15.Многомерные случайные величины.

Для непрерывной n - мерной случайной величины (случайного вектора)

X

Δ =

col(X1, ... , Xn),

где X₁, ... , X_n - скалярные СВ, функция распределения F(x) и плотность распределения f(x), которая неотрицательна, определяются следующим образом:

F(x1, ... , xn)

Δ =

P{X1 ≤ x1, ... , Xn ≤ xn}

Δ =

x1   ∫ -∞

...

xn   ∫ -∞

f(x1, ... , xn) dx1...dxn

Основные харки(функция,плотности распределения,понятие незанятости)

Основные числовые характеристики(мат ожид, дисперсия,корреляц матрица,коэф корреляц,нормированная корреляционная марица)

Математическим ожиданием (МО) случайного вектора X называется вектор

M[X]

Δ =

mX

Δ =

col(m1, ... , mn),   где

mi

Δ =

M[Xi] , i = 1,n.

Матрицу K размерности n x n с элементами

kij

Δ =

M[(Xi - mi)(Xj - mj)]

называют ковариационной. Элементы k_ij ковариационной матрицы являются ковариациями СВ X_i и X_j при i ≠ j, а диагональные элементы k_ij - дисперсии СВ X_i, т.е.

kij

Δ =

di

Δ =

(σi)^2 = M[(Xi - mi)^2] , i = 1,n.

Дисперсии d_i, i = 1,n, характеризуют рассеивание реализаций компонент случайного вектора относительно средней точки m_X = col(m₁,..., m_n), а ковариации k_ij - степень линейной зависимости между СВ X_i и X_j. В частности, по свойству 2)k_XY при линейной связи между X_i и X_j ковариация между ними равна k_ij = ±σ_iσ_j. Так как по свойству 1)k_XY всегда |k_XY| ≤ σ_iσ_j, то при линейной зависимости между X_i и X_j модуль |k_ij| максимален.

Нормированную ковариационную матрицу R, элементами которой являются коэффициенты корреляции r_ij, называют корреляционной матрицей

безразмерную величину , определяемую соотношением.

(73)

   и называемую коэффициентом корреляции.

16. основные задачи математической статистики.Занимается методами обработки опытных данных, полученных в рез-те наблюдения над случайными явлениями. Задачи мат стата:1)указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез-те наблюдения за случ. процессами. 2)Разработка методов анализа стат. Данных в зависимости от цели исследования. Генеральная и выборочная совокупность. Ген совокупность-множество объектов, из которых производится выборка.Выборочная совокупность-сов-ть случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Повторная и бесповторная выборка.Повторная – при которой отобранный объект возвращается в ген совокупность. Бесповторная – при которой отобранный объект не возвращается в ген совокупность.Репрезентативность выборки.Выборка является репрезентативной, когда достаточно полно представлены изучаемые признаки генеральной совокупности.Условием обеспечения репрезентативности выборкия явл, соблюдение случайности отбора, т.е. все обекты ген выборки имеют равную возм попать в выборку. Теоретическая ФР. по определению, F(x)= mх/n, где n - объем выборки, mх - число выборочных значений величины X, меньших х. В отличие от выборочной функции F(x) интегральную функцию F(x) генеральной совокупности называют теоретической дикцией распределения. Главное различие функций F(x) и F(x) состоит в том, что теоретическая функция распределения F(x) определяет вероятность события Х<х, а выборочная функция - относительную частоту этого события. Статистическое распределение выборки. Распред в тоер вероят – соответствие м/у возможными значениями случ. вел-ны и их вероятностями. Распред в мат статист-соответствие м/у наблюдаемыми вариантами и их частотами.Перечень вариантов и соответствующих частот или частостей назыв статистическим распред выборки. Эмпирическая функция распределения называется функция определяющая для каждого значения х частость события {X<x}: =p*{X<x}. Для нахожд значений эмпирической ф-ии удобно записать в виде=Nx/n, n-объем выборки,Nx-число наблюдений, меньших х. Эмпирическая функция распределения явл оценкой вероятности события {X<x},т.е. оценкой теоретической функции распределения F(x) с.в.Х Гистограмма, полигон относительных частот.Гистограммой частот называют ступнчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению Ni/h-Плотность частоты.)площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы частостей равна единице. Полигон относит частот- ломаная, отрезки которой соединяют точки(x_i p* _i;) Статистические оценки параметров распределения (выборочная средняя, групповая, общая среднее, выборочная дисперсия.) Выборочным средним ¯x_в называется среднее арифметическое всех значений выборки: ¯x_в= 1/n∑х_in_{i ;} Групповая средняя – ср. арифметическое значение признака,

_i=1

принадлежащее группе. Общая средняя – ср. арифметическое знач. признака, принадлежащее всей сов-ти. Выборочная дисперсия – ср. арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их ср. значения. .Если данные наблюдений представлены в виде дискретного вариационного ряда, причем x₁, x₂, x₃, ..., x_n - наблюдаемые варианты, a m₁, m₂, m₃, ..., m_v - соответствующие им частоты, то выборочная дисперсия определяется формулой:

Формула для вычисления дисперсии. D_в=х¯²-[х¯]² (ср.арифметический квадрат значений выборки-квадрат общей средней) Док-во:

17. Основные распределения в математической статистике Распределение хи-квадрат Пусть U_k, k = 1,n, - набор из n независимых нормально распределенных СВ, U_k ~ N(0,1). Тогда СВ

X

Δ =

n  ∑ ^k^=1

Uk^2

имеет распределение хи-квадрат (χ²-распределение) с n степенями свободы, что обозначается X ~ X²(n). СВ X имеет следующую плотность распределения:

fX(x)=

{

1 2^(^n^/2)Γ(n/2)  0

x^(^n^/2)-1e^-x^/2

, ,

x ≥ 0, x < 0,

где

Γ(m)

Δ =

+∞  ∫ ^0

y^m^-1e^-ydy - гамма-функция.

