13. Привала сложения, разности

1 сумма, это вектор, начало кот совпадает с началом первого в, а конец – с концом последнего. Каждый послед откладывается из конце предыдущ. (правило многоугольника)

2 правило параллелограмма

3 разность : ОА-ОВ=ВА

14. Лин завис и лин независ системы

Рассмотрим алименты x1, x2, xn (1) линейного пространства V.

y=₁x1+₂x₂+…+_nx_n,  принадлежит R.

Система векторов (1) линейно зависима, если

₁x1+₂x₂+…+_nx_n = 0, при этом хотя бы одно не равно нулю.

Система векторов (1) линейно независимой, если

₁x1+₂x₂+…+_nx_n = 0, при всех  = 0.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы одно  выражается через остальные.

1 Всякая система векторов, имеющая нулевой вектор – линейно зависима.

2 Если К векторов (К<n) системы (1) линейно зависима, то и система (1) линейно зависима.

3 Если из системы линейно независимых векторов отбросить r векторов (r<n), то оставшаяся система линейно независима.

4 Если среди векторов системы (1) имеются такие x_k и x_n, что x_k=x_n, то система линейно зависима.

5 Векторы x1+x₂+…+x_n линейно зависимы т. и т.т., когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

15. N-мерное пространство

Пусть n – натуральное число. Линейное пространство V называется n-мерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а всякие (n+1) линейно зависимы. n- максимальное числи лин независ векторовназывается размерность линейного пространства. обозначается dimV. Если пространство нулевое, то его размерность = 0. обозначается dimV.

Базисом n- мерного пространства называется совокупность n-линейно независимых векторов.

Число векторов, входящих в базис, называется рангом.

16. Базис

Базисом n- мерного пространства называется совокупность n-линейно независимых векторов.

Число векторов, входящих в базис, называется рангом.

1 составляем систему векторов

2 приводим к равносильной разрешимой системе

3 находим ранг и записываем базис, который представляет собой вектора, содержащие разрешенные переменные

4 записываем разложение векторов по базису

5 система , сост из н векторов и имеющая ранг р имеет число возможных базисов

С =

17. Частные случаи линейно зависимых систем

1 Два вектора лз, когда они коллинеарны

2 Три ненулевых вектора лин зав, когда они компланарны ( лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях)

18. переход от векторных соотношений к координатам

1 коорд вектора, заданного двумя точками. Из координат конца вычесть корд начала

2 длина вектора расстояние между М1 и М2: кв корень из (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2

19. Скалярное произведение векторов, угол, перпендикулярность

Скалярное произведение 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. Обозначается (а,в) ; а*в=|а|*|в|*cos; а*в=|а|пр_ва

1. ab=ba

2. (ab)= (a)b

3. a(b+c)=ab+ac

4. ab = 0 т. и т.т., когда один из векторов =0 или они перпендикулярны.

Если a (x y z); b (X Y Z), то ab= xX+yY+zZ

2 Угол между векторами cos f = ab/|a||b|

Перпендикулярность: x1x2+y1y2+z1z2 =0

20. Общее уравнение прямой на плоскости

Пусть задана прямая l с помощью точки М0(х0,у0) и ненулевого вектора n, имеющего координаты (A,B), перпендикулярного l.

M0M перпернд n

M0M=(x-x0,y-y0)

M0M*n=0

(x-x0)A+(y-y0)B=0

Ax+By+C=0 – общее ур пр

21. Параметр и канон ур пр

1 Дана прямая l , точка М0(х0,у0) лежит на l , направляющий вектор а параллелен l а(l,m)

t-параметр

М0М=ta

Параметрическое:

x = tl + x0

y = tm + y0

Каноническое:

22. Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэф-м

Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11) 

где  - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

23. Ур-е прямой, прох через 2 точки

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( х₁,  у ₁ ) и ( х₂,  у 2 ):

24. Параллельность и перпендик

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

Это условие может быть записано также в виде

k1k2 = -1.     (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A1A2 + B1B2 = 0.     (12)