дана невырожденная матрица порядка n

,

так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

,

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-той строки матрицы А стоят в i-том столбце матрицы А^*, для .

Найдем произведения матриц АА^* и А^*А. Обозначим АА^* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij = а_i1А _1j + а_i2А _2j + … + а_inА_nj ;

При i = j получим сумму произведений элементов i - той строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij = |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов С_ij  вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА^*

Аналогично доказывается, что произведение А на А^* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А^*А = АА^* = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , тоИтак, обратная матрица существует и имеет вид:

.

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса:

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса состоит в следующем действии: (А|E) = (E|A^-1), которое проводится посредством тех же операций, что и при вычислении определителя или посредством преобразований Гаусса.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.

a_ij – коэффициенты при неизвестном

b_i – свободные члены.

i/j от 1 до n

Решением данной системы называется упорядоченная совокупность n чисел: c₁, c₂, c₃…c_n, подстановка которых в каждое уравнение системы обращает его в истинное тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Система, не имеющая ни одного решения, называется не совместной.

Совместная система называется определённой, если она имеет только одно решение и не определённой, если она имеет более одного решения.

Линейная система называется не определённой, если существуют свободные члены, отличные от нуля.

Если все свободные члены равны нулю, то такая система называется однородной.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Любые две не совместные системы всегда эквивалентны (нет решений).

7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера:

Формула решения системы методом обратной матрицы:

X = A^-1*B, применяется если определитель прямой матрицы отличен от нуля.

Где Х – матрица столбец, содержащая решения системы x₁, x₂…x_n, а В – матрица столбец, в которой содержатся свободные члены системы b₁, b₂…b_n.

Рассмотрим квадратную матрицу

 .

Обозначим  =det A. – определитель.

Обратная матрица вычисляется по формуле

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

А_ij = (-1)^i+j * М_ij

Рассмотрим систему уравнений, решив её методом Крамера:

Вычислим определитель:

,

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений).

В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:и

Корни уравнения находим по формулам: ,

8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и с использованием преобразований Жордана-Гаусса:

Для решения данной системы применяется метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) с использованием жордановских преобразований. Такой совокупный метод носит название метода Жордана-Гаусса. Для этого метода удобно записывать систему таблицей.

Выбираем любой не нулевой элемент таблицы (в качестве выбранного элемента должен быть коэффициент при переменной) a_ij. Свободные члены никогда не выбираются. Выбранный коэффициент заключается в прямоугольную рамочку (этот элемент называется разрешающим). Строка и столбец, содержащие данный элемент также называются разрешающими или разрешёнными

Система уравнений называется разрешённой, если каждое уравнение системы содержит разрешённую неизвестную. Разрешённые неизвестные взятые по одной из каждых уравнений, образует полный набор разрешённых неизвестных систем. Разрешённые неизвестные, входящие в полный набор также называются базисными, а все остальные свободными.

Для того, чтобы провести Жордана-Гауссовские преобразования, нужно разрешающую строку умножить на подходящий коэффициент и сложить полученную строку с другой (желательно, чтобы коэффициент был противоположным разрешающему элементу, либо любым другим числом, при сложении с которым получался бы нуль).

Таким образом проделываем вышесказанное с каждой строкой и получаем упрощённый вариант нашей системы, из которой уже можно получить решения заданной системы уравнений.

9. Ранг матрицы. Основные свойства ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Обозначается ранг матрицы как: r, rang (A), Rang (A), Rg.

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.

Ранг матрицы равен нулю, если все элементы данной матрицы равны нулю.

Для квадратной матрицы n-ного порядка, ранг матрицы равен n тогда и только тогда, если заданная матрица будет не вырожденная (определитель не равен нулю).

Основные свойства для вычисления ранга матрицы:

1). Ранг транспонированной матрицы всегда равен рангу исходной матрицы.

2). Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку или столбец.

3). Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы:

- отбрасывание нулевой строки или столбца

- умножение всех элементов строки или столбца на число, отличное от нуля.

- перестановка местами двух строк или столбцов.

- транспонирование матрицы

- прибавление к каждому элементу строки или столбца элемента другой строки или столбца, умноженного на const.

*замечание*

Для вычисления ранга матрицы можно не использовать метод окаймляющих миноров, а свести исходную матрицу к треугольному, диагональному или трапециевидному виду.

9. Модель межотраслевого баланса Леонтьева:

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике, связанный с эффективностью сведения многоотраслевого хозяйства.

Каким должен быть объём производства каждой n-отрасли, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли, при этом каждая отрасль выступает как производителем некоторой продукции, так и как потребитель своей продукции и произведённой другими отраслями.

Связь между отраслями отражается в таблицах межотраслевого баланса.

Математическая модель, позволяющая её анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом Леонтьевым.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например: за год).

x_ij – объём продукции i-отрасли, потребляемой j-отрасли в процессе производства.

y_i – объём конечного продукта i-отрасли.

x_i – общий объём продукции i-отрасли (валовой объём).

n

Х_i = Σ Х_ij + У_i – валовой объём

j=1 i-отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой n отраслями, и конечному продукту.

a_ij = х_ij/x_j

x_ij = a_ij*x_j (линейная модель)

a_ij – коэффициент прямых затрат, показывает затраты продукции i-отрасли

, где A – матрица прямых затрат, X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска X, который, при заданной матрице А, обеспечит вектор конечного продукта Y.

Х = АХ + Y

Х – АХ = Y

(Е – А)*Х = Y

Х = (Е – А)^-1* Y

(Е – А)^-1 = S – матрица полных затрат

|E – A| ≠ 0

Каждый элемент данной матрицы есть величина валового выпуска продукции i-отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта.

Оценка продуктивности матрицы А:

1). Матрица А называется продуктивной, если все её элементы

≥ 0, если для любого элемента Y ≥ 0, существует матрица Х, все элементы которой ≥ 0.

2). Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов строго меньше единицы. Это является проверкой рентабельности производства.

3). Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица S и все её элементы ≥ 0.

12. N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел. N-мерным вектором называется последовательность  чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Линейные опреации:

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

c,b=const c(ba)=(cb)a

(c+b)a=ca+ba

a+0=a

a+(-a)=0

a*1=a