Графики функции f_X(x) (см. рис. 1), называемые кривыми Пирсона, асимметричны и, начиная с n ≥ 2, имеют один максимум в точке x = n - 2.

Характеристическая функция СВ X имеет вид:

gX(t) =

+∞   ∫  ^-∞

fX(x)e^itxdx = (1 - 2ti)^-^n^/2.

Начальные моменты СВ X находятся по свойству 3)g_X(t):

ν1 =

1  i

d dt

g(t)

|

t =0

= -

n  2i

(-2i)(1 - 2ti)^-(^n^/2)-1

|

t =0

= n,

ν2 =

1  i^2

d^2 dt^2

g(t)

|

t =0

=

n  i

(-2i)(-

n  2

- 1)(1 - 2ti)^-(^n^/2)-2

|

t =0

= n^2+2n,

D[X] = ν₂ - ν₁² = n² + 2n - n² = 2n.

Сумма любого числа m независимых СВ X_k, k = 1,m , имеющих распределение хи-квадрат с n_k степенями свободы также имеет распределение хи-квадрат с

n

Δ =

n  ∑ ^k^=1

nk

степенями свободы. Это можно доказать, используя свойства характеристической функции.

Распределение Стьюдента Пусть U и X - независимые СВ, U ~ N(0,1), X ~ X²(n). Тогда СВ

T

Δ =

U√n / X

имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, что обозначают как T ~ S(n). СВ T имеет плотность распределения

fT(x) =

Γ((n+1)/2) √nπ Γ(n/2)

(1+

x^2  n

)^-(^n^+1)/2 .

1  Графики функции f_T(x) (рис.2), называемые кривыми Стьюдента, симметричны при всех n = 1,2,... относительно оси ординат.

Рисунок 2.

2Можно показать, что при n → ∞ плотность вероятности распределения СВ T ~ S(n) сходится к плотности вероятности стандартного нормального распределения N(0,1), т.е.

fT(x) →

1 √2π

exp(-x^2 / 2) ,   n → ∞ .

Действительно, пусть n = 2m. Тогда

(1+

x^2  n

)^-(^n^+1)/2  = (1 +

x^2 2m

)^-^m^-(1/2) .

Если n → ∞ и m→ ∞, то согласно известному замечательному пределу получим

(1+

x^2 2m

)^-1/2 (1+

x^2 2m

)^-^m  → exp{-x^2/2}.

Таким образом,

f_T(x) → k exp{-x²/2} при n → ∞.

Так как f_T(x) удовлетворяет условию нормировки, то и предельная функция должна удовлетворять условию нормировки, т.е. являться плотностью. Поэтому из условия нормировки плотности получаем

Γ((n+1)/2) √nπ Γ(n/2)

→ k =

1 √2π

при n → ∞.

При n > 30 распределение Стьюдента практически не отличается от N(0,1). Однако при n ≤ 30 отличия существенны.

Замечание 3.   При n = 1 распределение Стьюдента S(1) совпадает с распределением Коши, плотность которого равна

f(x) =

1  π

1 1+x^2

,

т.к. при n = 1 имеем Γ(1/2) = 1 / √π, Γ(1) = 1. Особенность распределения Коши состоит в том, что у него нет ни одного начального момента ν_r, r ≥ 1, так как расходятся несобственные интегралы

νr

Δ =

1  π

∞   ∫   ^-∞

x^r x^2+1

dx.

Любопытно, если попробовать вычислить МО M[T] СВ T, имеющей распределение Коши, как предел значений определенного интеграла на отрезке [-a,a], то можно получить неверный ответ:

l i m ^n^→∞

1  π

a   ∫   ^-^a

x x^2+1

dx = 0 .

Распределение Фишера Пусть независимые СВ X_n и X_m имеют распределения хи-квадрат с n и m степенями свободы соответственно. Тогда СВ

X

Δ =

Xn / Xm

имеет распределение Фишера с n и m степенями свободы, что записывают как X ~ F(n,m). 1   СВ X имеет плотность f_X(x) = 0 при x < 0 и

fX(x) =

Γ((n+m)/2) Γ(n/2)Γ(m/2)

n^n^/2m^m^/2

x^(^n^/2)-1 (m+nx)^(^n+m^)/2

,   x ≥ 0.

Графики функции f_X(x) (см. рис.3), называемые кривыми Фишера , асимметричны и достигают максимальных значений в окрестности точки

x =

(n-2)m (m+2)n

,

близкой к единице.

2Распределение Фишера используют, например, при сравнении выборочных дисперсий для нормальных СВ. В частности, распределение F(n,m) имеет следующая СВ:

X

Δ =

[

1 n

n+1  ∑ ^k^=1

(Xk -

^ MX

)^2] / [

1 m

m+1  ∑ ^k^=1

(Yk -

^ MY

)^2] ,

где СВ X₁, ... , X_n+1 , Y₁, ... , Y_m+1 - независимы и имеют нормальное распределение: X_i ~ N(m_X,σ), Y_i ~ N(m_Y,σ).